Gradi e Radianti

Conversione fra radianti e gradi

Benvenuto alla lezione
sui radianti e i gradi!

Credo che tu sappia già con chiarezza

cosa siano i gradi,

e che nelle nostre lezioni

sugli angoli li usiate

per gli esercizi che diamo.

Saprai che un angolo retto è 90°

e che 1/2 angolo retto è 45°.

E forse saprai che in un cerchio --

tento di fare un cerchio...

ci sono 360°.

Oggi vi mostrerò un altro modo per

misurare gli angoli: i radianti.

. . .

Cos'è un radiante?

Vi do una definizione e penso che basti

a farvi capire perchè sia

chiamato radiante.

. .

Facciamo un vero cerchio!

. . .

Ecco lo strumento adatto!

OK.

. . .

Questo è un raggio di lunghezza r

Un radiante è l'angolo che
sottende un arco.

"Sottende" significa che, se questo
è l'angolo e questo l'arco,

l'angolo sottende l'arco, l'arco

sottende l'angolo.

1 radiante, quindi, è l'angolo
che sottende un arco di

lunghezza r.

Quindi questo misura r.

E quest'angolo è di 1 radiante.

Uhm, chiariamo

Usiamo un cerchio
più grande.

. . .

Ecco fatto.

Spiegherò il perchè

si usa il radiante.

Tutti conosciamo i gradi.

Ma, pensandoci, ha

molto molto senso.

Usiamo lo strumento per la linea.

. . .

Diciamo che questo raggio è lungo r
e che quest'arco

è anch'esso lungo r.

Allora, quest'angolo, detto θ (theta),
misura 1 radiante.

Adesso ha senso che lo chiamino
"radiante".

è simile ad un raggio (lat. "radius")

Adesso vi faccio una domanda:
quanti radianti

ci sono in una circonferenza?

Se misura r, quanto misurerà
tutta la circonferenza

di un cerchio?

. . .

C = 2πr, vero?

Lo sai grazie alla lezione di geometria.

Quindi, se il radiante è l'angolo che
sottende un arco lungo r, allora

l'angolo che sottende 2πr è 2π.

Quindi, quest'angolo vale 2π.

. . .

Se non hai capito,
proviamo così:

un angolo di 2π radianti finisce
per sottendere

un arco di 2π r

radius o radii

Non sono sicuro di come si dica il plurale di 'raggio' in latino

È radianti?

No, non credo

Speriamo che non vi sto confondendo ora

Volevo farvi capire da dove
provenga il nome e come sia

legato al cerchio.

Posto che in una circonferenza ci sono
2π radianti, possiamo

esprimere la relazione tra radianti
e gradi.

Facciamo spazio.

Abbiamo detto che, in un cerchio,
ci sono 2π radianti.

. . .

E quanti gradi ci sono?

Se percorriamo un cerchio completo,
quanti gradi abbiamo?

360°.

. . .

E cosdì

Abbiamo un'equazione per
convertire

radianti e gradi.

Quindi, 1 radiante = 360°/2π.

Divido entrambe le parti
per 2π!

Quindi otteniamo 180°/π

. . .

Allo stesso modo per i
gradi.

Avremmo entrambi i lati divisi per 360

e diremmo che 1°

1 grado

è uguale a 2π/360 radianti

. . .

E quindi π/180 radianti.

Quindi possiamo convertire:
1 radiante = 180°/π

e 1° = π/180 radianti.

Se lo dimenticate, non succede, niente di grave.

Ma non è male cercare di memorizzarlo

E se doveste dimenticarlo, potete aiutarvi con la proprietà

ricordando che 2π = 360°

Alternativamente, forse è più semplice,

pensate che metà del cerchio

quest'angolo è 180 gradi

. . .

Indichiamo i gradi così

o scriviamo 'gradi' per esteso

e 180 gradi corrisponde a π radianti

. . .

Quindi π radianti corrisponde a 180 gradi

espresso in gradi, un radiante è pari a 180/π

espresso in radianti, un grado è pari a π/180

Risolviamo un paio di esercizi

per familiarizzarci

Convertiamo 45 gradi in radianti

...

Sappiamo che 1 grado = π/180

quindi 45 gradi = 45 * π/180

Dividiamo 45/180

45 ci sta 4 volte nel 180, quindi = π/180

. . .

45 gradi = π/4

non dimenticate che queste sono unità diverse

due modi differenti di misurare gli angoli

La ragione d'insistere su ciò

è che questo è il modo standard per misurare gli angoli

in genere abbiamo più familiarità con i gradi

nella vita di tutti i giorni

Ancora un paio di esempi

Ricordate che 1 radiante espresso in gradi

è uguale a 180/π

1 grado espresso in radianti = π/180

scrivete questa eguaglianza per aiutarvi

io me ne dimentico sempre altrimenti

π/180 o 180/π

Io mi ricordo che π radianti = 180 gradi

Facciamone un altro

Allora, π/2 corrisponde

a quanti gradi?

. . .

Non ho fatto caso che l'avevo già scritto

parto da π = 180

. . .

Mia moglie è appena rientrata quindi vi devo lasciare

continuerò la presentazione un'altra volta

Anzi, finiamo questa

e poi mi occupo della moglie

Allora, π = 180

1 = 180 / π

1 = 180 / π

Me la devo riscrivere ogni volta

perché me ne dimentico sempre

Torniamo a noi

π/2 = π/(2*180/π)

π/2 = π/(2*180/π)

Che corrisponde a 90 gradi

.. .

Facciamo un ultimo esempio

. . .

Calcoliamo 30 gradi

. . .

Come al solito, non ricordo la formula, ma ricordo che

π radianti = 180 gradi

1 grado espresso in radianti = π/180

30 gradi è 30*π/180

che dà... 180/30=6

π/6

Abbiamo preso la mano con queste conversioni

e si capisce perché si chiamano 'radianri'

visto il rapporto stretto con il raggio

ci siamo familiarizzati con queste unità di misura

e ormai sappiamo convertire gradi in radianti e viceversa.

Alla prossima presentazione.