Law of cosines

Iepriekšējā video mums bija
teksta uzdevums,

kurā mums bija jāizrēķina trijstūra malas,

bet, tā vietā lai izmantotu

Pitagora teorēmu un taisnleņķa trijstūri,
tas bija

vienkārši parasts trijstūris.

Tas nebija taisnleņķa.

Mēs izmanevrējām, izmantojot
trigonometriskās sakarības

un vienkāršās trigonometriskās funkcijas,

gūstot pareizo atbildi.

Tagad gribu iepazīstināt ar to,

ko sauc par kosinusa teorēmu,
ko pierādījām

iepriekšējā video, bet gribu
to parādīt vairāk,

bez teksta uzdevuma.

Gribu parādīt, ka, tiklīdz zini
kosinusu teorēmu,

vari to izmantot uzdevumā, kā darījām,

un tā būs ātrāk.

Man ir dalītas jūtas par to,
jo man nepatīk

iekalt tādas lietas galvā.

Kad tev būs 40, tu droši vien no galvas

neatcerēsies kosinusu teorēmu,
bet tu varēsi

sākt ar trigonometriskajām funkcijām

un iet tālāk, tev būs pamats.

Varbūt rēķināsi trigonometriju

40 gados, kurš zina?

Sāksim un redzēsim, ko dara

kosinusu teorēma.

Teiksim, ka zinu šo leņķi tēta.

Sauksim šo malu, nezinu, par a.

Nē, sauksim par b.

Esmu untumains.

Vispār es pieturēšos pie malu krāsām.

Sauksim to par b un šo par c,

un šo par a.

Ja būtu taisnleņķa trijstūris, varētu

izmantot Pitagora teorēmu,
bet mēs to nevaram.

Ko nu?

Mēs zinām a... Labi, pieņemsim,
ka zinām b, zinām

c, zinām tēta, un gribam uzzināt a.

Bet, ja zini 3 no šiem lielumiem, tu vari

uzzināt ceturto, ja zini kosinusu teorēmu.

Kā to izdarīt?

Mēs darīsim tieši tāpat, kā
iepriekšējā uzdevumā.

Varam novilkt līniju šeit – ak vai,
cik šķībi!

Tas nav līnijas rīks.

Labot, atcelt.

Atcelt.

Novilkšu līniju šādi.

Man ir divi taisnleņķa trijstūri.

Tiklīdz ir taisnleņķa trijstūri, varu

izmantot trigonometriskās funkcijas
un Pitagora teorēmu,

un tā tālāk.

Skatāmies – šis ir taisleņķa un šis ir
taisnleņķa trijstūris.

Kas ir šī mala?

Ņemšu citu krāsu.

Laikam pārāk aizraušos ar krāsām,

bet tas viss mācību nolūkā.

Kas ir šī mala?

Kāds ir šīs violetās malas garums?

Violetā mala ir – izmantosim
trigonometriskās sakarības.

Grasījos uzrakstīt trigonometriskās
sakarības te augšā.

Šī violetā mala ir tētas piekatete,
un šī zilā

mala b ir ši taisnleņķa trijstūra
hipotenūza.

Zinām, ka-- pieturēšos pie vienas krāsas,

jo krāsu mainīšana aizņems laiku.

Zinām, ka kosinuss no tētas--
sauksim šo malu,

šo malas daļu, nezinu,

sauksim par d, malu d.

Zinām, ka kosinuss no tētas vienāds ar
d dalīts ar b, vai ne?

Zinām b.

Ar ko vienāds ir d?

Vienāds ar b kosinusu no tētas.

Sauksim šo malu par e.

Kas ir e?

E ir visa šī c mala – c mala, tas ir

interesanti – visa c mala mīnus d mala,
vai ne?

Tātad e vienāds ar c mīnus d.

Aprēķinājām ar d, tātad e ir vienāda ar c

mīnus b kosinuss no tētas.

Tiktāl e.

Tikām pie e.

Kas būs šī rozā līnija?

Sauksim šo rozā par m kā madženta.

m.

m ir pretkatete pret tētu--

Mēs rēķinājam ar c, bet zinām b,
b ir viegla.

Kāda attiecība ir m dalītai ar b
jeb tādai, kas iekļauj

pretkateti un hipotenūzu?

Tas ir sinuss – pretkatete dalīta
ar hipotenūzu.

Zinām, ka m dalīta ar b ir sinuss
no tētas.

Zinām, ka – rakstīšu šeit –

m dalīta ar b, jo šī ir hipotenūza,
vienāda ar

sinusu no tētas jeb m vienāda ar b sinuss

no tētas, vai ne?

Izrēķinājām m un e, tagad

gribam izrēķināt a.

Šī jāiekrīt acīs.

Ir divas taisnleņķa trijstūra malas.

Gribam zināt hipotenūzu.

Varam izmantot Pitagora teorēmu.

Pitagora teorēma saka, ka a kvadrātā
ir vienāds ar m

kvadrātā plus e kvadrātā, vai ne?

Abas malas kvadrātā.

Kas ir m kvadrātā plus e kvadrātā?

Untumaini pamainīšu uz citu krāsu.

a kvadrātā vienāds ar m kvadrātā,

m ir b sinuss no tētas.

Tātad b sinuss no tētas kvadrātā
plus e kvadrātā.

e, kā sapratām, ir šis.

Tātad plus c mīnus b kosinuss tēta
kvadrātā.

Tagad pamanevrēsim ar algebru.

Tas ir vienāds ar b sinuss – b kvadrātā
sinuss kvadrātā no tētas.

Sinuss kvadrātā no tētas ir tēta kvadrātā.

Plus – to mēs tikko sareizinājām divus
binomus ar parasto metodi.

Vienkārši sareizināju.

c kvadrātā mīnus 2cb kosinuss tēta
plus b kvadrātā

kosinuss no tētas.

Es atvēru iekavas, sareizinot.

Redzēsim, vai varam vēl ko darīt.

Ja ņemam šos izteiksmes locekļus,
iegūstam-- šie divi

locekļi ir b kvadrātā sinuss kvadrātā
no tētas plus b kvadrātā

kosinuss – šim jābūt kvadrātā, jo
mēs to sareizinājām.

b kvadrātā kosinuss kvadrātā no tētas,
un tad mums ir plus c

kvadrātā mīnus 2bc kosinuss tēta.

Kā šo vienkāršot?

Šis ir tas pats, kas b kvadrātā reiz

sinuss kvadrātā plus kosinuss kvadrātā
no tētas.

Tev jau te vajadzētu ko atpazīt,
un tas is plus c

kvadrātā mīnus 2bc kosinuss tēta.

Šī vieta – sinuss kvadrātā plus kosinuss

kvadrātā jebkuram leņķim ir 1.

Tā ir viena no mūsu identitātēm.

Trigonometrijas pamatidentitāte.

Te ir 1, tātad mums paliek--

atpakaļ pie sākotnējās krāsas.

Esam gandrīz galā. a kvadrātā vienāds ar--

šis loceklis kļūst par 1, tad b kvadrātā.

Mums paliek tikai b kvadrātā plus
c kvadrātā

mīnus 2bc kosinuss no tētas.

Jauki, tā saucās kosinusu teorēma.

Tas noder, ja zinām leņķi

un divas malas jebkuram trijstūrim,
tad var

atrast atlikušo malu.

Vai, ja vēlies, ja zini trijstūra
trīs malas,

vari aprēķināt jebkuru leņķi, tas

arī ir ļoti noderīgi.

Vienīgais iemesls, kāpēc mētājos
pa tēmām –

ja mācies trigonometriju un

tev būs kontroldarbs, tev vajadzētu
iegaumēt šo,

jo ātrāk rēķināsi un tiksi pie rezultāta.

Man nepatīk iegaumēt, nezinot

pamatojumu, jo pēc pāris gadiem,

kad mācīsies augstskolā, un būs pagājuši
četri gadi kopš

trigonometrijas stundām, tu gan
jau neatcerēsies no galvas.

Ja pēkšņi saskarsies ar trigonometriju,

tev vismaz būs pamats.

Tā lūk, šī ir kosinusu teorēma, un, ja tu

izmantotu kosinusa teorēmu,
tu atrisinātu šo

daudz ātrāk, jo tev būtu tikai jānosaka

trijstūris un tad jāaizvieto šādi, un tu

būtu varējis atrast a tajā
ačgārnajā uzdevumā.

Tiekamies nākamajā video!