Graphing Logarithmic Functions

여기서 요구하는 것은 y=log 5의 x (밑 5, 진수 x)를
그래프로 나타내는 것입니다

이것이 무엇을 뜻하는지 상기시켜보면

x를 얻기 위해 y는 5의 지수로 올려야하는 수입니다

아니면 이 로그식을 지수식으로 고친다면

5는 밑이 되고

y는 위로 올려야 할 지수이므로

x는 5를 y제곱했을 때 얻는 값입니다

그래서 이 식을 쓰는 다른 방법은

5의 y제곱은 x와 같다는 것이겠죠

이 둘은 서로 같은 뜻 을 가집니다

첫번째 식에서는 y를 x의 함수로 나타냈고,
변형한 식에서는 x를 y의 함수로 나타냈습니다

하지만 완전히 같은 말을 하고 있는 것이죠:

"5를 y제곱하면 x를 얻는다"

좀 더 구체적으로 보도록 할까요?
이 로그식이 의미하는 것은:

"x를 얻으려면 5를 몇 제곱 해야하지?

y번 제곱해야 하는구나"

반면 이 식에서는
5를 y제곱하면 얼마가 나오지?
x가 나오는구나

자, 이제 의미가 정리 되었지요?

이제 작은 표를 그려서

점 몇 개를 찾고

이 점들을 연결해서 이 그래프가 어떻게 생겼는지 봅시다

그러면 몇 개의 x와 y를 골라봅시다

그리고 숫자를 고를 때에는

일반적으로 깔끔한 답이 나오는 것을 고르는 게 좋습니다

계산기를 쓸 필요가 없는

간단하고 좋은 숫자들 말입니다

그래서 x의 값을 고를 때

5를 몇 번 제곱해야 x가 나오는지의 값이

간단한 수인 것을 고르는 것이 좋습니다

이것을 생각할 수 있는 다른 방법은
서로 다른 y값을 생각하는 것입니다

그리고 5를 y번 제곱해서

x값들을 얻는 것입니다

그러니까 이 지수식을 이용해서
x의 값들을 구하는 것이죠

단, 이렇게 표현할 때 주의해야 할 것은

x가 독립적인 변수이고
y가 다른 값에 의존하는 변수라는 사실입니다

그러나 이 지수식을 보고 y가 깔끔하게
나오는 x값을 잘 고를 수 있기 때문에

저는 여기에 y값들을 먼저 채워넣을 것입니다

깔끔한 x값들을 얻기 위해서죠

그래서 5를

-2제곱 한다고 합시다

-1, 0, 1, 한개 더 해서 2까지

다시 말하지만
다른 값에 의존하는 변수를 먼저 채워넣는 것은

좀 독특한 경우입니다

하지만 이런 식으로 하면

오히려 로그 식에서 독립적인 변수(x)값을
알아내기 쉽습니다

그래서 어떤 x가 y값을 -2가 되게 할까요?

y가 -2가 되려면 x는 얼마가 되어야 할까요?

x는 5의 -2제곱과 같을 것이므로

5를 -2제곱하면 1/25가 나옵니다

다른 방법(첫 번째 식을 이용한 방법)으로 한다면

로그 5에 1/25를 생각해봅시다

5의 몇 제곱을 해야 1/25가 나올까요?

5를 -2제곱 해야 하겠죠

아니면 5의 -2제곱은 1/25라고도 할 수 있습니다

이것들은 다 똑같은 의미입니다

이제 다른 것을 해봅시다

5를 -1제곱하면 무엇이 나올까요?

1/5가 나옵니다. 이 원래 식에 대해 나타내 보면

로그 5에 1/5(밑 5, 진수 1/5)를 뜻하는데

이 식은 "5를 몇 제곱해야 1/5가 나오는가?"를 뜻합니다

5를 -1제곱하면 됩니다

자, 5를 0제곱하면요? 1이 나옵니다

이것은 log 5의 1을 찾는 것과 같은 관계에 있습니다

5를 몇 제곱해야 1이 나올까요?

5를 0제곱해야 합니다

남은 두개를 더 해볼까요?
5를 1제곱하면

5가 나옵니다

이것을 여기로 가져온다면 "5를 몇번 곱해야
5가 나올까요?"의 의미가 되고

답은 1이 되겠죠

마지막으로 5를 제곱하면 25가 나옵니다

로그 식에서 보면 이 관계는

5를 몇번 곱해야 25가 나오는지와 같습니다

2번 곱해야 합니다

지금까지 지수 함수를 로그 함수의 역함수
비슷하게 가져와 문제를 풀었습니다

독립적인 변수와 의존하는 변수를 바꿔 생각한거죠

그래서 깔끔한 y값이 나오는 x값을 구할 수 있었습니다

이것에 대한 설명은 이만하죠
하지만 기억하세요

이 식에서 아무 수나 골라
문제를 해결할 수도 있었겠지만

그렇게 했을 경우 수가 덜 깔끔하게 나와서
계산기를 써야했을 것입니다

제가 이 방법을 쓴 유일한 이유는 깔끔한 결과를 통해
손으로 그래프를 그릴 수 있도록 하기 위해서입니다

그럼 이제 진짜로 그래프를 그려보도록 하죠

y값들은 -2와 2사이에 들어가고

x들은 1/25부터 25까지 갑니다

그래프로 그려봅시다

이것이 y축이고, 이것이 x축입니다

y값들은 0에서부터 시작해 양수 1과 2 -1과 -2를 가지고

x의 값들은 모두 양수입니다

여기서 x의 변역에 대해 한번 생각해 봅시다

x가 양이 아닌 값일 때 로그 함수가 정의될까요?

5를 y제곱한 값이 0이 나올 수 있을까요?

나오지 않습니다.
5를 무한히 작은 음수번 제곱해서

0에 가까이 갈 수 있겠지만 0에 도달하지는 못합니다

5를 y번 제곱해서 0이 될 수 있는 수는 없습니다

그래서 x는 0이 될 수 없습니다

또한 음수가 나올 수도 없습니다

그러므로 이 함수의 변역은

((이것을 해야하는 이유는 함수의 그래프를 그리기 위해 필요하기 때문니다))

x의 범위는 0보다 커야 합니다

이것을 여기에 적어 놓죠

x는 0보다 커야 합니다

따라서 우리는 x가 양수인 구간에 대해서만
그래프를 그릴 수 있겠군요

이것은 정리되었고, x는 25까지 커지니까

여기에 5, 10, 15, 20을 적어놓겠습니다

25도요

이제 구한 점들을 그래프에 나타내 봅시다

이 파란색을 보면 x는 1/25이고 y는 -2입니다

x가 1/25이면 이쪽에 굉장히 가까워질테고, y는 -2입니다

그래서 이것은 이쯤에 있을 것입니다

y축에 닿지는 않지만 1/25면 꽤 가깝습니다

그래서 이 점은 (1/25,-2)입니다

x가 1/5일 때 약간 오른쪽으로 갈것이고

1/5와 y=-1이므로 여기 있을 것입니다

이것은 (1/5,-1)입니다
그리고 x가 1이면 y는 0입니다

1은 여기 있을 것이고 이 점이 (1,0)입니다

x가 5라면 y는 1입니다

이쯤에 찍도록 할까요, y는 1입니다

그러므로 이 점은 (5,1)입니다

그리고 마지막으로 x가 25이면 y는 2입니다

그래서 여기가 (25,2)이고,
이제 함수의 그래프를 그릴 수 있습니다

그래프는 분홍색으로 그리겠습니다

따라서 x가 아주아주 작아질 때
y는 음의 무한대로 갑니다

그렇다면 5를 몇번 제곱해야지 0.0001에 도달할까요

이것은 굉장히 작은 음의 값일 것입니다

y값이 0에 가까워 질수록
음의 값이 점점 작아질 것입니다

그리고 이렇게 올라갑니다

그리고 여기서 이렇게 휘죠

그리고 이것은 더 급한 경사로 감소할 것이고

y축에 닿지 않을 것입니다

점점 가까워지지만 절대 닿지는 않을 것입니다