Graphing Logarithmic Functions

Mamy polecenie narysować wykres y, y to logarytm z x o podstawie 5.

Przypomnijmy, co to oznacza.

y to wartość potęgi, do której muszę podnieść 5, aby otrzymać x.

Mógłbym też napisać to równanie logarytmiczne jako równanie wykładnicze.

5 to liczba potęgowana.

y to wykładnik potęgi, do tej potęgi podnoszę liczbę potęgowaną

a wtedy x jest wartością otrzymaną po podniesieniu 5 do y-tej potęgi

A więc innym sposobem zapisu tego równania byłoby

5 do y-tej potęgi wynosi x

To jest to samo.

Tu mamy y jako funkcję od x, tu mamy x jako funkcję od y.

Ale tak naprawdę mówią one dokładnie tę samą rzecz:

"Podnieś 5 do y-tej potęgi, aby dostać x"

Ale kiedy przedstawisz to przy pomocy logarytmu, wtedy mówisz:

"Do jakiej potęgi muszę podnieść 5, aby dostać x?"

No cóż, muszę podnieść do y.

Tutaj, co dostanę kiedy podniosę 5 do y-tej potęgi? Dostanę x.

Mając to już za sobą,

zróbmy małą tabelkę

której użyjemy do naniesienia na wykres pewnych punktów

a potem możemy połączyć te punkty, aby zobaczyć jak wygląda ta krzywa

Wybiorę pewne wartości X i Y.

Generalnie chcemy wybrać jakieś liczby

które dadzą nam przyjemne, całkowite wyniki

Jakieś przyjemne, dość proste liczby, z którymi będziemy się musieli uporać

i nie będzięmy musieli używać kalkulatora.

A więc generalnie, chcesz wybrać wartości x,

chcesz wybrać wartości x takie, że potęga, do której trzeba podnieść 5, aby dostać tę wartość x

była dość przystępną potęgą

Inaczej, możesz po prostu myśleć o różnych wartościach y

podnosząc 5 do pewnej potęgi

dostaniesz wartości x.

Możemy użyć 5^y = x, aby uzyskać nasze wartości x.

Dla jasności, kiedy przedstawiamy to logarytmicznym sposobem

zmienna niezależna (argument funkcji) to x, a zmienna zależna to y.

Możemy użyć 5^y = x tylko, aby wybrać pewne wartości x, które dadzą nam przyjemne, całkowite odpowiedzi dla y.

Więc teraz wypełnię najpierw kolumnę y.

Tak, żeby dostać przyjemne, całkowite wartości x.

Powiedzmy, że podniosę 5 do [wybiorę jakiś inny kolor]

do minus 2 [a teraz wezmę jakiś inny kolor]

minus 1, zero, 1 i wstawię jeszcze jeden, tu 2

Więc jeszcze raz, to jest trochę sprzeczne z tradycją

że najpierw wypełniam zmienne zależne,

ale zapis 5^y = x sprawił, że łatwiej jest przy użyciu

zmiennych zależnych, dostać te niezależne zmienne funkcji logarytmicznej.

Więc, jaki x da mi y = -2?

Czym musi być x, aby y wynosił -2?

No cóż, 5 do potęgi -2 wyniesie tyle co x

5 do -2 to 1/25, dostajemy więc 1/25

Inaczej patrząc, wracając do poprzedniego równania

jeśli mamy logarytm o podstawie 5 z 1/25

Do jakiej potęgi muszę podnieść 5, aby dostać 1/25?

No cóż, muszę podnieść 5 do -2.

Albo można powiedzieć, że 5 do -2 wynosi 1/25

To oznacza dokładnie to samo.

Zróbmy teraz kolejny przykład.

Co się stanie kiedy podniosę 5 do potęgi -1?

No cóż, dostanę 1/5. Według oryginalnego równania na górze,

wyrażenie logarytm o podstawie 5 z 1/5

mówi nam "do jakiej potęgi muszę podnieść 5, w celu otrzymania 1/5?"

No więc, muszę podnieść 5 do potęgi -1.

Tutaj, co stanie się jak wezmę 5 do potęgi 0? Dostanę 1.

A ta zależność to dokładnie to samo co logarytm o podstawie 5 z 1.

Do jakiej potęgi muszę podnieść 5, żeby dostać 1?

No cóż, muszę po prostu podnieść 5 do potęgi zerowej.

Zróbmy kolejne dwa. Co dzieje się kiedy podnoszę 5 do potęgi 1?

No cóż, dostaję 5.

Spójrz tutaj, to jest to samo co powiedzieć, do jakiej potęgi podnieść 5, żeby otrzymać 5?

No cóż, muszę po prostu podnieść do potęgi 1.

I w końcu, podnosząc 5 do kwadratu, dostanę 25.

Jeśli spojrzysz na to z punktu widzenia logarytmu, powiesz

"do jakiej potęgi muszę podnieść 5, aby dostać 25?"

No cóż, muszę podnieść 5 do potęgi 2.

Więc, w pewien sposób wziąłem funkcję odwrotną do logarytmu. Napisałem ją jako funkcję wykładniczą.

Zamieniłem zależne i niezależne zmienne

tak że mogłem wybrać, mogłem wyprowadzić przyjemne, całkowite wartości x, które dały mi przyjemne, całkowite wartości y

Teraz, mamy to już za sobą, ale chcę wam przypomnieć

że mogłem wybrać zupełnie przypadkowe liczby tutaj (kolumna x),

ale wtedy dostałbym prawdopodobnie mniej przyjemne liczby tutaj (kolumna y) i musiałbym używać kalkulatora.

Jedynym powodem, dla którego zrobiłem to w ten sposób, jest otrzymanie całkowitych wyników, które mogę ręcznie nanieść na wykres

Więc rzeczywiście narysujmy ten wykres.

Wartości y są między -2 i 2,

wartości x rozciągają się od 1/25 aż do 25

Narysujmy to.

To jest moja oś OY, a to jest moja oś OX.

Więc narysowałem to tak, to moja oś OX, a tu wartości y

zaczynają od 0, tu są 1, 2

tu mamy -1, -2, a na osi OX, która jest jedynie dodatnia

[dam wam się zastanowić, czy dziedzina tu jest dodatnia, a właściwie możemy o tym pomyśleć]

Czy istnieje funkcja logarytmiczna, zdefiniowana dla pewnego niedodatniego x?

Czy istnieje taka potęga, do której można by podnieść 5 tak, żeby dostać 0?

Nie. Można podnieść 5 do nieskończenie małej ujemnej potęgi i dostać bardzo bardzo małą liczbę,

która zbliża się do 0, ale nigdy go nie osiąga-

nie istnieje taka potęga, do której mógłbyś podnieść 5, aby dostać 0

więc x nie może być 0. Nie ma takiej potęgi, do której podniósłbyś 5,

żeby dostać liczbę ujemną. Więc x też nie może być liczbą ujemną.

Więc dziedziną funkcji na samej górze,

i jest to istotne, ponieważ chcemy myśleć o tym, co rysujemy,

Dziedziną tutaj jest x większy od 0.

Zapiszę to.

Dziedzina to x > 0.

Więc będziemy mogli narysować tę funkcję jedynie w dodatniej części osi OX.

Mając to rozumowanie za sobą, x rośnie do 25

Zaznaczę na osi: 5, 10, 15, 20

oraz 25

A teraz nanieśmy punkty.

Ten pierwszy jest na niebiesko, x = 1/25, a y = -2

Gdy x = 1/25, będzie blisko początku dodatniej osi współrzędnych, wtedy y = -2

Więc to będzie tutaj...

Nie dokładnie na osi OY, trochę na prawo OY, ale dość blisko.

Więc mamy tutaj (1/25,-2)

Wtedy gdy x = 1/5, co jest trochę dalej w prawo,

y = -2. Więc to będzie tutaj.

To jest (1/5,-1). A wtedy kiedy x = 1, y = 0.

1 tutaj, więc to jest punkt (1,0)

Gdy x = 5, to y = 1.

y = 1

więc to punkt (5,1)

I w końcu kiedy x = 25, to y = 2

Więc to jest (25,2). I wtedy mogę zrobić wykres tej funkcji.

Użyję do tego różowego koloru.

Wtedy gdy x staje się bardzo bardzo bardzo mały, y dąży do minus nieskończoności

Do jakiej potęgi musisz podnieść 5, aby dostać 0.0001?

To musi być bardzo ujemna potęga.

Wartości stają się bardzo ujemne bliżej 0

a potem funkcja w pewien sposób rośnie

a potem zaczyna wyginać się w prawą stronę

Z lewej strony funkcja będzie coraz gwałtowniej malała

i nigdy nie dotknie osi OY

Będzie coraz bliżej i bliżej osi OY ale nigdy nie dotknie jej.