[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.50,0:00:05.07,Default,,0000,0000,0000,,Mamy polecenie narysować wykres y, y to logarytm z x o podstawie 5.
Dialogue: 0,0:00:05.07,0:00:07.24,Default,,0000,0000,0000,,Przypomnijmy, co to oznacza.
Dialogue: 0,0:00:07.24,0:00:13.17,Default,,0000,0000,0000,,y to wartość potęgi, do której muszę podnieść 5, aby otrzymać x.
Dialogue: 0,0:00:13.17,0:00:17.04,Default,,0000,0000,0000,,Mógłbym też napisać to równanie logarytmiczne jako równanie wykładnicze.
Dialogue: 0,0:00:17.04,0:00:18.77,Default,,0000,0000,0000,,5 to liczba potęgowana.
Dialogue: 0,0:00:18.77,0:00:23.32,Default,,0000,0000,0000,,y to wykładnik potęgi, do tej potęgi podnoszę liczbę potęgowaną
Dialogue: 0,0:00:23.32,0:00:27.99,Default,,0000,0000,0000,,a wtedy x jest wartością otrzymaną po podniesieniu 5 do y-tej potęgi
Dialogue: 0,0:00:27.99,0:00:30.77,Default,,0000,0000,0000,,A więc innym sposobem zapisu tego równania byłoby
Dialogue: 0,0:00:30.77,0:00:40.44,Default,,0000,0000,0000,,5 do y-tej potęgi wynosi x
Dialogue: 0,0:00:40.44,0:00:42.57,Default,,0000,0000,0000,,To jest to samo.
Dialogue: 0,0:00:42.57,0:00:48.32,Default,,0000,0000,0000,,Tu mamy y jako funkcję od x, tu mamy x jako funkcję od y.
Dialogue: 0,0:00:48.32,0:00:50.84,Default,,0000,0000,0000,,Ale tak naprawdę mówią one dokładnie tę samą rzecz:
Dialogue: 0,0:00:50.84,0:00:53.50,Default,,0000,0000,0000,,"Podnieś 5 do y-tej potęgi, aby dostać x"
Dialogue: 0,0:00:53.50,0:00:55.49,Default,,0000,0000,0000,,Ale kiedy przedstawisz to przy pomocy logarytmu, wtedy mówisz:
Dialogue: 0,0:00:55.49,0:00:57.77,Default,,0000,0000,0000,,"Do jakiej potęgi muszę podnieść 5, aby dostać x?"
Dialogue: 0,0:00:57.77,0:00:58.97,Default,,0000,0000,0000,,No cóż, muszę podnieść do y.
Dialogue: 0,0:00:58.97,0:01:03.44,Default,,0000,0000,0000,,Tutaj, co dostanę kiedy podniosę 5 do y-tej potęgi? Dostanę x.
Dialogue: 0,0:01:03.44,0:01:04.70,Default,,0000,0000,0000,,Mając to już za sobą,
Dialogue: 0,0:01:04.70,0:01:07.10,Default,,0000,0000,0000,,zróbmy małą tabelkę
Dialogue: 0,0:01:07.10,0:01:08.70,Default,,0000,0000,0000,,której użyjemy do naniesienia na wykres pewnych punktów
Dialogue: 0,0:01:08.70,0:01:11.17,Default,,0000,0000,0000,,a potem możemy połączyć te punkty, aby zobaczyć jak wygląda ta krzywa
Dialogue: 0,0:01:11.17,0:01:13.57,Default,,0000,0000,0000,,Wybiorę pewne wartości X i Y.
Dialogue: 0,0:01:13.57,0:01:20.24,Default,,0000,0000,0000,,Generalnie chcemy wybrać jakieś liczby
Dialogue: 0,0:01:20.24,0:01:22.66,Default,,0000,0000,0000,,które dadzą nam przyjemne, całkowite wyniki
Dialogue: 0,0:01:22.66,0:01:25.57,Default,,0000,0000,0000,,Jakieś przyjemne, dość proste liczby, z którymi będziemy się musieli uporać
Dialogue: 0,0:01:25.57,0:01:27.17,Default,,0000,0000,0000,,i nie będzięmy musieli używać kalkulatora.
Dialogue: 0,0:01:27.17,0:01:30.10,Default,,0000,0000,0000,,A więc generalnie, chcesz wybrać wartości x,
Dialogue: 0,0:01:30.10,0:01:35.10,Default,,0000,0000,0000,,chcesz wybrać wartości x takie, że potęga, do której trzeba podnieść 5, aby dostać tę wartość x
Dialogue: 0,0:01:35.10,0:01:37.91,Default,,0000,0000,0000,,była dość przystępną potęgą
Dialogue: 0,0:01:37.91,0:01:41.04,Default,,0000,0000,0000,,Inaczej, możesz po prostu myśleć o różnych wartościach y
Dialogue: 0,0:01:41.04,0:01:44.32,Default,,0000,0000,0000,,podnosząc 5 do pewnej potęgi
Dialogue: 0,0:01:44.32,0:01:45.99,Default,,0000,0000,0000,,dostaniesz wartości x.
Dialogue: 0,0:01:45.99,0:01:51.84,Default,,0000,0000,0000,,Możemy użyć 5^y = x, aby uzyskać nasze wartości x.
Dialogue: 0,0:01:51.84,0:01:55.74,Default,,0000,0000,0000,,Dla jasności, kiedy przedstawiamy to logarytmicznym sposobem
Dialogue: 0,0:01:55.74,0:02:00.07,Default,,0000,0000,0000,,zmienna niezależna (argument funkcji) to x, a zmienna zależna to y.
Dialogue: 0,0:02:00.07,0:02:09.10,Default,,0000,0000,0000,,Możemy użyć 5^y = x tylko, aby wybrać pewne wartości x, które dadzą nam przyjemne, całkowite odpowiedzi dla y.
Dialogue: 0,0:02:09.10,0:02:12.50,Default,,0000,0000,0000,,Więc teraz wypełnię najpierw kolumnę y.
Dialogue: 0,0:02:12.50,0:02:14.57,Default,,0000,0000,0000,,Tak, żeby dostać przyjemne, całkowite wartości x.
Dialogue: 0,0:02:14.57,0:02:19.70,Default,,0000,0000,0000,,Powiedzmy, że podniosę 5 do [wybiorę jakiś inny kolor]
Dialogue: 0,0:02:19.70,0:02:25.91,Default,,0000,0000,0000,,do minus 2 [a teraz wezmę jakiś inny kolor]
Dialogue: 0,0:02:25.91,0:02:33.10,Default,,0000,0000,0000,,minus 1, zero, 1 i wstawię jeszcze jeden, tu 2
Dialogue: 0,0:02:33.10,0:02:36.64,Default,,0000,0000,0000,,Więc jeszcze raz, to jest trochę sprzeczne z tradycją
Dialogue: 0,0:02:36.64,0:02:38.50,Default,,0000,0000,0000,,że najpierw wypełniam zmienne zależne,
Dialogue: 0,0:02:38.50,0:02:40.70,Default,,0000,0000,0000,,ale zapis 5^y = x sprawił, że łatwiej jest przy użyciu
Dialogue: 0,0:02:40.70,0:02:46.41,Default,,0000,0000,0000,,zmiennych zależnych, dostać te niezależne zmienne funkcji logarytmicznej.
Dialogue: 0,0:02:46.41,0:02:50.07,Default,,0000,0000,0000,,Więc, jaki x da mi y = -2?
Dialogue: 0,0:02:50.07,0:02:54.99,Default,,0000,0000,0000,,Czym musi być x, aby y wynosił -2?
Dialogue: 0,0:02:54.99,0:02:59.04,Default,,0000,0000,0000,,No cóż, 5 do potęgi -2 wyniesie tyle co x
Dialogue: 0,0:02:59.04,0:03:06.66,Default,,0000,0000,0000,,5 do -2 to 1/25, dostajemy więc 1/25
Dialogue: 0,0:03:06.66,0:03:08.74,Default,,0000,0000,0000,,Inaczej patrząc, wracając do poprzedniego równania
Dialogue: 0,0:03:08.74,0:03:12.91,Default,,0000,0000,0000,,jeśli mamy logarytm o podstawie 5 z 1/25
Dialogue: 0,0:03:12.91,0:03:16.17,Default,,0000,0000,0000,,Do jakiej potęgi muszę podnieść 5, aby dostać 1/25?
Dialogue: 0,0:03:16.17,0:03:18.99,Default,,0000,0000,0000,,No cóż, muszę podnieść 5 do -2.
Dialogue: 0,0:03:18.99,0:03:23.41,Default,,0000,0000,0000,,Albo można powiedzieć, że 5 do -2 wynosi 1/25
Dialogue: 0,0:03:23.41,0:03:26.99,Default,,0000,0000,0000,,To oznacza dokładnie to samo.
Dialogue: 0,0:03:26.99,0:03:28.57,Default,,0000,0000,0000,,Zróbmy teraz kolejny przykład.
Dialogue: 0,0:03:28.57,0:03:32.37,Default,,0000,0000,0000,,Co się stanie kiedy podniosę 5 do potęgi -1?
Dialogue: 0,0:03:32.37,0:03:36.82,Default,,0000,0000,0000,,No cóż, dostanę 1/5. Według oryginalnego równania na górze,
Dialogue: 0,0:03:36.82,0:03:43.64,Default,,0000,0000,0000,,wyrażenie logarytm o podstawie 5 z 1/5
Dialogue: 0,0:03:43.64,0:03:47.91,Default,,0000,0000,0000,,mówi nam "do jakiej potęgi muszę podnieść 5, w celu otrzymania 1/5?"
Dialogue: 0,0:03:47.91,0:03:50.84,Default,,0000,0000,0000,,No więc, muszę podnieść 5 do potęgi -1.
Dialogue: 0,0:03:50.84,0:03:55.50,Default,,0000,0000,0000,,Tutaj, co stanie się jak wezmę 5 do potęgi 0? Dostanę 1.
Dialogue: 0,0:03:55.50,0:04:02.41,Default,,0000,0000,0000,,A ta zależność to dokładnie to samo co logarytm o podstawie 5 z 1.
Dialogue: 0,0:04:02.41,0:04:05.17,Default,,0000,0000,0000,,Do jakiej potęgi muszę podnieść 5, żeby dostać 1?
Dialogue: 0,0:04:05.17,0:04:08.57,Default,,0000,0000,0000,,No cóż, muszę po prostu podnieść 5 do potęgi zerowej.
Dialogue: 0,0:04:08.57,0:04:13.44,Default,,0000,0000,0000,,Zróbmy kolejne dwa. Co dzieje się kiedy podnoszę 5 do potęgi 1?
Dialogue: 0,0:04:13.44,0:04:14.97,Default,,0000,0000,0000,,No cóż, dostaję 5.
Dialogue: 0,0:04:14.97,0:04:20.10,Default,,0000,0000,0000,,Spójrz tutaj, to jest to samo co powiedzieć, do jakiej potęgi podnieść 5, żeby otrzymać 5?
Dialogue: 0,0:04:20.10,0:04:23.17,Default,,0000,0000,0000,,No cóż, muszę po prostu podnieść do potęgi 1.
Dialogue: 0,0:04:23.17,0:04:27.66,Default,,0000,0000,0000,,I w końcu, podnosząc 5 do kwadratu, dostanę 25.
Dialogue: 0,0:04:27.66,0:04:31.84,Default,,0000,0000,0000,,Jeśli spojrzysz na to z punktu widzenia logarytmu, powiesz
Dialogue: 0,0:04:31.84,0:04:35.49,Default,,0000,0000,0000,,"do jakiej potęgi muszę podnieść 5, aby dostać 25?"
Dialogue: 0,0:04:35.49,0:04:38.24,Default,,0000,0000,0000,,No cóż, muszę podnieść 5 do potęgi 2.
Dialogue: 0,0:04:38.24,0:04:43.24,Default,,0000,0000,0000,,Więc, w pewien sposób wziąłem funkcję odwrotną do logarytmu. Napisałem ją jako funkcję wykładniczą.
Dialogue: 0,0:04:43.24,0:04:45.77,Default,,0000,0000,0000,,Zamieniłem zależne i niezależne zmienne
Dialogue: 0,0:04:45.77,0:04:51.41,Default,,0000,0000,0000,,tak że mogłem wybrać, mogłem wyprowadzić przyjemne, całkowite wartości x, które dały mi przyjemne, całkowite wartości y
Dialogue: 0,0:04:51.41,0:04:53.07,Default,,0000,0000,0000,,Teraz, mamy to już za sobą, ale chcę wam przypomnieć
Dialogue: 0,0:04:53.07,0:04:57.57,Default,,0000,0000,0000,,że mogłem wybrać zupełnie przypadkowe liczby tutaj (kolumna x),
Dialogue: 0,0:04:57.57,0:05:01.32,Default,,0000,0000,0000,,ale wtedy dostałbym prawdopodobnie mniej przyjemne liczby tutaj (kolumna y) i musiałbym używać kalkulatora.
Dialogue: 0,0:05:01.32,0:05:05.57,Default,,0000,0000,0000,,Jedynym powodem, dla którego zrobiłem to w ten sposób, jest otrzymanie całkowitych wyników, które mogę ręcznie nanieść na wykres
Dialogue: 0,0:05:05.57,0:05:08.30,Default,,0000,0000,0000,,Więc rzeczywiście narysujmy ten wykres.
Dialogue: 0,0:05:08.30,0:05:13.10,Default,,0000,0000,0000,,Wartości y są między -2 i 2,
Dialogue: 0,0:05:13.10,0:05:18.04,Default,,0000,0000,0000,,wartości x rozciągają się od 1/25 aż do 25
Dialogue: 0,0:05:18.04,0:05:20.82,Default,,0000,0000,0000,,Narysujmy to.
Dialogue: 0,0:05:20.82,0:05:29.84,Default,,0000,0000,0000,,To jest moja oś OY, a to jest moja oś OX.
Dialogue: 0,0:05:29.84,0:05:35.07,Default,,0000,0000,0000,,Więc narysowałem to tak, to moja oś OX, a tu wartości y
Dialogue: 0,0:05:35.07,0:05:41.66,Default,,0000,0000,0000,,zaczynają od 0, tu są 1, 2
Dialogue: 0,0:05:41.66,0:05:49.44,Default,,0000,0000,0000,,tu mamy -1, -2, a na osi OX, która jest jedynie dodatnia
Dialogue: 0,0:05:49.44,0:05:54.77,Default,,0000,0000,0000,,[dam wam się zastanowić, czy dziedzina tu jest dodatnia, a właściwie możemy o tym pomyśleć]
Dialogue: 0,0:05:54.77,0:06:02.50,Default,,0000,0000,0000,,Czy istnieje funkcja logarytmiczna, zdefiniowana dla pewnego niedodatniego x?
Dialogue: 0,0:06:02.50,0:06:07.50,Default,,0000,0000,0000,,Czy istnieje taka potęga, do której można by podnieść 5 tak, żeby dostać 0?
Dialogue: 0,0:06:07.50,0:06:12.91,Default,,0000,0000,0000,,Nie. Można podnieść 5 do nieskończenie małej ujemnej potęgi i dostać bardzo bardzo małą liczbę,
Dialogue: 0,0:06:12.91,0:06:15.07,Default,,0000,0000,0000,,która zbliża się do 0, ale nigdy go nie osiąga-
Dialogue: 0,0:06:15.07,0:06:18.10,Default,,0000,0000,0000,,nie istnieje taka potęga, do której mógłbyś podnieść 5, aby dostać 0
Dialogue: 0,0:06:18.10,0:06:21.50,Default,,0000,0000,0000,,więc x nie może być 0. Nie ma takiej potęgi, do której podniósłbyś 5,
Dialogue: 0,0:06:21.50,0:06:25.70,Default,,0000,0000,0000,,żeby dostać liczbę ujemną. Więc x też nie może być liczbą ujemną.
Dialogue: 0,0:06:25.70,0:06:27.74,Default,,0000,0000,0000,,Więc dziedziną funkcji na samej górze,
Dialogue: 0,0:06:27.74,0:06:30.24,Default,,0000,0000,0000,,i jest to istotne, ponieważ chcemy myśleć o tym, co rysujemy,
Dialogue: 0,0:06:30.24,0:06:33.24,Default,,0000,0000,0000,,Dziedziną tutaj jest x większy od 0.
Dialogue: 0,0:06:33.24,0:06:35.77,Default,,0000,0000,0000,,Zapiszę to.
Dialogue: 0,0:06:35.77,0:06:39.84,Default,,0000,0000,0000,,Dziedzina to x > 0.
Dialogue: 0,0:06:39.84,0:06:44.99,Default,,0000,0000,0000,,Więc będziemy mogli narysować tę funkcję jedynie w dodatniej części osi OX.
Dialogue: 0,0:06:44.99,0:06:47.84,Default,,0000,0000,0000,,Mając to rozumowanie za sobą, x rośnie do 25
Dialogue: 0,0:06:47.84,0:06:55.70,Default,,0000,0000,0000,,Zaznaczę na osi: 5, 10, 15, 20
Dialogue: 0,0:06:55.70,0:06:57.77,Default,,0000,0000,0000,,oraz 25
Dialogue: 0,0:06:57.77,0:06:58.99,Default,,0000,0000,0000,,A teraz nanieśmy punkty.
Dialogue: 0,0:06:58.99,0:07:02.66,Default,,0000,0000,0000,,Ten pierwszy jest na niebiesko, x = 1/25, a y = -2
Dialogue: 0,0:07:02.66,0:07:06.49,Default,,0000,0000,0000,,Gdy x = 1/25, będzie blisko początku dodatniej osi współrzędnych, wtedy y = -2
Dialogue: 0,0:07:06.49,0:07:08.77,Default,,0000,0000,0000,,Więc to będzie tutaj...
Dialogue: 0,0:07:08.77,0:07:17.44,Default,,0000,0000,0000,,Nie dokładnie na osi OY, trochę na prawo OY, ale dość blisko.
Dialogue: 0,0:07:17.44,0:07:22.82,Default,,0000,0000,0000,,Więc mamy tutaj (1/25,-2)
Dialogue: 0,0:07:22.82,0:07:26.91,Default,,0000,0000,0000,,Wtedy gdy x = 1/5, co jest trochę dalej w prawo,
Dialogue: 0,0:07:26.91,0:07:29.91,Default,,0000,0000,0000,,y = -2. Więc to będzie tutaj.
Dialogue: 0,0:07:29.91,0:07:36.84,Default,,0000,0000,0000,,To jest (1/5,-1). A wtedy kiedy x = 1, y = 0.
Dialogue: 0,0:07:36.84,0:07:46.24,Default,,0000,0000,0000,,1 tutaj, więc to jest punkt (1,0)
Dialogue: 0,0:07:46.24,0:07:50.50,Default,,0000,0000,0000,,Gdy x = 5, to y = 1.
Dialogue: 0,0:07:50.50,0:07:56.57,Default,,0000,0000,0000,,y = 1
Dialogue: 0,0:07:56.57,0:07:59.17,Default,,0000,0000,0000,,więc to punkt (5,1)
Dialogue: 0,0:07:59.17,0:08:01.84,Default,,0000,0000,0000,,I w końcu kiedy x = 25, to y = 2
Dialogue: 0,0:08:01.84,0:08:12.97,Default,,0000,0000,0000,,Więc to jest (25,2). I wtedy mogę zrobić wykres tej funkcji.
Dialogue: 0,0:08:12.97,0:08:16.91,Default,,0000,0000,0000,,Użyję do tego różowego koloru.
Dialogue: 0,0:08:16.91,0:08:24.82,Default,,0000,0000,0000,,Wtedy gdy x staje się bardzo bardzo bardzo mały, y dąży do minus nieskończoności
Dialogue: 0,0:08:24.82,0:08:36.70,Default,,0000,0000,0000,,Do jakiej potęgi musisz podnieść 5, aby dostać 0.0001?
Dialogue: 0,0:08:36.70,0:08:38.66,Default,,0000,0000,0000,,To musi być bardzo ujemna potęga.
Dialogue: 0,0:08:38.66,0:08:42.91,Default,,0000,0000,0000,,Wartości stają się bardzo ujemne bliżej 0
Dialogue: 0,0:08:42.91,0:08:46.44,Default,,0000,0000,0000,,a potem funkcja w pewien sposób rośnie
Dialogue: 0,0:08:46.44,0:08:51.24,Default,,0000,0000,0000,,a potem zaczyna wyginać się w prawą stronę
Dialogue: 0,0:08:51.24,0:08:58.91,Default,,0000,0000,0000,,Z lewej strony funkcja będzie coraz gwałtowniej malała
Dialogue: 0,0:08:58.91,0:09:04.50,Default,,0000,0000,0000,,i nigdy nie dotknie osi OY
Dialogue: 0,0:09:04.50,99:59:59.100,Default,,0000,0000,0000,,Będzie coraz bliżej i bliżej osi OY ale nigdy nie dotknie jej.