Добро пожаловать на урок, посвященный градусам и радианам! Итак, все вы, наверно, уже близко знакомы с понятием «градусы». Думаю, я хорошо вам растолковываю различные задачки с углами. Например, вам хорошо известно, что прямой угол составляет 90°. Или то, что половина прямого угла – 45°. А также вам, вероятно, известно то, что в окружности ... (это моя лучшая окружность)... содержится 360°. Так, сегодня я познакомлю вас с другой мерой или единицей для измерения углов, и называется она «радиан». Итак, что такое радиан? Начну с определения и думаю, вам станет понятнее, почему это называется «радиан». Воспользуюсь специальным инструментом и нарисую красивую окружность. Ой, я все еще не отключил этот инструмент. Вот так хорошо. Это радиус длиной r. Радиан – это угол, опирающийся на дугу. «Опираться» означает… если есть этот угол и эта дуга, значит этот угол опирается на эту дугу, и эта дуга опирается на этот угол. Итак, радиан (один радиан) - это угол, опирающийся на дугу, длина которой равна длине радиуса. Поэтому длина этой дуги тоже равна r. И угол равен 1 радиан. Ой, как-то начёркано. Давайте я нарисую окружность побольше. Вот. Почему я это делаю? Потому что сам когда-то удивлялся, почему это называется «радиан». Мы все знаем о градусах. Но если посмотреть на радианы, в них тоже есть смысл. Я сейчас нарисую линию. Предположим, это радиус длиной r. Длина этой дуги, вот здесь, тоже равна r. Этот угол, называемый θ (тета), равен 1 радиану. Теперь становится понятно, почему это называется радианом. Это название похоже на «радиус». Позвольте вас спросить: сколько радианов в этой окружности? Итак, если это равно r, чему равна вся длина окружности? Она равна 2πr, правильно? Вы знаете это из роликов по основам геометрии. Итак, если радиан – это угол, опирающийся на дугу r, то угол, опирающийся на дугу 2πr, равен 2π радиан. Так, этот угол равен 2π радиан. Если вы все еще в недоумении, подумайте вот как: угол 2π радиан, проходя по кругу, описывает дугу длиной 2π радиусов. Или радиус. Я не знаю, как назвать множественное число радиуса. Возможно, радианы. Но я не знаю. Итак, почему я говорю всю эту абракадабру и сбиваю вас с толку? Я хочу только одного: дать вам понять, почему это называется «радианом», и как он соотносится с окружностью. И затем, зная, что в окружности содержится 2π радиан, мы сможем понять взаимосвязь между радианами и градусами. Давайте я это удалю. Итак, мы выяснили, что в окружности 2π радиан. А сколько градусов в окружности? Если мы пройдем вокруг всей окружности, сколько это будет градусов? Это 360°. Итак, У нас есть равенство, с помощью которого мы можем перевести радианы в градусы. Итак, один радиан равен 360/2π градусов (я разделил обе части равенства на 2π), что в свою очередь равно 180/π градусов. Аналогично можно было бы сделать обратное. Можно было бы разделить обе части равенства на 360 и сказать, что 1 градус… (я делю обе части на 360 и переставляю равенство)... 1 градус равен 2π/360 радиан. Что в свою очередь равно π/180 радиан. Итак, у нас есть равенства: 1 радиан = 180/π градусов и 1 градус = π/180 радиан. И даже если вы забыли эти формулы, несложно будет запомнить это. Но если вы когда-либо забудете, всегда можете вернуться к этому: 2π радиан = 360°. Или другой способ, который, собственно, делает вычисления немного проще, если вы возьмете половину окружности. Половина окружности – вот этот угол – это 180°, так? Это значок градуса. Я мог бы также написать «градусов». И это также равно π радиан. Итак, π радиан = 180°, и вот мы видим наши выражения: 1 радиан = 180/π градусов или 1 градус равен... 1 градус = π/180. Так, давайте решим пару задач, чтобы вы разобрались во всем этом. Предположим, я прошу вас 45° перевести в радианы… Ну, мы знаем, что 1 градус = π/180 радиан. Поэтому 45° = 45*(π/180) радиан. И видите, если сократить дробь, 45 разделить на 180, то получится π/4 радиан. 45° = π/4 радиан. Имейте в виду, что это 2 разные единицы измерения или 2 разных способа измерения углов. Я рассказываю об этом потому, что радианы – это фактически математический стандарт для измерения углов, хотя многие из нас имеют дело с градусами чаще. Давайте сделаем парочку других примеров. Только всегда помните: 1 радиан равен 180/π градусов, 1 градус = π/180 радиан. Если вы путаетесь, просто запишите это. Как я сейчас сделал, потому что я всегда забываю, что из них 180/π, а что π/180. Но я точно помню, что π радиан = 180°. Решим еще один пример. Итак, если бы я спросил: π/2 радиан - сколько это будет в градусах? Ну вот, я уже забыл, что только что писал, поэтому напомню сам себе, что π радиан = 180°. π радиан = 180° Ой, только что моя жена пришла домой, поэтому мне придется оставить презентацию, как есть, и продолжить позже. Хотя нет, все-таки давайте я закончу с этой задачей, а затем уж уделю внимание жене. Мы знаем, что π радиан = 180°, так? Поэтому 1 радиан равен 180/π градусов. Я вывел формулу снова, потому что всегда забываю ее. Итак, вернемся сюда. Так, π/2 радиан = (π/2) умножить (180/π)градусов. И это равно 90°. Сделаю еще 1 пример. Давайте возьмем 30°. Еще раз, я забыл формулу, потому напоминаю, что π радиан = 180°. Так, 1 градус равен π/180 радиан. Поэтому 30° = 30*(π/180) радиан, что в свою очередь, если сократить дробь, равно π/6 радиан. Будем надеяться, что теперь вы знаете, как перевести градусы в радианы и наоборот, а также почему эта единица измерения называется «радиан» (потому что она тесно связана с радиусом, да?). Также надеюсь, что вы будете спокойны, когда кто-либо вас попросит, например, поработать с радианами, а не с градусами. До встречи на следующем уроке!