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Hallo! Heute geht es um Grad- und Bogenmaß!
Ihr seid bestimmt schon vertraut mit dem Begriff "Gradmaß".
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Ich glaube, dass wir dafür intensiv gepaukt haben.
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Zum Beispiel, ihr könnt bereits wissen, dass der rechte Winkel 90 Grad beträgt.
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Oder ihr könnt wissen, dass die Hälfte des rechten Winkels 45 Grad ist.
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Und wahrscheinlich wisst ihr, dass der Kreis 360 Grad beträgt.
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So, heute stelle ich euch ein anderes Winkelmaß vor, das Bogenmaß.
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Zur Kennzeichnung des Bogenmaßes wird die Einheit Radiant nachgestellt.
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Also, was ist ein Bogenmaß?
Ich werde das jetzt definieren.
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So, ich werde jetzt ein spezielles Werkzeug benutzten,
um einen schönen Kreis zu zeichnen.
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Das ist aber falsches Werkzeug.
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So das ist gut.
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Das ist ein Radius, der die Länge r hat.
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Das Bogenmaß eines Winkels ist definiert als das
Verhältnis der Länge des Kreisbogens zum Radius.
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Um auf die Verwendung des Bogenmaßes hinzuweisen,
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kann der Radiant mit dem Einheitenzeichen rad nachgestellt werden.
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Dabei ist 1 Radiant die Größe desjenigen Winkels, der einen Bogen mit der Länge des Radius r umschließt.
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Die Länge dieses Bogens ist daher auch gleich r.
Und der Winkel ist gleich 1 Radiant.
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Lasst mich einen größeren Kreis zeichnen.
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Wieso der Vollwinkel ausgerechnet 360 Grad misst, hat historische Gründe
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und ist vom mathematischen Standpunkt aus gesehen gar nicht so vorteilhaft.
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Das Bogenmaß ist für viele Zwecke günstiger.
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Angenommen, der Radius hat die Länge r. Die Länge
dieses Bogens hier ist auch gleich r.
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Dieser Winkel θ ist gleich 1 Radiant.
Jetzt wird auch klar, warum das der Radiant heißt.
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Das klingt wie "Radius".
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Man fragt sich: Wie viele Radianten beträgt ein Vollkreis?
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Wenn das gleich r ist, wie viel beträgt dann der gesamte Kreisumfang?
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Er ist gleich 2πr, nicht wahr?
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Ihr wisst das aus der Geometrie.
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Also, wenn der Winkel, der den Bogen r umfasst,
1 Radiant gleich ist,
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dann ist der Winkel, der den Bogen 2πr umfasst, gleich 2π Radianten.
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Also dieser Winkel ist 2π Radianten.
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Oder anders rum: Winkel von 2π Radianten beschreibt einen 2πr langen Bogen.
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Ich möchte euch nicht verwirren.
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Ich möchte nur, dass ihr versteht warum es
"Radiant" heißt, und wie das sich auf den Kreis bezieht.
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Wir wissen, dass ein Vollkreis 2π Radianten ist, und wir können jetzt der Beziehung zwischen Bogen- und Gradmaß verstehen.
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Ich lösche das.
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Also wir haben klargestellt, dass ein Kreis 2π Radianten enthält.
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Und wie viel Grad hat ein Kreis?
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Wenn wir um den ganzen Kreis herumgehen, wie viel
Grad ist das? Das sind 360 Grad.
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Wir haben eine Gleichung für die Umrechnung zwischen
Radiant und Grad.
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Ein Radiant entspricht 360/2π Grad (ich habe beide Seiten durch 2π geteilt), und das ist 180/π Grad.
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Ebenso kann ich beide Seiten durch 360 dividieren
und sagen,
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dass ein Grad 2π/360 Radiant entspricht.
Also 1 Grad entspricht π/180 Radiant.
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Wir erhalten: 1 Radiant = 180 / π Grad
und 1 Grad = π/180 Radiant.
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Es tut nicht Weh das zu merken. Aber wenn ihr
das doch vergesst, könnt ihr immer wieder das ansehen.
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Wir machen Berechnungen ein wenig einfacher, wenn wir einen halben Kreis nehmen.
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Die Hälfte eines Kreises (das ist dieser Winkel) ist
180 Grad, nicht wahr? Das ist ein Gradzeichen.
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Ich könnte auch „Grad“ schreiben.
Und es ist auch gleich π Radiant.
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Also π Radiant ist gleich 180 Grad
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Und hier sind unsere Ausdrücke:
1Radiant = 180/π Grad oder 1 Grad = π/180 Radiant.
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Lasst uns ein paar Aufgaben lösen, um alles zu verstehen.
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Angenommen, dass ihr 45 Grad in Radiant umrechnen sollt ...
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Wir wissen, dass 1 Grad = π/180 Radiant ist.
Deshalb 45 Grad = 45 * (π/180) Radiant
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Wenn wir den Bruch kürzen, wenn wir 180
durch 45 teilen, erhalten wir π/4 Radiant.
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45 Grad = π/4 Radiant
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Merkt euch, dass das zwei unterschiedlichen Maßeinheiten
oder zwei verschiedenen Winkelmessungen sind.
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Mit dem Bogenmaß wird in der Mathematik gemessen.
Im Alltag hat man mit dem Gradmaß zu tun.
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Und nicht vergessen: 1 Radiant = 180/π Grad,
1 Grad = π/180 Radiant.
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Ich habe das aufgeschrieben, weil ich immer vergesse,
was 180/π und was π/180 beträgt.
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Aber was ich genau weiß, dass π Radiant gleich 180 Grad sind.
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Ein weiteres Beispiel.
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Also wie viel Grad sind in π/2 Radianten?
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Was haben wir gerade geschrieben, dass
π Radiant = 180 Grad.
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Wir wissen, dass π Radiant = 180 Grad, nicht wahr?
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Also noch mal π Radiant = 180 Grad
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Daher ist 1 Radiant = 180/π Grad.
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Ich vergesse das immer wieder.
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Zurück zur Aufgabe.
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So, π/2 Radiant = (π/2) * (180 / π) Grad.
Und es ist 90 Grad.
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Noch ein Beispiel.
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Angenommen, dass ihr 30 Grad in Radiant umrechnen sollt. Ich erinnere euch, dass π Radiant = 180 Grad.
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Und 1 Grad = π/180 Radiant.
Deshalb sind 30 Grad = 30 * (π/180) Radiant.
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Und wenn wir den Bruch kürzen,
erhalten wir π/6 Radiant.
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Ich hoffe, dass ihr jetzt wisst, wie man
Grad in Radiant und umgekehrt umrechnet.
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Und ihr wisst, warum diese Einheit Radiant heißt (weil
sie eng mit dem Radius verbunden ist).
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Bis zum nächsten Mal!
