Graphing Logarithmic Functions

เราถูกสั่งให้วาดกราฟ y เท่ากับลอกฐาน 5 ของ x

และลองเตือนความจำหน่อยว่านี่หมายถึงอะไร,

นี่หมายความว่า y เท่ากับกำลังที่ผมต้องยกให้ 5 เพื่อให้ได้ x

หรือถ้าผมเขียนสมการลอการิทึมนี้ให้เป็นสมการเอกซ์โปเนนเชียล

5 คือฐานผม

y คือเลขชี้กำลังที่ผมต้องยก,

แล้ว x คือสิ่งที่ผมได้เมื่อผมจับ 5 ยกกำลัง y

ดังนั้นวิธีเขียนสมการนี้อีกวิธีก็คือ

5 ยกกำลัง y จะเท่ากับ x

นี่ก็เหมือนกัน

ตรงนี้ผมมี y เป็นฟังก์ชันของ x, ตรงนี้เรามี x เป็นฟังก์ชันของ y

แต่มันก็หมายความถึงสิ่งเดียวกัน:

"จับ 5 ยกกำลัง y ให้ได้ x"

แต่ตอนคุณเขียนเจ้านี่เป็นลอการิทึม, คุณกำลังบอกว่า:

"ฉันต้องจับ 5 ยกกำลังเท่าไหร่ถึงจะได้ x?

อ่อ, ฉันต้องยกกำลัง y"

ตรงนี้, ผมจับ 5 ยกกำลัง y แล้วได้อะไร? ผมจะได้ x

ทีนี้พักเรื่องนั้นไว้,

ลองมาสร้างตาราง

ที่เราใช้พลอตจุดต่างๆ ดีกว่า

แล้วเราสามารถลากเส้นเชื่อมจุดเพื่อดูว่าเส้นโค้งนี้เป็นอย่างไรได้

งั้นขอผมเลือกค่า x กับค่า y หน่อยนะ

โดยทั่วไปแล้วเราอยากเลือกตัวเลข

ที่ให้ค่าที่ออกมาสะอาดสวย

เลขที่ง่ายๆ สวยๆ สำหรับเราคือเลข

ที่เราไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข

และโดยทั่วไป, คุณอยากเลือกค่า x,

คุณจะอยากเลือกค่า x ที่กำลังที่คุณจับ 5 ยกกำลังค่านั้นให้ได้ x

เป็นเลขชี้กำลังง่ายๆ

หรือวิธีคิดอีกอย่างคือว่า, คุณแค่คิดหาค่า y ต่างๆ

ที่คุณอยากจับ 5 ยกกำลังค่านั้น

แล้วคุณจะได้ค่า x ออกมา

เราคิดแบบนี้เพื่อหาค่า x ออกมาก็ได้

แต่เราอยากพูดให้ชัดเวลาเราเขียนของแบบนี้

ตัวแปรอิสระคือ x และตัวแปรตามคือ y

เราอาจดูที่ตรงนี้แล้วเลือกค่า x สวยๆ ที่ทำให้ค่า y ง่ายๆ

แล้วเกิดอะไรขึ้น, ตรงนี้ ผมจะเติมค่า y ลงไปก่อน

เพื่อเราจะได้ค่า x ที่สวยๆ สะอาดๆ

งั้นสมมุติว่าเราจะจับ 5 ยกกำลัง -- ผมจะเลือกสีใหม่นะ --

ยกกำลังลบ 2 -- ขอผมใช้อีกสีนึงนะ --

ลบ 1, 0, 1 แล้วผมจะทำต่ออีก, แล้วก็ 2

ผมจะพูดอีกทีนะ, นี่ไม่ใช่วิธีแบบเดิมๆ

เพราะผมเติมค่าตัวแปรตามก่อน,

แต่วิธีที่เราเขียนตรงนี้,...

การหาว่าตัวแปรอิสระคืออะไรในฟังก์ชันตรีโกณมิติมันง่ายกว่า

แล้วค่า x ใดที่เท่ากับ y ของลบ 2?

ค่า x ต้องเป็นเท่าไหร่สำหรับ y เท่ากับ -2?

ทีนี้, 5 ยกกำลังลบ 2 จะเท่ากับ x

ดังนั้น 5 ยกกำลังลบ 2, คือ 1 ส่วน 25, เราเลยได้ 1/25

วิธีคิดอีกอย่าง, ถ้าเรากลับไปอันก่อน,

ถ้าเราบอกว่า log, ฐาน 5 ของ 1/25

ผมต้องจับ 5 ยกกำลังเท่าไหร่ถึงจะได้ 1/25?

ตรงนี้, ผมต้องยกกำลังลบ 2

หรือคุณอาจบอกว่า 5 ยกกำลังลบ 2 เท่ากับ 1/125

มันหมายความเหมือนกัน

ทีนี้, ลองทำอีกอันหนึ่ง

เกิดอะไรขึ้นเมื่อผมจับ 5 ยกกำลังลบ 1?

ทีนี้ล ผมได้ 1 ส่วน 5 สำหรับอันเดิมตรงนั้น,

เราแค่บอกว่า ลอกฐาน 5 ของ 1/5, คุณต้องระวังหน่อย

อันนี้หมายความว่า "ผมต้องจับ 5 ยกกำลังเท่าไหร่ถึงจะได้ 1/5?"

ทีนี้, ผมต้องจับมันยกกำลังลบ 1

ตรงนี้, เกิดอะไรขึ้นถ้าผมจับ 5 ยกกำลัง 0? ผมได้ 1

และความสัมพันธ์นี้หมายความเหมือนกัน, ว่า ลอก, ฐาน 5, ของ 1,

ผมต้องจับ 5 ยกกำลังเท่าไหร่ถึงจะได้ 1?

ตรงนี้, ผมต้องยกกำลังมันด้วย 0

ลองกันต่อ... เกิดอะไรขึ้นถ้าผมจับ 5 ยกกำลัง 1?

ตรงนี้, ผมได้ 5

แล้วถ้าคุณดูตรงนี้, มันก็แค่บอกว่า, ผมต้องยกกำลัง 5 ด้วยอะไรถึงได้ 5?

ผมก็ต้องยกกำลังมันด้วย 1

แล้วสุดท้าย, ถ้าผมจับ 5 ยกกำลังสอง, ผมได้ 25

แล้วถ้าคุณดูจากมุมมองของลอการิทึม, คุณก็บอกว่า

ฉันต้องจับ 5 ยกกำลังเท่าไหร่ถึงจะได้ 25?

ทีนี้, ผมต้องยกกำลังมันด้วย 2

ดังนั้น, ผมเลยหาอินเวอร์สของฟังก์ชันลอการิทึม ผมเขียนมันฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล

ผมสลับตัวแปรอิสระกับตัวแปรตาม

ผมเลยเลือก, หรือหา, ค่า x ที่สวยๆ ซึ่งให้ค่า y สวยๆ เหมือนกัน

ทีนี้, พักเรื่องนั้นไว้, แต่ผมอยากเตือนคุณอย่างนึงว่า

ผมสามารถเลือกเลขสุ่มๆ มาตรงนี้ได้,

แต่ผมอาจได้เลขที่ไม่ค่อยสวยเท่าไหร่, ผมเลยต้องใช้เครื่องคิดเลข

สาเหตุเดียวที่ผมทำแบบนี้, ก็เพราะผมอยากได้ค่าสวยๆ ไว้พลอตด้วยมือ

งั้นลองวาดกราฟมันดูดีกว่า

ทีนี้ y มีค่าระหว่า -2 กับ 2,

ค่า x เริ่มจาก 1/25 ถึง 25

ลองวาดกราฟกันดู

นั่นก็คือแกน y, และนี่คือแกน x

ผมจะวาดมันแบบนั้น, นั่นคือแกน x ผมแล้วก็ y

เริ่มจากศูนย์แล้วคุณก็มี บวก 1, บวก 2,

แล้วก็มี -1, -2 แล้วก็แกน x เป็นบวก

ผมจะปล่อยให้คุณคิดว่าโดเมนตรงนี้นั้น, เราคิดกันได้ว่า

ฟังก์ชันลอการิทึมนิยามสำหรับค่า x ที่ไม่เป็นบวกได้หรือเปล่า?

มีเลขอะไรที่ผมจับ 5 ยกกำลังเลขนั้นแล้วผมได้ 0 บ้าง?

ไม่มี คุณสามารถจับ 5 ยกกำลังลบอนันต์, เพื่อให้ได้เล็กน้อยสุดๆ

เข้าใกล้ 0, แต่คุณไม่มีทางได้พอดี

มันไม่มีเลขชี้กำลังได้ที่คุณจับ 5 ยกกำลังแล้วได้ 0

ดังนั้น x เป็น 0 ไม่ได้ มันไม่มีเลขชี้กำลังใดคุณจะจับ 5 ยกกำลัง

แล้วได้ค่าลบ ดังนั้น x ก็เป็นลบไม่ได้

ดังนั้นโดเมนของฟังก์ชันนี่ตรงนี้

และมันเกี่ยวข้องกับสิ่งที่เราทำ เพราะเราอยากคิดถึงสิ่งที่เราวาดกราฟ --

โดเมนตรงนี้คือ x ต้องมากกว่า 0

ขอผมเขียนลงไปนะ

โดเมนตรงนี้คือ x ต้องมากกว่า 0

เราเลยจะวาดกราฟของฟังก์ชันนี้บนแกน x เป็นบวก

พักเรื่องนั้นไว้, มาดู x มากสุดคือ 25,

งั้นขอผมเขียนใส่จุดพวกนี้ลงไปนะ, มันคือ 5, 10, 15, 20

และ 25

แล้วลองพลอตจุดพวกนี้ดู

... นี่คือสีฟ้า และ x คือ 1.25 กับ y คือ -2

เมื่อ x เป็น 1/25, มันจะเข้าใกล้ตรงนี้, แล้ว y เท่ากับ 2

นั่นจะอยู่ตรงนั้น

ไม่ได้อยู่ตรงแกน y ทีเดียว, มันคือ 1/25 -- ของแกน y, แต่ก็ใกล้อยู่

แล้วเจ้านั่นตรงนั้นคือ 1/25 ลูกน้ำ -2 ตรงนั้น

แล้วเมื่อ x เป็น 1/5, ซึ่งออกไปทางขวาหน่อย

1/5 มี y= -2 อยู่ตรงนี้

นี่คือ 1/5, -1 แล้วเมื่อ x เป็น 1, y เป็น 0

แล้ว 1 อยู่ตรงนี้, นี่ก็คือจุด (1,0)

แล้วก็เมื่อ x เป็น 5, y เป็น 1

ผมเขียนไว้ตรงนี้, y เป็น 1

นั่นก็คือจุด (5,1)

แล้วสุดท้ายเมื่อ x เป็น 25, y เป็น 2

นี่ก็คือ (25,2) แล้วผมก็วาดกราฟของฟังก์ชันได้

ผมจะใช้สีชมพูนะ

ดังนั้นเมื่อ x น้อยมากๆๆๆ, y ไปหาลบอนันต์

แล้วเลขชี้กำลังใดที่คุณต้องจับ 5 ยกกำลังถึงจะได้ .0001

มันต้องเป็นเลขที่ติดลบมากๆ

เราเลยได้ค่าลบมากเมื่อเราเข้าใกล้ 0

แล้วมันก็เพิ่มขึ้นแบบนั้น

แล้วมันก็เริ่มโค้งแบบนั้น

และเจ้านี่ตรงนี้จะลงไปเรื่อยๆ ด้วยอัตราที่ชันขึ้นเรื่อยๆ

และมันจะไม่แตะแกน y

มันจะเข้าใกล้แกน y มากขึ้น มากขึ้น แต่มันจะไม่แตะแกน