用定积分来找到位移和路程

一个速度(velocity)函数的定积分可以告诉我们位移(displacement)是多少。如果想要找到实际的路程，我们需要用到速率(speed)函数。速率是速度的绝对值。

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可汗学院上的AP微积分AB：在马塞诸塞州安多福（Andover）的菲利普斯学院（Phillips Academy）里，Bill Scott 用可汗学院来教AP微积分，同时他也是开发可汗学院AP课程的教学团队的一员。菲利普斯学院是60年前第一批提供AP课程的学校之一。

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[讲师] 在这个视频中，

我们将要开始思考一下

一个在一维空间中运动的物体的位置。

为了帮助我们整理思路，

我先来介绍几个概念。

第一个概念是位移(displacement)。

也许你在日常生活中也用过这个词，

这个词本身的意思是

位置的变化。

和位移相关的非常容易混淆的

另一个概念

是路程(distance travelled)。

看到这里你可能会说，

这和位移不是一个意思吗？

很快你就会发现

它们两个并不总是一样的。

路程，

是路径的

总长度。

所以这是什么意思呢？

假设...这里

我们要引入一点微积分了。

假设我们已知一个物体的速度函数，

速度作为时间的函数

等于5减t。

这是一个一维的速度函数。

它告诉我们

在水平方向的速度。

大家可能经常会忘记

在一维里速度也可以是一个矢量。

这里的速度就是一个矢量，

如果它是正的，

那就是向右移动的，

如果它是负的，那就是向左移动的。

所以它是有方向的。

所以有时候你会看到像这样的矢量

上面会标有一个小箭头，

或者你会看到它

是像这样加粗的字体。

我个人喜欢加一个小箭头，

尽管这不是所有

课程里面都会使用的符号。

现在让我们将这个速度函数

画出来。

我已经提前画好了。

那么这里你可以看到

在时间等于0时，让我们假设时间单位为秒，

速度单位为米每秒。

所以纵轴单位是米每秒，

横轴单位是秒。

在时间等于0时，

这个物体是以5米每秒的速度运动。

我们可以说是向右运动，因为它的速度

是正的5米每秒。

然后，这个物品在匀减速，

5秒之后，

在5秒的时候，

这个物体没有任何速度，

然后的速度变成了负的，

也就意味着它开始

向左运动。

让我们整理一下思路。

首先，让我们想一想

在这5秒中，位移是多少？

在最开始的

5秒内。

我们已经看过很多次了，

如果你想找到量的变化，

你可以对其速率函数进行积分。

那么，速度实际上就是

位移的变化率。

所以，在最初的5秒中，计算位移，

我们可以从

0到5...

从0到5

对速度函数

进行积分。

就像这样。

我们可以快速的把它算出来，

它就是这个区域的面积，

我们用几何知识就可以算出来。

这是一个底为5高为5的三角形，

5乘5等于25，乘以1/2，

--三角形面积公式是底乘高除以二--

所以面积等于12.5...

这里单位是是米每秒

乘以秒，所以就是12.5米。

这就是我们的物体的

位置在最初的5秒内的变化。

不管它是从哪个位置开始的，

现在它的位置是起点右边12.5米，

默认正的值是向右的运动。

那么如果我们

想要看

最初的10秒内的变化呢？

这就很有意思了，

我鼓励你暂停视频自己想一想。

在最初10秒内的位移是多少呢？

和刚才一样，

我们从0到10

对速度函数进行积分，

我们的一维的速度函数，dt。

那么这就是从这里

到这里的面积。

所以包括了这个区域。

你可能记得，

当我们进行函数定积分时，

如果我们有在t轴下方

函数上方的区域，

它将会是一个负的面积。

也就是说，这两个区域

互相抵消了，

于是你就会得到0米。

你可能在想，为什么会是这样呢？

在10秒之后，

我们的位移怎么可能是0米呢？

毕竟这个物体在这10秒钟一直在运动。

回忆一下发生了什么，

在最初的5秒中，物体向右

匀减速运动，

然后在5秒的时候，

它移动了12.5米。

但是，在这个时候，它的速度变成的负的，

也就是说它开始向左运动了，

然后在接下来的5秒中，

它又向左移动了12.5米，

这两个距离就相互抵消了。

所以这个物体是在10秒中内，先是向右移动

12.5米，再向左移动12.5米，

所以它的始末位置的变化就是0米。

就是没有变化。

现在你可能

开始有一点明白

位移和

路程之间的区别了。

路程，

我们说的是路径的总长度，

它并不考虑到移动的方向。

所以这时我们需要考虑的就是不是速度(velocity)了，

而是速率(speed)。

速率，

你可以看做是...

尤其是在这个例子中，在一维的情况下，

速率可以看做是速度的绝对值。

之后我们需要应用到多维的空间里时，

它将是速度函数的大小，

在一维中，

它就是速度函数

的绝对值。

那么如果我们将它画出来会是什么样的呢？

速度函数的绝对值

看起来就将是这样的。

所以，如果你想找到

路程的值，

你需要对速率函数

在适当的时间区间上进行积分，

图中是我们的速率函数。

注意，如果我们想找到路程...

让我写出来...

在最初5秒中

物体运动的

路程，

等于多少？

等于，从0到5，

对速度函数的绝对值的积分，

也就是对速率函数的积分，

dt。

这就是这个区域的面积，

我们已经算出来过了，等于12.5米。

所以，在最初的5秒中，

你的位移和路程是相同的。

这是因为，在这个例子中，

速度函数是正的，

它的绝对值也是正的。

但是，接下来想一下，

在最初的10秒中...

在这10秒中，你的路程

将等于多少呢？

暂停视频自己思考一下。

路程将等于从0到10

对速度函数的绝对值进行积分，

也就等于什么呢？

就等于这个区域加上

这个区域的的面积。

也就是要加上这个区域。

所以它就等于5乘5乘1/2，

加上5乘5乘1/2，

最后等于25米。

也就是说，这个物体先向右移动了12.5米，

然后再向左移动了12.5米。

综上所述，它的位移-也就是始末位置的差，等于0，

但是它的移动的总路程

则是25米。