1 00:00:05,000 --> 00:00:13,300 Hallo! Heute geht es um Grad- und Bogenmaß! Ihr seid bestimmt schon vertraut mit dem Begriff "Gradmaß". 2 00:00:13,500 --> 00:00:17,200 Ich glaube, dass wir dafür intensiv gepaukt haben. 3 00:00:17,578 --> 00:00:26,378 Zum Beispiel, ihr könnt bereits wissen, dass der rechte Winkel 90 Grad beträgt. 4 00:00:26,533 --> 00:00:33,333 Oder ihr könnt wissen, dass die Hälfte des rechten Winkels 45 Grad ist. 5 00:00:33,533 --> 00:00:40,933 Und wahrscheinlich wisst ihr, dass der Kreis 360 Grad beträgt. 6 00:00:43,033 --> 00:00:49,033 So, heute stelle ich euch ein anderes Winkelmaß vor, das Bogenmaß. 7 00:00:49,167 --> 00:00:54,167 Zur Kennzeichnung des Bogenmaßes wird die Einheit Radiant nachgestellt. 8 00:00:54,500 --> 00:00:59,300 Also, was ist ein Bogenmaß? Ich werde das jetzt definieren. 9 00:00:59,433 --> 00:01:08,233 So, ich werde jetzt ein spezielles Werkzeug benutzten, um einen schönen Kreis zu zeichnen. 10 00:01:14,000 --> 00:01:18,400 Das ist aber falsches Werkzeug. 11 00:01:18,733 --> 00:01:20,533 So das ist gut. 12 00:01:20,767 --> 00:01:23,867 Das ist ein Radius, der die Länge r hat. 13 00:01:24,133 --> 00:01:30,733 Das Bogenmaß eines Winkels ist definiert als das Verhältnis der Länge des Kreisbogens zum Radius. 14 00:01:30,933 --> 00:01:34,433 Um auf die Verwendung des Bogenmaßes hinzuweisen, 15 00:01:34,633 --> 00:01:39,233 kann der Radiant mit dem Einheitenzeichen rad nachgestellt werden. 16 00:01:39,400 --> 00:01:48,200 Dabei ist 1 Radiant die Größe desjenigen Winkels, der einen Bogen mit der Länge des Radius r umschließt. 17 00:01:48,553 --> 00:01:55,450 Die Länge dieses Bogens ist daher auch gleich r. Und der Winkel ist gleich 1 Radiant. 18 00:01:55,567 --> 00:01:58,970 Lasst mich einen größeren Kreis zeichnen. 19 00:01:59,167 --> 00:02:05,770 Wieso der Vollwinkel ausgerechnet 360 Grad misst, hat historische Gründe 20 00:02:05,922 --> 00:02:09,920 und ist vom mathematischen Standpunkt aus gesehen gar nicht so vorteilhaft. 21 00:02:10,067 --> 00:02:13,770 Das Bogenmaß ist für viele Zwecke günstiger. 22 00:02:14,049 --> 00:02:25,450 Angenommen, der Radius hat die Länge r. Die Länge dieses Bogens hier ist auch gleich r. 23 00:02:25,600 --> 00:02:34,200 Dieser Winkel θ ist gleich 1 Radiant. Jetzt wird auch klar, warum das der Radiant heißt. 24 00:02:34,436 --> 00:02:35,940 Das klingt wie "Radius". 25 00:02:36,247 --> 00:02:40,250 Man fragt sich: Wie viele Radianten beträgt ein Vollkreis? 26 00:02:41,467 --> 00:02:47,970 Wenn das gleich r ist, wie viel beträgt dann der gesamte Kreisumfang? 27 00:02:48,133 --> 00:02:53,130 Er ist gleich 2πr, nicht wahr? 28 00:02:53,291 --> 00:02:55,690 Ihr wisst das aus der Geometrie. 29 00:02:55,867 --> 00:03:01,870 Also, wenn der Winkel, der den Bogen r umfasst, 1 Radiant gleich ist, 30 00:03:02,100 --> 00:03:09,500 dann ist der Winkel, der den Bogen 2πr umfasst, gleich 2π Radianten. 31 00:03:09,700 --> 00:03:15,300 Also dieser Winkel ist 2π Radianten. 32 00:03:16,000 --> 00:03:25,000 Oder anders rum: Winkel von 2π Radianten beschreibt einen 2πr langen Bogen. 33 00:03:27,333 --> 00:03:29,630 Ich möchte euch nicht verwirren. 34 00:03:29,733 --> 00:03:37,730 Ich möchte nur, dass ihr versteht warum es "Radiant" heißt, und wie das sich auf den Kreis bezieht. 35 00:03:37,933 --> 00:03:47,930 Wir wissen, dass ein Vollkreis 2π Radianten ist, und wir können jetzt der Beziehung zwischen Bogen- und Gradmaß verstehen. 36 00:03:50,000 --> 00:03:51,700 Ich lösche das. 37 00:03:54,933 --> 00:04:00,330 Also wir haben klargestellt, dass ein Kreis 2π Radianten enthält. 38 00:04:00,467 --> 00:04:03,470 Und wie viel Grad hat ein Kreis? 39 00:04:03,567 --> 00:04:10,670 Wenn wir um den ganzen Kreis herumgehen, wie viel Grad ist das? Das sind 360 Grad. 40 00:04:10,800 --> 00:04:15,800 Wir haben eine Gleichung für die Umrechnung zwischen Radiant und Grad. 41 00:04:15,933 --> 00:04:32,230 Ein Radiant entspricht 360/2π Grad (ich habe beide Seiten durch 2π geteilt), und das ist 180/π Grad. 42 00:04:32,367 --> 00:04:38,670 Ebenso kann ich beide Seiten durch 360 dividieren und sagen, 43 00:04:38,732 --> 00:04:58,930 dass ein Grad 2π/360 Radiant entspricht. Also 1 Grad entspricht π/180 Radiant. 44 00:04:59,073 --> 00:05:13,670 Wir erhalten: 1 Radiant = 180 / π Grad und 1 Grad = π/180 Radiant. 45 00:05:13,767 --> 00:05:19,770 Es tut nicht Weh das zu merken. Aber wenn ihr das doch vergesst, könnt ihr immer wieder das ansehen. 46 00:05:20,933 --> 00:05:26,730 Wir machen Berechnungen ein wenig einfacher, wenn wir einen halben Kreis nehmen. 47 00:05:29,867 --> 00:05:39,470 Die Hälfte eines Kreises (das ist dieser Winkel) ist 180 Grad, nicht wahr? Das ist ein Gradzeichen. 48 00:05:39,567 --> 00:05:46,570 Ich könnte auch „Grad“ schreiben. Und es ist auch gleich π Radiant. 49 00:05:46,700 --> 00:05:50,800 Also π Radiant ist gleich 180 Grad 50 00:05:51,067 --> 00:06:05,570 Und hier sind unsere Ausdrücke: 1Radiant = 180/π Grad oder 1 Grad = π/180 Radiant. 51 00:06:05,668 --> 00:06:10,270 Lasst uns ein paar Aufgaben lösen, um alles zu verstehen. 52 00:06:10,433 --> 00:06:16,030 Angenommen, dass ihr 45 Grad in Radiant umrechnen sollt ... 53 00:06:16,167 --> 00:06:36,370 Wir wissen, dass 1 Grad = π/180 Radiant ist. Deshalb 45 Grad = 45 * (π/180) Radiant 54 00:06:36,467 --> 00:06:47,270 Wenn wir den Bruch kürzen, wenn wir 180 durch 45 teilen, erhalten wir π/4 Radiant. 55 00:06:47,433 --> 00:06:54,730 45 Grad = π/4 Radiant 56 00:06:55,000 --> 00:07:00,500 Merkt euch, dass das zwei unterschiedlichen Maßeinheiten oder zwei verschiedenen Winkelmessungen sind. 57 00:07:00,633 --> 00:07:06,330 Mit dem Bogenmaß wird in der Mathematik gemessen. Im Alltag hat man mit dem Gradmaß zu tun. 58 00:07:06,467 --> 00:07:15,670 Und nicht vergessen: 1 Radiant = 180/π Grad, 1 Grad = π/180 Radiant. 59 00:07:15,746 --> 00:07:22,250 Ich habe das aufgeschrieben, weil ich immer vergesse, was 180/π und was π/180 beträgt. 60 00:07:22,500 --> 00:07:27,200 Aber was ich genau weiß, dass π Radiant gleich 180 Grad sind. 61 00:07:27,400 --> 00:07:29,200 Ein weiteres Beispiel. 62 00:07:29,467 --> 00:07:34,970 Also wie viel Grad sind in π/2 Radianten? 63 00:07:35,158 --> 00:07:41,660 Was haben wir gerade geschrieben, dass π Radiant = 180 Grad. 64 00:07:43,752 --> 00:07:53,350 Wir wissen, dass π Radiant = 180 Grad, nicht wahr? 65 00:07:54,480 --> 00:08:00,280 Also noch mal π Radiant = 180 Grad 66 00:08:02,500 --> 00:08:09,500 Daher ist 1 Radiant = 180/π Grad. 67 00:08:09,700 --> 00:08:11,300 Ich vergesse das immer wieder. 68 00:08:14,000 --> 00:08:16,100 Zurück zur Aufgabe. 69 00:08:16,333 --> 00:08:33,630 So, π/2 Radiant = (π/2) * (180 / π) Grad. Und es ist 90 Grad. 70 00:08:38,672 --> 00:08:40,970 Noch ein Beispiel. 71 00:08:43,133 --> 00:08:59,130 Angenommen, dass ihr 30 Grad in Radiant umrechnen sollt. Ich erinnere euch, dass π Radiant = 180 Grad. 72 00:08:59,260 --> 00:09:18,360 Und 1 Grad = π/180 Radiant. Deshalb sind 30 Grad = 30 * (π/180) Radiant. 73 00:09:18,765 --> 00:09:26,960 Und wenn wir den Bruch kürzen, erhalten wir π/6 Radiant. 74 00:09:29,100 --> 00:09:35,800 Ich hoffe, dass ihr jetzt wisst, wie man Grad in Radiant und umgekehrt umrechnet. 75 00:09:36,000 --> 00:09:43,200 Und ihr wisst, warum diese Einheit Radiant heißt (weil sie eng mit dem Radius verbunden ist). 76 00:09:43,367 --> 00:09:45,270 Bis zum nächsten Mal!