Радианы и градусы

Что такое радианы? Перевод радиан в градусы и наоборот.

Добро пожаловать на урок, посвященный градусам и радианам!

Итак, все вы, наверно, уже близко знакомы

с понятием «градусы».

Думаю, я хорошо вам растолковываю

различные задачки с углами.

Например, вам хорошо известно, что прямой угол составляет 90°.

Или то, что половина прямого угла – 45°.

А также вам, вероятно, известно то,

что в окружности

... (это моя лучшая окружность)...

содержится 360°.

Так, сегодня я познакомлю вас с другой мерой или единицей

для измерения углов, и называется она «радиан».

Итак, что такое радиан?

Начну с определения и думаю,

вам станет понятнее,

почему это называется «радиан».

Воспользуюсь специальным инструментом и нарисую красивую окружность.

Ой, я все еще не отключил этот инструмент.

Вот так хорошо.

Это радиус длиной r.

Радиан – это угол, опирающийся на дугу.

«Опираться» означает… если есть этот угол и

эта дуга, значит этот угол опирается на эту дугу, и эта дуга

опирается на этот угол.

Итак, радиан (один радиан) - это угол, опирающийся на дугу,

длина которой равна длине радиуса.

Поэтому длина этой дуги тоже равна r.

И угол равен 1 радиан.

Ой, как-то начёркано.

Давайте я нарисую окружность побольше.

Вот.

Почему я это делаю? Потому что сам когда-то удивлялся,

почему это называется «радиан».

Мы все знаем о градусах.

Но если посмотреть на радианы,

в них тоже есть смысл.

Я сейчас нарисую линию.

Предположим, это радиус длиной r. Длина этой дуги,

вот здесь, тоже равна r.

Этот угол, называемый θ (тета), равен 1 радиану.

Теперь становится понятно, почему это называется радианом.

Это название похоже на «радиус».

Позвольте вас спросить: сколько радианов

в этой окружности?

Итак, если это равно r, чему равна

вся длина окружности?

Она равна 2πr, правильно?

Вы знаете это из роликов по основам геометрии.

Итак, если радиан – это угол, опирающийся на дугу r,

то угол, опирающийся на дугу 2πr, равен 2π радиан.

Так, этот угол равен 2π радиан.

Если вы все еще в недоумении, подумайте вот как:

угол 2π радиан, проходя по кругу,

описывает дугу длиной 2π радиусов.

Или радиус.

Я не знаю, как назвать множественное число радиуса.

Возможно, радианы.

Но я не знаю.

Итак, почему я говорю всю эту абракадабру и сбиваю вас с толку?

Я хочу только одного: дать вам понять, почему это называется

«радианом», и как он соотносится с окружностью.

И затем, зная, что в окружности содержится 2π радиан, мы сможем

понять взаимосвязь между радианами и градусами.

Давайте я это удалю.

Итак, мы выяснили, что в окружности 2π радиан.

А сколько градусов в окружности?

Если мы пройдем вокруг всей окружности, сколько это будет градусов?

Это 360°.

Итак,

У нас есть равенство, с помощью которого мы можем

перевести радианы в градусы.

Итак, один радиан равен 360/2π градусов

(я разделил обе части равенства на 2π),

что в свою очередь равно 180/π градусов.

Аналогично можно было бы сделать обратное.

Можно было бы разделить обе части равенства на 360
и сказать,

что 1 градус… (я делю обе части

на 360 и переставляю равенство)...

1 градус равен 2π/360 радиан.

Что в свою очередь равно π/180 радиан.

Итак, у нас есть равенства: 1 радиан = 180/π градусов

и 1 градус = π/180 радиан.

И даже если вы забыли эти формулы,

несложно будет запомнить это.

Но если вы когда-либо забудете, всегда можете вернуться к этому:

2π радиан = 360°.

Или другой способ, который, собственно, делает вычисления немного проще,

если вы возьмете половину окружности.

Половина окружности – вот этот угол – это 180°, так?

Это значок градуса.

Я мог бы также написать «градусов».

И это также равно π радиан.

Итак, π радиан = 180°, и вот мы видим наши выражения:

1 радиан = 180/π градусов или 1 градус равен...

1 градус = π/180.

Так, давайте решим пару задач,

чтобы вы разобрались во всем этом.

Предположим, я прошу вас 45° перевести в радианы…

Ну, мы знаем, что 1 градус = π/180 радиан.

Поэтому 45° = 45*(π/180) радиан.

И видите, если сократить дробь,

45 разделить на 180, то получится π/4 радиан.

45° = π/4 радиан.

Имейте в виду, что это 2 разные единицы измерения

или 2 разных способа измерения углов.

Я рассказываю об этом потому, что радианы –

это фактически математический стандарт для измерения углов,

хотя многие из нас имеют дело с градусами

чаще.

Давайте сделаем парочку других примеров.

Только всегда помните: 1 радиан равен

180/π градусов,

1 градус = π/180 радиан.

Если вы путаетесь, просто запишите это.

Как я сейчас сделал, потому что я всегда забываю,

что из них 180/π, а что π/180.

Но я точно помню, что π радиан = 180°.

Решим еще один пример.

Итак, если бы я спросил: π/2 радиан -

сколько это будет в градусах?

Ну вот, я уже забыл, что только что писал,

поэтому напомню сам себе, что π радиан = 180°.

π радиан = 180°

Ой, только что моя жена пришла домой, поэтому мне придется оставить

презентацию, как есть, и продолжить позже.

Хотя нет, все-таки давайте я закончу с этой задачей,

а затем уж уделю внимание жене.

Мы знаем, что π радиан = 180°, так?

Поэтому 1 радиан равен

180/π градусов.

Я вывел формулу снова,

потому что всегда забываю ее.

Итак, вернемся сюда.

Так, π/2 радиан = (π/2) умножить

(180/π)градусов.

И это равно 90°.

Сделаю еще 1 пример.

Давайте возьмем 30°.

Еще раз, я забыл формулу, потому напоминаю,

что π радиан = 180°.

Так, 1 градус равен π/180 радиан.

Поэтому 30° = 30*(π/180) радиан,

что в свою очередь, если сократить дробь,

равно π/6 радиан.

Будем надеяться, что теперь вы знаете, как перевести градусы

в радианы и наоборот, а также почему эта единица измерения называется «радиан»

(потому что она тесно связана с радиусом, да?). Также надеюсь,

что вы будете спокойны, когда кто-либо вас попросит, например,

поработать с радианами, а не с градусами.

До встречи на следующем уроке!