Basit Denklemler

-

Diyelim ki elimizde, "yedi kere x eşittir ondört." diye bir eşitlik olsun.

Bu denklemi çözmeye başlamadan önce bu ifadenin ne anlatmak istediğini bir düşünelim.

.

Aslında, yedi x eşittir ondört, "yedi tane x'in toplamı 14'e eşittir" demek ile aynı anlamdadır.

.

Şimdi bunu kafamızdan da yapalım.

Çarpım tablosunda yedilere bakarsak, 7 kere 1 eşittir 7, yani bu olmadı, 7 kere 2 eşittir 14, işte bu olur.

.

.

Böylece çözüm ortaya çıktı bile.

Sırayla değişik sayıları denedik ve bu sayılardan 2 oluyormuş.

.

Ama bu videoda denklemlerin sistemli bir şekilde, nasıl çözüldüğünü göreceğiz.

.

Çünkü bu denklemler gittikçe karmaşıklaşacak ve artık işlemler kafanızdan yapılamayacak hale gelecek.

.

.

Yani önemli olan, bu denklemlerle nasıl başa çıktığımızı öğrenmek, ama daha da önemlisi aslında ne demek istediklerini anlamanız.

.

.

Bu ifade tam olarak "7 tane x, 14 eder" demektir.

Matematiksel ifadelerde "çarpı" işaretini kullanmayız.

İki sayıyı yan yana yazınca yada bunun gibi sayının yanına bir değişken yazınca, çarpıldıkları anlamına gelir.

.

.

Bu sadece çarpma işleminin kısaltmasıdır.

Çarpma işaretini kullanmamamızın bir diğer sebebi de kafa karıştırması, çünkü "x" terimi matematiksel ifadelede çok sık kullanılır.

.

.

Eğer 7 çarpı x eşittir 14 yazarken çarpı işareti kullansaydım çarpı ve x biraz garip olurdu, yani xx yada çarpıçarpı gibi görülürdü.

.

.

Yani denklemlerle, özellikle de içinde "x" olanlarla uğraşırken normaldeki gibi çarpma işareti kullanmıyoruz.

.

.

Onun yerine istersek, çarpmayı ifade etmek için nokta koyabiliriz.

.

7 çarpı x eşittir 14 diyebiliriz arada nokta ile.

Ama bu bile hala biraz garip görülüyor.

Eğer çarpım durumda bir ifade yazacaksanız 7x gibi yazmanız yeterli.

.

Bu zaten 7 çarpı x demektir.

Şimdi denklemi çözebilecek hale getirmek için biraz düşünelim bakalım.

.

7 kere x, ne demek ki bu?

Şimdi bunu tekrar yazayım ama bu kez işlemi göstererek yazıyorum.

.

7 kere x demiştik.

Yani bu, x kendisi ile 7 kez toplanmış demek.

Çarpmanın tanımı da zaten budur.

Yani neydi, x artı x artı x artı x artı x...

-kaç oldu, 5 olmuş- artı x artı x.

Evet şimdi burada 7 tane x oldu.

Alın işte size 7x.

Bakın bir daha yazayım.

Buradaki şey tam da 7 tane x oluyor.

Eşitlik bize, 7x eşittir 14 diyordu.

Yani aynı zamanda buradaki de 14'e eşit olmalı.

O zaman buraya 14 tane şekil çizeyim.

yani burada; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9, 10, 11, 12, 13, 14 tane şeklimiz var.

Yani 7 tane x, 14 tane daireye eşit demek istiyoruz.

Bunlar aynı anlama geliyorlar.

Bu şekilde çizmemin sebebi ise iki tarafı da 7 ile böldüğümüzde neler olduğunu anlamanız.

.

.

Şimdi şunu sileyim.

-

şu daireyi de çizelim..

Neyse, yani genel olarak, bir denklemi katsayısı ile sadeleştirirken... bu arada katsayı değişkenin önündeki sayıya denir.

.

.

Yani değişkeni ile bir sayı çarptık yani katsayı çarpı değişken oldu o da eşittir, herhangi bir şey diyebiliriz.

.

.

Yapmanız gereken iki tarafı da değişkenin katsayısı ile bölmek ve mesela bu denklemde iki tarafı da 7 ile bölmektir.

.

Peki iki tarafı da 7'ye bölersek, ne olur?

7 çarpı bir şeyi 7'ye bölersek başa dönmüş oluruz.

.

7'ler birbirini götürür ve 14'ü de 7'ye bölersek 2 eder.

Böylece sonuç, x eşittir 2 olacaktır.

Bunu kafanızda somutlaştırmak için bakalım eşitliğin iki tarafını gerçekten de 7 bölüme ayırınca ne oluyor.

.

.

Yani sonuçta bu bir "eşitlik".

İşte bu, şuna eşittir diyor.

Sol tarafta ne yaparsam, sağ tarafta da aynısını yapmalıyım.

Eğer bir tarafta yapıp diğer tarafta da aynı şeyi yapmazsam eşitlik bozulur.

.

Zaten ikisi de aynı şeydi.

Öyleyse 7 gruba ayıralım.

nce sol tarafı 7'ye böleyim.

Burada zaten yedi x vardı. İşte bir, iki, üç,dört, beş, altı, yedi.Böylece bir, iki, üç, dört, beş, altı, yedi grup oldu bu tarafta.

.

.

Şimdi, eğer burayı yedi gruba ayırdıysam sağ tarafı da yedi gruba ayırmalıyım.

.

Bir, iki, üç, dört, beş, altı, yedi.

Bu taraftakiler, diğer taraftakilere eşitse,

iki tarafı da eşit parçalara böldüğüme göre, her bir parça da eşit olacaktır.

.

Yani diyebilirim ki bu parça şuna eşittir.

Ve bu parça da şuna eşit.

yani sonuçta hepsi eşit parçalar.

Yedi parça bu tarafta, yedi parça da diğer tarafta.

Öyleyse buradaki her x, diğer taraftaki iki daireye eşit olmalı.

Bu durumda, x eşittir iki tane daire olmalı, yani x eşittir 2.

.

.

Konuyu netleştirmek için bir kaç örnek daha yapalım ki iki tarafta da aynı şeyi yapmanın önemi iyice kafamıza yerleşsin.

.

.

.

Sayfayı biraz indireyim.

Şimdi diyelim ki, elimde 3x var ve 15'e eşit.

Aslında yine kafanızda yapabileceğiniz bir işlem bu.

Diyorum ki 3 kere bir şey 15 ediyor.

.

Çarpım tablosunu hatırlarsanız bulması hiç de zor değil.

Ama bunu sistemli bir şekilde çözmek istiyorsak demeliyiz ki, bu sol taraftaki şey sağ taraftakine eşit olmalı.

.

.

Bu taraftaki x yalnız kalması için ne yapmamız gerekir?

.

İki tarafıda 3'e bölersem x yalnız kalıyormuş

Bunu yaptığımda, solda 3 bölü 3 olur,

Üçler birbirini götürür ve sadece x kalmış olur.

.

Yani, 3x eşittir 15'miş.

Eğer sol tarafı 3'e bölersem, eşitliğin bozulmaması için sağ tarafı da 3'e bölmem gerekir.

.

Peki o zaman ne olur?

Sol tarafta sadeleşmeden sonra sadece x kalmıştı, yani sol taraf x.

.

Sağ tarafta ise, 15 bölü 3 kaç eder ki?

Tabiki sadece 5.

Bu denklemi, biraz daha farklı bir yöntemle de çözebiliriz ama aslında iki işlem de aynıdır.

.

3x eşittir 15 diye başlamıştık, bana diyebilirsiniz ki, üçe bölmek yerine iki tarafı da 1/3 ile çarparak da katsayıdan kurtulabilirsin.

.

.

.

Yani eşitliğin iki tarafını da 1/3 ile çarpsam da aynı sonucu bulmalıyım.

.

Zaten baktığımızda, 3 tane 1/3, 1 eder.

Önce sol tarafı yaparsak, 1 bölü 3 çarpı 3 sadeleşince 1 kalır, yani bir x.

.

1x eşittir 15 çarpı 1 bölü 3 oldu, o da sadeleşince eşittir 5 olur.

1 kere x yazmak, sadece x yazmakla aynı şey, yani x eşittir 5.

.

Bu iki yöntem de aslında aynı şey.

Eğer iki tarafı da üçe bölersen iki tarafı da 1/3 ile çarpmış olursun.

.

Şimdi bir örnek daha yapalım ama bu kez daha zor bir şeyler olsun.

.

Hatta kullandığımız değişken de farklı olsun.

Mesela diyelim ki, iki "y" artı dört "y" eşittir 18.

Bunu anlaması öncekilerden daha zor gelebilir.

.

Diyoruz ki bir şeyin 2 katı ile aynı şeyin 4 katını toplayınca 18 oluyor.

.

Sayıyı bilmeden düşünmesi zor gelebilir.

İsterseniz teker teker sayı verelim.

Mesela "y", 1 olsaydı, 2 artı 4 olurdu ama doğru olmuyor böyle de.

.

Tekrardan sistematik düşünelim.

Yani isterseniz denemeye devam edin, eninde sonunda cevabı bulursunuz ama bunu sistemli bir şekilde çözmeliyiz.

.

Şimdi şunu düşünelim.

Eğer elimde iki tane "y" varsa bu ne demektir?

Yani iki tane "y" birbiri ile toplanmış.

Öyleyse "y" artı "y" demek bu.

Sonra da ona dört tane y daha eklemişiz.

Bu da yine birbiri ile toplanan dört y demek.

.

Yani "y" artı "y" artı "y" artı "y".

Ve bu da 18 ediyormuş.

Yani eşittir 18.

Peki şimdi sol tarafta kaç "y" oldu?

Kaç tane "y" var elimde?

Bir, iki, üç, dört, beş, altı tane "y" varmış.

Yani bunu, 6"y" eşittir 18 diye sadeleştirebilirim.

Zaten düşünürseniz, mantıken öyle olmalı.

Yani burada 2"y" artı 4 "y" vardı, toplarsak 6 "y" olmalı.

Yani 2 "y" artı 4 "y", 6 "y" eder ki bu da çok mantıklı.

Elimizde 2 elma olsaydı 4 elma daha eklersek elimizde 6 elma olur.

.

Elimde 2 tane "y" varsa, 4 tane "y" daha eklersem elimde 6 "y" olur.

Bu da 18 oluyormuş.

Artık buradan sonrasını yapmayı da biliyoruz.

6 kere bir şey 18 ediyorsa, iki tarafı da 6 ile böldüğümde o şeyin ne olduğunu bulmuş olurum.

.

Yani sol tarafı 6 ile bölüyoruz sağ tarafı da 6 ile bölüyoruz.

.

Böylece sonuçta elimizde "y" eşittir 3 kaldı.

İsterseniz kontrol de edebilirsiniz.

Denklemlerin güzel yanlarından biri de budur.

Doğru sonucu bulup bulmadığınızı kontrol edebilirsiniz.

Bakalım oluyormuymuş.

2 kere 3, artı 4 kere 3 ne yapar?

2 kere 3, burası 6 yapar.

4 kere 3 de 12 yapar.

6 artı 12 de tabiki 18 yapar.

Yani oluyormuş.