เราถูกสั่งให้วาดกราฟ y เท่ากับลอกฐาน 5 ของ x
และลองเตือนความจำหน่อยว่านี่หมายถึงอะไร,
นี่หมายความว่า y เท่ากับกำลังที่ผมต้องยกให้ 5 เพื่อให้ได้ x
หรือถ้าผมเขียนสมการลอการิทึมนี้ให้เป็นสมการเอกซ์โปเนนเชียล
5 คือฐานผม
y คือเลขชี้กำลังที่ผมต้องยก,
แล้ว x คือสิ่งที่ผมได้เมื่อผมจับ 5 ยกกำลัง y
ดังนั้นวิธีเขียนสมการนี้อีกวิธีก็คือ
5 ยกกำลัง y จะเท่ากับ x
นี่ก็เหมือนกัน
ตรงนี้ผมมี y เป็นฟังก์ชันของ x, ตรงนี้เรามี x เป็นฟังก์ชันของ y
แต่มันก็หมายความถึงสิ่งเดียวกัน:
"จับ 5 ยกกำลัง y ให้ได้ x"
แต่ตอนคุณเขียนเจ้านี่เป็นลอการิทึม, คุณกำลังบอกว่า:
"ฉันต้องจับ 5 ยกกำลังเท่าไหร่ถึงจะได้ x?
อ่อ, ฉันต้องยกกำลัง y"
ตรงนี้, ผมจับ 5 ยกกำลัง y แล้วได้อะไร? ผมจะได้ x
ทีนี้พักเรื่องนั้นไว้,
ลองมาสร้างตาราง
ที่เราใช้พลอตจุดต่างๆ ดีกว่า
แล้วเราสามารถลากเส้นเชื่อมจุดเพื่อดูว่าเส้นโค้งนี้เป็นอย่างไรได้
งั้นขอผมเลือกค่า x กับค่า y หน่อยนะ
โดยทั่วไปแล้วเราอยากเลือกตัวเลข
ที่ให้ค่าที่ออกมาสะอาดสวย
เลขที่ง่ายๆ สวยๆ สำหรับเราคือเลข
ที่เราไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข
และโดยทั่วไป, คุณอยากเลือกค่า x,
คุณจะอยากเลือกค่า x ที่กำลังที่คุณจับ 5 ยกกำลังค่านั้นให้ได้ x
เป็นเลขชี้กำลังง่ายๆ
หรือวิธีคิดอีกอย่างคือว่า, คุณแค่คิดหาค่า y ต่างๆ
ที่คุณอยากจับ 5 ยกกำลังค่านั้น
แล้วคุณจะได้ค่า x ออกมา
เราคิดแบบนี้เพื่อหาค่า x ออกมาก็ได้
แต่เราอยากพูดให้ชัดเวลาเราเขียนของแบบนี้
ตัวแปรอิสระคือ x และตัวแปรตามคือ y
เราอาจดูที่ตรงนี้แล้วเลือกค่า x สวยๆ ที่ทำให้ค่า y ง่ายๆ
แล้วเกิดอะไรขึ้น, ตรงนี้ ผมจะเติมค่า y ลงไปก่อน
เพื่อเราจะได้ค่า x ที่สวยๆ สะอาดๆ
งั้นสมมุติว่าเราจะจับ 5 ยกกำลัง -- ผมจะเลือกสีใหม่นะ --
ยกกำลังลบ 2 -- ขอผมใช้อีกสีนึงนะ --
ลบ 1, 0, 1 แล้วผมจะทำต่ออีก, แล้วก็ 2
ผมจะพูดอีกทีนะ, นี่ไม่ใช่วิธีแบบเดิมๆ
เพราะผมเติมค่าตัวแปรตามก่อน,
แต่วิธีที่เราเขียนตรงนี้,...
การหาว่าตัวแปรอิสระคืออะไรในฟังก์ชันตรีโกณมิติมันง่ายกว่า
แล้วค่า x ใดที่เท่ากับ y ของลบ 2?
ค่า x ต้องเป็นเท่าไหร่สำหรับ y เท่ากับ -2?
ทีนี้, 5 ยกกำลังลบ 2 จะเท่ากับ x
ดังนั้น 5 ยกกำลังลบ 2, คือ 1 ส่วน 25, เราเลยได้ 1/25
วิธีคิดอีกอย่าง, ถ้าเรากลับไปอันก่อน,
ถ้าเราบอกว่า log, ฐาน 5 ของ 1/25
ผมต้องจับ 5 ยกกำลังเท่าไหร่ถึงจะได้ 1/25?
ตรงนี้, ผมต้องยกกำลังลบ 2
หรือคุณอาจบอกว่า 5 ยกกำลังลบ 2 เท่ากับ 1/125
มันหมายความเหมือนกัน
ทีนี้, ลองทำอีกอันหนึ่ง
เกิดอะไรขึ้นเมื่อผมจับ 5 ยกกำลังลบ 1?
ทีนี้ล ผมได้ 1 ส่วน 5 สำหรับอันเดิมตรงนั้น,
เราแค่บอกว่า ลอกฐาน 5 ของ 1/5, คุณต้องระวังหน่อย
อันนี้หมายความว่า "ผมต้องจับ 5 ยกกำลังเท่าไหร่ถึงจะได้ 1/5?"
ทีนี้, ผมต้องจับมันยกกำลังลบ 1
ตรงนี้, เกิดอะไรขึ้นถ้าผมจับ 5 ยกกำลัง 0? ผมได้ 1
และความสัมพันธ์นี้หมายความเหมือนกัน, ว่า ลอก, ฐาน 5, ของ 1,
ผมต้องจับ 5 ยกกำลังเท่าไหร่ถึงจะได้ 1?
ตรงนี้, ผมต้องยกกำลังมันด้วย 0
ลองกันต่อ... เกิดอะไรขึ้นถ้าผมจับ 5 ยกกำลัง 1?
ตรงนี้, ผมได้ 5
แล้วถ้าคุณดูตรงนี้, มันก็แค่บอกว่า, ผมต้องยกกำลัง 5 ด้วยอะไรถึงได้ 5?
ผมก็ต้องยกกำลังมันด้วย 1
แล้วสุดท้าย, ถ้าผมจับ 5 ยกกำลังสอง, ผมได้ 25
แล้วถ้าคุณดูจากมุมมองของลอการิทึม, คุณก็บอกว่า
ฉันต้องจับ 5 ยกกำลังเท่าไหร่ถึงจะได้ 25?
ทีนี้, ผมต้องยกกำลังมันด้วย 2
ดังนั้น, ผมเลยหาอินเวอร์สของฟังก์ชันลอการิทึม ผมเขียนมันฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล
ผมสลับตัวแปรอิสระกับตัวแปรตาม
ผมเลยเลือก, หรือหา, ค่า x ที่สวยๆ ซึ่งให้ค่า y สวยๆ เหมือนกัน
ทีนี้, พักเรื่องนั้นไว้, แต่ผมอยากเตือนคุณอย่างนึงว่า
ผมสามารถเลือกเลขสุ่มๆ มาตรงนี้ได้,
แต่ผมอาจได้เลขที่ไม่ค่อยสวยเท่าไหร่, ผมเลยต้องใช้เครื่องคิดเลข
สาเหตุเดียวที่ผมทำแบบนี้, ก็เพราะผมอยากได้ค่าสวยๆ ไว้พลอตด้วยมือ
งั้นลองวาดกราฟมันดูดีกว่า
ทีนี้ y มีค่าระหว่า -2 กับ 2,
ค่า x เริ่มจาก 1/25 ถึง 25
ลองวาดกราฟกันดู
นั่นก็คือแกน y, และนี่คือแกน x
ผมจะวาดมันแบบนั้น, นั่นคือแกน x ผมแล้วก็ y
เริ่มจากศูนย์แล้วคุณก็มี บวก 1, บวก 2,
แล้วก็มี -1, -2 แล้วก็แกน x เป็นบวก
ผมจะปล่อยให้คุณคิดว่าโดเมนตรงนี้นั้น, เราคิดกันได้ว่า
ฟังก์ชันลอการิทึมนิยามสำหรับค่า x ที่ไม่เป็นบวกได้หรือเปล่า?
มีเลขอะไรที่ผมจับ 5 ยกกำลังเลขนั้นแล้วผมได้ 0 บ้าง?
ไม่มี คุณสามารถจับ 5 ยกกำลังลบอนันต์, เพื่อให้ได้เล็กน้อยสุดๆ
เข้าใกล้ 0, แต่คุณไม่มีทางได้พอดี
มันไม่มีเลขชี้กำลังได้ที่คุณจับ 5 ยกกำลังแล้วได้ 0
ดังนั้น x เป็น 0 ไม่ได้ มันไม่มีเลขชี้กำลังใดคุณจะจับ 5 ยกกำลัง
แล้วได้ค่าลบ ดังนั้น x ก็เป็นลบไม่ได้
ดังนั้นโดเมนของฟังก์ชันนี่ตรงนี้
และมันเกี่ยวข้องกับสิ่งที่เราทำ เพราะเราอยากคิดถึงสิ่งที่เราวาดกราฟ --
โดเมนตรงนี้คือ x ต้องมากกว่า 0
ขอผมเขียนลงไปนะ
โดเมนตรงนี้คือ x ต้องมากกว่า 0
เราเลยจะวาดกราฟของฟังก์ชันนี้บนแกน x เป็นบวก
พักเรื่องนั้นไว้, มาดู x มากสุดคือ 25,
งั้นขอผมเขียนใส่จุดพวกนี้ลงไปนะ, มันคือ 5, 10, 15, 20
และ 25
แล้วลองพลอตจุดพวกนี้ดู
... นี่คือสีฟ้า และ x คือ 1.25 กับ y คือ -2
เมื่อ x เป็น 1/25, มันจะเข้าใกล้ตรงนี้, แล้ว y เท่ากับ 2
นั่นจะอยู่ตรงนั้น
ไม่ได้อยู่ตรงแกน y ทีเดียว, มันคือ 1/25 -- ของแกน y, แต่ก็ใกล้อยู่
แล้วเจ้านั่นตรงนั้นคือ 1/25 ลูกน้ำ -2 ตรงนั้น
แล้วเมื่อ x เป็น 1/5, ซึ่งออกไปทางขวาหน่อย
1/5 มี y= -2 อยู่ตรงนี้
นี่คือ 1/5, -1 แล้วเมื่อ x เป็น 1, y เป็น 0
แล้ว 1 อยู่ตรงนี้, นี่ก็คือจุด (1,0)
แล้วก็เมื่อ x เป็น 5, y เป็น 1
ผมเขียนไว้ตรงนี้, y เป็น 1
นั่นก็คือจุด (5,1)
แล้วสุดท้ายเมื่อ x เป็น 25, y เป็น 2
นี่ก็คือ (25,2) แล้วผมก็วาดกราฟของฟังก์ชันได้
ผมจะใช้สีชมพูนะ
ดังนั้นเมื่อ x น้อยมากๆๆๆ, y ไปหาลบอนันต์
แล้วเลขชี้กำลังใดที่คุณต้องจับ 5 ยกกำลังถึงจะได้ .0001
มันต้องเป็นเลขที่ติดลบมากๆ
เราเลยได้ค่าลบมากเมื่อเราเข้าใกล้ 0
แล้วมันก็เพิ่มขึ้นแบบนั้น
แล้วมันก็เริ่มโค้งแบบนั้น
และเจ้านี่ตรงนี้จะลงไปเรื่อยๆ ด้วยอัตราที่ชันขึ้นเรื่อยๆ
และมันจะไม่แตะแกน y
มันจะเข้าใกล้แกน y มากขึ้น มากขึ้น แต่มันจะไม่แตะแกน