1
00:00:00,910 --> 00:00:03,770
Добро пожаловать на урок, посвященный градусам и радианам!

2
00:00:03,770 --> 00:00:07,010
Итак, все вы, наверно, уже близко знакомы

3
00:00:07,010 --> 00:00:07,950
с понятием «градусы».

4
00:00:07,950 --> 00:00:10,310
Думаю, я хорошо вам растолковываю

5
00:00:10,310 --> 00:00:12,370
различные задачки с углами.

6
00:00:12,370 --> 00:00:23,460
Например, вам хорошо известно, что прямой угол составляет 90°.

7
00:00:23,460 --> 00:00:28,650
Или то, что половина прямого угла – 45°.

8
00:00:28,650 --> 00:00:32,630
А также вам, вероятно, известно то, 


9
00:00:32,630 --> 00:00:36,610
что в окружности

10
00:00:36,610 --> 00:00:38,760
... (это моя лучшая окружность)...

11
00:00:38,760 --> 00:00:41,010
содержится 360°.

12
00:00:41,010 --> 00:00:44,750
Так, сегодня я познакомлю вас с другой мерой или единицей 


13
00:00:44,750 --> 00:00:47,270
для измерения углов, и называется она «радиан».

14
00:00:47,270 --> 00:00:52,160


15
00:00:52,160 --> 00:00:53,450
Итак, что такое радиан?

16
00:00:53,450 --> 00:00:55,650
Начну с определения и думаю, 


17
00:00:55,650 --> 00:00:57,105
вам станет понятнее,

18
00:00:57,105 --> 00:00:59,910
почему это называется «радиан».

19
00:00:59,910 --> 00:01:01,380


20
00:01:01,380 --> 00:01:02,850
Воспользуюсь специальным инструментом и нарисую красивую окружность.

21
00:01:02,850 --> 00:01:10,060


22
00:01:10,060 --> 00:01:14,270
Ой, я все еще не отключил этот инструмент.

23
00:01:14,270 --> 00:01:14,530
Вот так хорошо.

24
00:01:14,530 --> 00:01:19,430


25
00:01:19,430 --> 00:01:21,630
Это радиус длиной r.

26
00:01:21,630 --> 00:01:25,500
Радиан – это угол, опирающийся на дугу.

27
00:01:25,500 --> 00:01:30,210
«Опираться» означает… если есть этот угол и 


28
00:01:30,210 --> 00:01:34,520
эта дуга, значит этот угол опирается на эту дугу, и эта дуга 


29
00:01:34,520 --> 00:01:36,020
опирается на этот угол.

30
00:01:36,020 --> 00:01:41,050
Итак, радиан (один радиан) - это угол, опирающийся на дугу, 


31
00:01:41,050 --> 00:01:44,130
длина которой равна длине радиуса.

32
00:01:44,130 --> 00:01:46,780
Поэтому длина этой дуги тоже равна r.

33
00:01:46,780 --> 00:01:50,440
И угол равен 1 радиан.

34
00:01:50,440 --> 00:01:51,140
Ой, как-то начёркано.

35
00:01:51,140 --> 00:01:52,430
Давайте я нарисую окружность побольше.

36
00:01:52,430 --> 00:01:53,720


37
00:01:53,720 --> 00:01:55,010
Вот.

38
00:01:55,010 --> 00:01:56,640
Почему я это делаю? Потому что сам когда-то удивлялся, 


39
00:01:56,640 --> 00:01:57,860
почему это называется «радиан».

40
00:01:57,860 --> 00:01:58,780
Мы все знаем о градусах.

41
00:01:58,780 --> 00:02:00,300
Но если посмотреть на радианы,

42
00:02:00,300 --> 00:02:02,090
в них тоже есть смысл.

43
00:02:03,100 --> 00:02:05,873
Я сейчас нарисую линию.

44
00:02:05,873 --> 00:02:12,980


45
00:02:12,980 --> 00:02:18,990
Предположим, это радиус длиной r. Длина этой дуги, 



46
00:02:18,990 --> 00:02:21,460
вот здесь, тоже равна r.

47
00:02:21,460 --> 00:02:28,210
Этот угол, называемый θ (тета), равен 1 радиану.

48
00:02:28,210 --> 00:02:30,220
Теперь становится понятно, почему это называется радианом.

49
00:02:30,220 --> 00:02:32,440
Это название похоже на «радиус».

50
00:02:32,440 --> 00:02:35,100
Позвольте вас спросить: сколько радианов

51
00:02:35,100 --> 00:02:37,420
в этой окружности?

52
00:02:37,420 --> 00:02:41,300
Итак, если это равно r, чему равна

53
00:02:41,300 --> 00:02:42,050
вся длина окружности?

54
00:02:42,050 --> 00:02:44,630


55
00:02:44,630 --> 00:02:46,540
Она равна 2πr, правильно?

56
00:02:46,540 --> 00:02:50,050
Вы знаете это из роликов по основам геометрии.

57
00:02:50,050 --> 00:02:55,850
Итак, если радиан – это угол, опирающийся на дугу r,



58
00:02:55,850 --> 00:03:03,650
то угол, опирающийся на дугу 2πr, равен 2π радиан.

59
00:03:03,650 --> 00:03:06,970
Так, этот угол равен 2π радиан.

60
00:03:06,970 --> 00:03:12,510


61
00:03:12,510 --> 00:03:14,820
Если вы все еще в недоумении, подумайте вот как: 



62
00:03:14,820 --> 00:03:20,390
угол 2π радиан, проходя по кругу,

63
00:03:20,390 --> 00:03:22,650
описывает дугу длиной 2π радиусов.

64
00:03:22,650 --> 00:03:23,500
Или радиус.

65
00:03:23,500 --> 00:03:26,460
Я не знаю, как назвать множественное число радиуса.

66
00:03:26,460 --> 00:03:27,110
Возможно, радианы.

67
00:03:27,110 --> 00:03:30,130
Но я не знаю.

68
00:03:30,130 --> 00:03:32,630
Итак, почему я говорю всю эту абракадабру и сбиваю вас с толку?

69
00:03:32,630 --> 00:03:35,580
Я хочу только одного: дать вам понять, почему это называется 


70
00:03:35,580 --> 00:03:38,130
«радианом», и как он соотносится с окружностью.

71
00:03:38,130 --> 00:03:41,890
И затем, зная, что в окружности содержится 2π радиан, мы сможем 


72
00:03:41,890 --> 00:03:46,980
понять взаимосвязь между радианами и градусами.

73
00:03:46,980 --> 00:03:49,920
Давайте я это удалю.

74
00:03:49,920 --> 00:03:54,190
Итак, мы выяснили, что в окружности 2π радиан.

75
00:03:54,190 --> 00:03:57,340


76
00:03:57,340 --> 00:03:58,970
А сколько градусов в окружности?

77
00:03:58,970 --> 00:04:00,800
Если мы пройдем вокруг всей окружности, сколько это будет градусов?

78
00:04:00,800 --> 00:04:04,360
Это 360°.

79
00:04:04,360 --> 00:04:07,080


80
00:04:07,080 --> 00:04:07,520
Итак,

81
00:04:07,520 --> 00:04:09,620
У нас есть равенство, с помощью которого мы можем 


82
00:04:09,620 --> 00:04:10,950
перевести радианы в градусы.

83
00:04:10,950 --> 00:04:19,390
Итак, один радиан равен 360/2π градусов

84
00:04:19,390 --> 00:04:22,570
(я разделил обе части равенства на 2π), 


85
00:04:22,570 --> 00:04:27,040
что в свою очередь равно 180/π градусов.

86
00:04:27,040 --> 00:04:29,710


87
00:04:29,710 --> 00:04:31,080
Аналогично можно было бы сделать обратное.

88
00:04:31,080 --> 00:04:34,000
Можно было бы разделить обе части равенства на 360
и сказать, 


89
00:04:34,000 --> 00:04:38,530
что 1 градус… (я делю обе части

90
00:04:38,530 --> 00:04:39,970
на 360 и переставляю равенство)...

91
00:04:39,970 --> 00:04:45,410
1 градус равен 2π/360 радиан.

92
00:04:45,410 --> 00:04:48,570


93
00:04:48,570 --> 00:04:53,260
Что в свою очередь равно π/180 радиан.

94
00:04:53,260 --> 00:05:00,440
Итак, у нас есть равенства: 1 радиан = 180/π градусов 



95
00:05:00,440 --> 00:05:05,220
и 1 градус = π/180 радиан.

96
00:05:05,220 --> 00:05:06,980
И даже если вы забыли эти формулы,

97
00:05:06,980 --> 00:05:08,740
несложно будет запомнить это.

98
00:05:08,740 --> 00:05:12,520
Но если вы когда-либо забудете, всегда можете вернуться к этому: 


99
00:05:12,520 --> 00:05:15,810
2π радиан = 360°.

100
00:05:15,810 --> 00:05:21,450
Или другой способ, который, собственно, делает вычисления немного проще,

101
00:05:21,450 --> 00:05:26,545
если вы возьмете половину окружности. 


102
00:05:26,545 --> 00:05:31,550
Половина окружности – вот этот угол – это 180°, так?

103
00:05:31,550 --> 00:05:35,210


104
00:05:35,210 --> 00:05:36,120
Это значок градуса.

105
00:05:36,120 --> 00:05:37,810
Я мог бы также написать «градусов».

106
00:05:37,810 --> 00:05:39,680
И это также равно π радиан.

107
00:05:39,680 --> 00:05:42,680


108
00:05:42,680 --> 00:05:46,250
Итак, π радиан = 180°, и вот мы видим наши выражения:


109
00:05:46,250 --> 00:05:57,250
1 радиан = 180/π градусов или 1 градус равен...

110
00:05:57,250 --> 00:06:00,940
1 градус = π/180.


111
00:06:00,940 --> 00:06:02,495
Так, давайте решим пару задач,

112
00:06:02,495 --> 00:06:03,540
чтобы вы разобрались во всем этом.

113
00:06:03,540 --> 00:06:09,010
Предположим, я прошу вас 45° перевести в радианы…

114
00:06:09,010 --> 00:06:12,440


115
00:06:12,440 --> 00:06:18,410
Ну, мы знаем, что 1 градус = π/180 радиан.

116
00:06:18,410 --> 00:06:32,910
Поэтому 45° = 45*(π/180) радиан.

117
00:06:32,910 --> 00:06:36,850
И видите, если сократить дробь,

118
00:06:36,850 --> 00:06:42,360
45 разделить на 180, то получится π/4 радиан.

119
00:06:42,360 --> 00:06:45,650


120
00:06:45,650 --> 00:06:49,600
45° = π/4 радиан.

121
00:06:49,600 --> 00:06:52,610
Имейте в виду, что это 2 разные единицы измерения 


122
00:06:52,610 --> 00:06:55,070
или 2 разных способа измерения углов.


123
00:06:55,070 --> 00:06:56,590
Я рассказываю об этом потому, что радианы –

124
00:06:56,590 --> 00:06:59,700
это фактически математический стандарт для измерения углов,

125
00:06:59,700 --> 00:07:01,690
хотя многие из нас имеют дело с градусами


126
00:07:01,690 --> 00:07:03,030
чаще.

127
00:07:03,030 --> 00:07:04,920
Давайте сделаем парочку других примеров.

128
00:07:04,920 --> 00:07:06,690
Только всегда помните: 1 радиан равен 



129
00:07:06,690 --> 00:07:08,400
180/π градусов,

130
00:07:08,400 --> 00:07:10,200
1 градус = π/180 радиан.

131
00:07:10,200 --> 00:07:12,630
Если вы путаетесь, просто запишите это.

132
00:07:12,630 --> 00:07:15,400
Как я сейчас сделал, потому что я всегда забываю, 


133
00:07:15,400 --> 00:07:17,570
что из них 180/π, а что π/180.


134
00:07:17,570 --> 00:07:21,550
Но я точно помню, что π радиан = 180°.

135
00:07:21,550 --> 00:07:23,840
Решим еще один пример.

136
00:07:23,840 --> 00:07:33,060
Итак, если бы я спросил: π/2 радиан - 



137
00:07:33,060 --> 00:07:33,765
сколько это будет в градусах?

138
00:07:33,765 --> 00:07:37,480


139
00:07:37,480 --> 00:07:40,660
Ну вот, я уже забыл, что только что писал, 


140
00:07:40,660 --> 00:07:45,565
поэтому напомню сам себе, что π радиан = 180°.

141
00:07:45,565 --> 00:07:55,720
π радиан = 180°

142
00:07:55,720 --> 00:07:57,930
Ой, только что моя жена пришла домой, поэтому мне придется оставить 


143
00:07:57,930 --> 00:08:02,670
презентацию, как есть, и продолжить позже.

144
00:08:02,670 --> 00:08:05,120
Хотя нет, все-таки давайте я закончу с этой задачей,


145
00:08:05,120 --> 00:08:07,270
а затем уж уделю внимание жене.


146
00:08:07,270 --> 00:08:12,140
Мы знаем, что π радиан = 180°, так?

147
00:08:12,140 --> 00:08:18,840
Поэтому 1 радиан равен

148
00:08:18,840 --> 00:08:21,660
180/π градусов.

149
00:08:21,660 --> 00:08:23,470
Я вывел формулу снова, 


150
00:08:23,470 --> 00:08:24,490
потому что всегда забываю ее.

151
00:08:24,490 --> 00:08:25,500
Итак, вернемся сюда.

152
00:08:25,500 --> 00:08:33,160
Так, π/2 радиан = (π/2) умножить

153
00:08:33,160 --> 00:08:38,510
(180/π)градусов.

154
00:08:38,510 --> 00:08:41,585
И это равно 90°.

155
00:08:41,585 --> 00:08:47,240


156
00:08:47,240 --> 00:08:48,830
Сделаю еще 1 пример.

157
00:08:48,830 --> 00:08:54,480


158
00:08:54,480 --> 00:08:55,915
Давайте возьмем 30°.

159
00:08:55,915 --> 00:09:00,950


160
00:09:00,950 --> 00:09:03,200
Еще раз, я забыл формулу, потому напоминаю,



161
00:09:03,200 --> 00:09:10,960
что π радиан = 180°.

162
00:09:10,960 --> 00:09:19,150
Так, 1 градус равен π/180 радиан.

163
00:09:19,150 --> 00:09:27,220
Поэтому 30° = 30*(π/180) радиан, 


164
00:09:27,220 --> 00:09:31,320
что в свою очередь, если сократить дробь,


165
00:09:31,320 --> 00:09:36,160
равно π/6 радиан.

166
00:09:36,160 --> 00:09:39,630
Будем надеяться, что теперь вы знаете, как перевести градусы 


167
00:09:39,630 --> 00:09:42,070
в радианы и наоборот, а также почему эта единица измерения называется «радиан»

168
00:09:42,070 --> 00:09:45,880
(потому что она тесно связана с радиусом, да?). Также надеюсь,

169
00:09:45,880 --> 00:09:50,210
что вы будете спокойны, когда кто-либо вас попросит, например,

170
00:09:50,210 --> 00:09:52,410
поработать с радианами, а не с градусами.

171
00:09:52,410 --> 00:09:54,671
До встречи на следующем уроке!