WEBVTT 00:00:05.000 --> 00:00:13.300 Hallo! Heute geht es um Grad- und Bogenmaß! Ihr seid bestimmt schon vertraut mit dem Begriff "Gradmaß". 00:00:13.500 --> 00:00:17.200 Ich glaube, dass wir dafür intensiv gepaukt haben. 00:00:17.578 --> 00:00:26.378 Zum Beispiel, ihr könnt bereits wissen, dass der rechte Winkel 90 Grad beträgt. 00:00:26.533 --> 00:00:33.333 Oder ihr könnt wissen, dass die Hälfte des rechten Winkels 45 Grad ist. 00:00:33.533 --> 00:00:40.933 Und wahrscheinlich wisst ihr, dass der Kreis 360 Grad beträgt. 00:00:43.033 --> 00:00:49.033 So, heute stelle ich euch ein anderes Winkelmaß vor, das Bogenmaß. 00:00:49.167 --> 00:00:54.167 Zur Kennzeichnung des Bogenmaßes wird die Einheit Radiant nachgestellt. 00:00:54.500 --> 00:00:59.300 Also, was ist ein Bogenmaß? Ich werde das jetzt definieren. 00:00:59.433 --> 00:01:08.233 So, ich werde jetzt ein spezielles Werkzeug benutzten, um einen schönen Kreis zu zeichnen. 00:01:14.000 --> 00:01:18.400 Das ist aber falsches Werkzeug. 00:01:18.733 --> 00:01:20.533 So das ist gut. 00:01:20.767 --> 00:01:23.867 Das ist ein Radius, der die Länge r hat. 00:01:24.133 --> 00:01:30.733 Das Bogenmaß eines Winkels ist definiert als das Verhältnis der Länge des Kreisbogens zum Radius. 00:01:30.933 --> 00:01:34.433 Um auf die Verwendung des Bogenmaßes hinzuweisen, 00:01:34.633 --> 00:01:39.233 kann der Radiant mit dem Einheitenzeichen rad nachgestellt werden. 00:01:39.400 --> 00:01:48.200 Dabei ist 1 Radiant die Größe desjenigen Winkels, der einen Bogen mit der Länge des Radius r umschließt. 00:01:48.553 --> 00:01:55.450 Die Länge dieses Bogens ist daher auch gleich r. Und der Winkel ist gleich 1 Radiant. 00:01:55.567 --> 00:01:58.970 Lasst mich einen größeren Kreis zeichnen. 00:01:59.167 --> 00:02:05.770 Wieso der Vollwinkel ausgerechnet 360 Grad misst, hat historische Gründe 00:02:05.922 --> 00:02:09.920 und ist vom mathematischen Standpunkt aus gesehen gar nicht so vorteilhaft. 00:02:10.067 --> 00:02:13.770 Das Bogenmaß ist für viele Zwecke günstiger. 00:02:14.049 --> 00:02:25.450 Angenommen, der Radius hat die Länge r. Die Länge dieses Bogens hier ist auch gleich r. 00:02:25.600 --> 00:02:34.200 Dieser Winkel θ ist gleich 1 Radiant. Jetzt wird auch klar, warum das der Radiant heißt. 00:02:34.436 --> 00:02:35.940 Das klingt wie "Radius". 00:02:36.247 --> 00:02:40.250 Man fragt sich: Wie viele Radianten beträgt ein Vollkreis? 00:02:41.467 --> 00:02:47.970 Wenn das gleich r ist, wie viel beträgt dann der gesamte Kreisumfang? 00:02:48.133 --> 00:02:53.130 Er ist gleich 2πr, nicht wahr? 00:02:53.291 --> 00:02:55.690 Ihr wisst das aus der Geometrie. 00:02:55.867 --> 00:03:01.870 Also, wenn der Winkel, der den Bogen r umfasst, 1 Radiant gleich ist, 00:03:02.100 --> 00:03:09.500 dann ist der Winkel, der den Bogen 2πr umfasst, gleich 2π Radianten. 00:03:09.700 --> 00:03:15.300 Also dieser Winkel ist 2π Radianten. 00:03:16.000 --> 00:03:25.000 Oder anders rum: Winkel von 2π Radianten beschreibt einen 2πr langen Bogen. 00:03:27.333 --> 00:03:29.630 Ich möchte euch nicht verwirren. 00:03:29.733 --> 00:03:37.730 Ich möchte nur, dass ihr versteht warum es "Radiant" heißt, und wie das sich auf den Kreis bezieht. 00:03:37.933 --> 00:03:47.930 Wir wissen, dass ein Vollkreis 2π Radianten ist, und wir können jetzt der Beziehung zwischen Bogen- und Gradmaß verstehen. 00:03:50.000 --> 00:03:51.700 Ich lösche das. 00:03:54.933 --> 00:04:00.330 Also wir haben klargestellt, dass ein Kreis 2π Radianten enthält. 00:04:00.467 --> 00:04:03.470 Und wie viel Grad hat ein Kreis? 00:04:03.567 --> 00:04:10.670 Wenn wir um den ganzen Kreis herumgehen, wie viel Grad ist das? Das sind 360 Grad. 00:04:10.800 --> 00:04:15.800 Wir haben eine Gleichung für die Umrechnung zwischen Radiant und Grad. 00:04:15.933 --> 00:04:32.230 Ein Radiant entspricht 360/2π Grad (ich habe beide Seiten durch 2π geteilt), und das ist 180/π Grad. 00:04:32.367 --> 00:04:38.670 Ebenso kann ich beide Seiten durch 360 dividieren und sagen, 00:04:38.732 --> 00:04:58.930 dass ein Grad 2π/360 Radiant entspricht. Also 1 Grad entspricht π/180 Radiant. 00:04:59.073 --> 00:05:13.670 Wir erhalten: 1 Radiant = 180 / π Grad und 1 Grad = π/180 Radiant. 00:05:13.767 --> 00:05:19.770 Es tut nicht Weh das zu merken. Aber wenn ihr das doch vergesst, könnt ihr immer wieder das ansehen. 00:05:20.933 --> 00:05:26.730 Wir machen Berechnungen ein wenig einfacher, wenn wir einen halben Kreis nehmen. 00:05:29.867 --> 00:05:39.470 Die Hälfte eines Kreises (das ist dieser Winkel) ist 180 Grad, nicht wahr? Das ist ein Gradzeichen. 00:05:39.567 --> 00:05:46.570 Ich könnte auch „Grad“ schreiben. Und es ist auch gleich π Radiant. 00:05:46.700 --> 00:05:50.800 Also π Radiant ist gleich 180 Grad 00:05:51.067 --> 00:06:05.570 Und hier sind unsere Ausdrücke: 1Radiant = 180/π Grad oder 1 Grad = π/180 Radiant. 00:06:05.668 --> 00:06:10.270 Lasst uns ein paar Aufgaben lösen, um alles zu verstehen. 00:06:10.433 --> 00:06:16.030 Angenommen, dass ihr 45 Grad in Radiant umrechnen sollt ... 00:06:16.167 --> 00:06:36.370 Wir wissen, dass 1 Grad = π/180 Radiant ist. Deshalb 45 Grad = 45 * (π/180) Radiant 00:06:36.467 --> 00:06:47.270 Wenn wir den Bruch kürzen, wenn wir 180 durch 45 teilen, erhalten wir π/4 Radiant. 00:06:47.433 --> 00:06:54.730 45 Grad = π/4 Radiant 00:06:55.000 --> 00:07:00.500 Merkt euch, dass das zwei unterschiedlichen Maßeinheiten oder zwei verschiedenen Winkelmessungen sind. 00:07:00.633 --> 00:07:06.330 Mit dem Bogenmaß wird in der Mathematik gemessen. Im Alltag hat man mit dem Gradmaß zu tun. 00:07:06.467 --> 00:07:15.670 Und nicht vergessen: 1 Radiant = 180/π Grad, 1 Grad = π/180 Radiant. 00:07:15.746 --> 00:07:22.250 Ich habe das aufgeschrieben, weil ich immer vergesse, was 180/π und was π/180 beträgt. 00:07:22.500 --> 00:07:27.200 Aber was ich genau weiß, dass π Radiant gleich 180 Grad sind. 00:07:27.400 --> 00:07:29.200 Ein weiteres Beispiel. 00:07:29.467 --> 00:07:34.970 Also wie viel Grad sind in π/2 Radianten? 00:07:35.158 --> 00:07:41.660 Was haben wir gerade geschrieben, dass π Radiant = 180 Grad. 00:07:43.752 --> 00:07:53.350 Wir wissen, dass π Radiant = 180 Grad, nicht wahr? 00:07:54.480 --> 00:08:00.280 Also noch mal π Radiant = 180 Grad 00:08:02.500 --> 00:08:09.500 Daher ist 1 Radiant = 180/π Grad. 00:08:09.700 --> 00:08:11.300 Ich vergesse das immer wieder. 00:08:14.000 --> 00:08:16.100 Zurück zur Aufgabe. 00:08:16.333 --> 00:08:33.630 So, π/2 Radiant = (π/2) * (180 / π) Grad. Und es ist 90 Grad. 00:08:38.672 --> 00:08:40.970 Noch ein Beispiel. 00:08:43.133 --> 00:08:59.130 Angenommen, dass ihr 30 Grad in Radiant umrechnen sollt. Ich erinnere euch, dass π Radiant = 180 Grad. 00:08:59.260 --> 00:09:18.360 Und 1 Grad = π/180 Radiant. Deshalb sind 30 Grad = 30 * (π/180) Radiant. 00:09:18.765 --> 00:09:26.960 Und wenn wir den Bruch kürzen, erhalten wir π/6 Radiant. 00:09:29.100 --> 00:09:35.800 Ich hoffe, dass ihr jetzt wisst, wie man Grad in Radiant und umgekehrt umrechnet. 00:09:36.000 --> 00:09:43.200 Und ihr wisst, warum diese Einheit Radiant heißt (weil sie eng mit dem Radius verbunden ist). 00:09:43.367 --> 00:09:45.270 Bis zum nächsten Mal!