Tangens overgangsformler: symmetri

Sal finder flere trigonometriske overgangsformler for tangens ved at bruge vandrette og lodrette symmetrier i enhedscirklen.

At kende til forskellige trigonometriske overgangsformler er én ting. Det er noget helt andet at kunne bevise dem. I dette emne skal vi bevise forskellige trigonometriske overgangsformler samt definere inverse trigonometriske funktioner, som gør det muligt at løse trigonometriske ligninger.

I dette kursus skal du bygge ovenpå mange af de færdigheder, du allerede har. Vi skal arbejde med: sammensatte funktioner, trigonometriske funktioner, vektorer, matricer, keglesnit samt sandsynlighedsregning og kombinatorik. Der er dog også to nye emner om talrækker samt grænseværdier og kontinuitet. I opvarmning til infinitesimalregning fra Khan Academy får du en omfattende, oplysende og spændende introduktion til infinitesimalregning. Glæd dig!

Khan Academy har en mission om at give gratis, verdensklasse undervisning til hvem som helst, hvor som helst. Vi tilbyder quizzer, opgaver, videoer og artikler inden for områder som matematik, kunst, computerprogrammering, økonomi, fysik, kemi, biologi, medicin, finans, historie, og meget mere. Vi giver lærere værktøjer og data som de kan bruge til at hjælpe deres elever med at udvikle deres færdigheder, vaner og tankegang, så de fremover kan have succes både i skolen og senere i livet. Khan Academy er oversat til mange sprog og over 15 millioner mennesker verden over lærer via Khan Academy hver måned. Khan Academy er et 501(c)(3) nonprofit selskab.

Giv en donation eller Bliv frivillig i dag!

https://www.khanacademy.org/donate

https://www.khanacademy.org/contribute

I den forrige video så vi, hvordan
cosinus og sinus til forskellige

vinkler hænger sammen ved at

spejle en vinkels vinkelben i
x- eller y-aksen eller begge akser.

I denne video vil jeg gerne se på
tangens til disse forskellige vinkler.

Først en lille gennemgang.

Vi ved, at tan(θ) er lig
sin(θ) over cos(θ).

Ved at bruge enhedscirklens definition

kan man også sige, at den svarer
til hældningen af denne halvlinje.

Vi husker, at hældning er
stigning over fremdrift.

Det er ændringen på den lodrette akse
over ændringen i den vandrette akse.

Hvis vi starter i origo,
hvad er så ændringen

på den lodrette akse,
hvis vi går fra nul til sin(θ)?

Vores ændring på den lodrette
akse er sin(θ)

Hvad er ændringen på den vandrette akse?

Den er cos(θ).

Dette er ændring i y over
ændring i x for halvlinjen.

Tan(θ) er sin(θ) over cos(θ)

eller hældningen af denne halvlinje.

Hvilke andre vinkler har præcis den
samme tangens som tan(θ)?

Denne halvlinje ligger oven
i den halvlinje her.

Du kan sætte dem sammen til en linje.

Tangens til denne vinkel,

den lyserøde vinkel,
der går hele vejen rundt,

tan(pi + θ) eller tan(θ + pi).

Du kan naturligvis skrive θ + pi
i stedet for pi + θ.

Dette må være, ved at bruge hældningen,
det samme som tan(θ).

Lad os se, om det er korrekt.

Disse to skal være lig hinanden,
når vi er enige om,

at tangens til en vinkel er lig med
hældningen af dens anden halvlinje.

Vinklens første halvlinje ligger
på den positive x-akse

ud fra de konventioner vi bruger.

Hvad er tan(θ + pi)
udtrykt med sinus og cosinus?

-- lad mig bruge lyserød --

tan(θ + pi) er lig med

-- parentensen gør det mere tydeligt --

sin(θ + pi) over cos(θ + pi).

I den forrige video fandt vi ud af,

at sin(θ + pi) er det samme som -sin(θ).

Vi ved allerede, at cos(θ + pi)
er det samme som -cos(θ).

Vi har noget negativt
divideret med noget negativt,

så minustegnene går ud med hinanden.

Tilbage har vi sin(θ) over cos(θ)
som jo er lig tan(θ).

Nu har vi så vist det.

Hvad med disse punkter
eller halvlinjerne her?

Hvad med dette punkt?

Hvad er tan(-θ)?

Vi ved, at tan(-θ) er det samme
som sin(-θ) over cos(-θ).

Vi har allerede vist,
at sin(-θ) er -sin(θ).

Det kan vi se lige her,
sin(-θ) er det omvendte af sin(θ),

men cos(-θ) er det samme som cos(θ).

Disse er det samme.

Vi har -sin(θ) over cos(θ) som
er det samme som -tan(θ).

Vi kan se her,
når vi tager den negative vinkel

så får du den negative tangens.

Det er fordi sinus,
tælleren i vores definition af tangens,

ændrer fortegn, mens nævneren ikke gør.

tan(-θ) er det samme som -tan(θ).

Hvad med dette punkt her?

Nu skal vi sammenligne θ
og pi - θ.

tan(pi - θ) er lig
sin(pi - θ) over cos(pi - θ).

Vi ved allerede fra den forrige video,

at sin(pi - θ) er lig sin(θ).

Vi kan se lige her,
at de har den samme sinus værdi.

Vi kan skrive sin(θ).

Hvorimod cos(pi - θ) er
det omvendte af cos(θ),

altså -cos(θ).

Dette bliver også lig med
minus sinus over cosinus

eller -tan(θ), hvilket giver mening.

Denne halvlinje har den samme hældning
som denne halvlinje lige her.

Den har hældningen -tan(θ).

Vi kan se det ved blot
at sammenligne disse to.

Når du samler halvlinjerne,
så har de to linjer, der skærer hinanden,

den modsatte hældning af hinanden,
de er spejlbilleder over x-aksen.

Vi har lige vist, når du tager en vinkel
og lægger pi til den vinkel,

så ændrer tangens ikke, da du
kommer hen til den samme linje.

Med pi eller 180 grader,
så går du i den modsatte retning,

men hældningen af
halvlinjen ændrer sig ikke.

Derfor er tan(θ) det samme
som tan(θ + pi).

Når du tager den omvendte vinkel,
så får du den omvendte tangens.

Når du går herover,
hvor vinklen er pi - θ,

så får du også den omvendte tangens.

Dette er nyttigt, når du forsøger
at lave en trigonometri opgave

eller finder sammenhænge

eller bruger overgangsformlerne
eller beviser overgangsformlerne.

Det er det vi har gjort her,
vi har bevist nogle overgangsformler.

Det er meget nyttigt, at huske på disse
symmetrier som der er på enhedscirklen.