1
00:00:00,418 --> 00:00:12,533
Diyelim ki elimizde, "yedi kere x eşittir ondört." diye bir eşitlik olsun.

2
00:00:12,533 --> 00:00:15,867
Bu denklemi çözmeye başlamadan önce bu ifadenin ne anlatmak istediğini bir düşünelim.

3
00:00:15,867 --> 00:00:19,737
.

4
00:00:19,737 --> 00:00:22,430
Aslında, yedi x eşittir ondört, "yedi tane x'in toplamı 14'e eşittir" demek ile aynı anlamdadır.

5
00:00:22,430 --> 00:00:39,427
.

6
00:00:39,427 --> 00:00:43,533
Şimdi bunu kafamızdan da yapalım.

7
00:00:43,533 --> 00:00:45,743
Çarpım tablosunda yedilere bakarsak, 7 kere 1 eşittir 7, yani bu olmadı, 7 kere 2 eşittir 14, işte bu olur.

8
00:00:45,743 --> 00:00:48,762
.

9
00:00:48,762 --> 00:00:54,010
.

10
00:00:54,010 --> 00:00:56,424
Böylece çözüm ortaya çıktı bile.

11
00:00:56,424 --> 00:00:59,257
Sırayla değişik sayıları denedik ve bu sayılardan 2 oluyormuş.

12
00:00:59,257 --> 00:01:01,394
.

13
00:01:01,394 --> 00:01:03,716
Ama bu videoda denklemlerin sistemli bir şekilde, nasıl çözüldüğünü göreceğiz.

14
00:01:03,716 --> 00:01:05,666
.

15
00:01:05,666 --> 00:01:08,267
Çünkü bu denklemler gittikçe karmaşıklaşacak ve artık işlemler kafanızdan yapılamayacak hale gelecek.

16
00:01:08,267 --> 00:01:10,728
.

17
00:01:10,728 --> 00:01:12,586
.

18
00:01:12,586 --> 00:01:15,418
Yani önemli olan, bu denklemlerle nasıl başa çıktığımızı öğrenmek, ama daha da önemlisi aslında ne demek istediklerini anlamanız.

19
00:01:15,418 --> 00:01:16,733
.

20
00:01:16,733 --> 00:01:18,251
.

21
00:01:18,251 --> 00:01:21,920
Bu ifade tam olarak "7 tane x, 14 eder" demektir.

22
00:01:21,920 --> 00:01:24,753
Matematiksel ifadelerde "çarpı" işaretini kullanmayız.

23
00:01:26,588 --> 00:01:28,422
İki sayıyı yan yana yazınca yada bunun gibi sayının yanına bir değişken yazınca, çarpıldıkları anlamına gelir.

24
00:01:28,422 --> 00:01:30,419
.

25
00:01:30,419 --> 00:01:32,090
.

26
00:01:32,090 --> 00:01:34,087
Bu sadece çarpma işleminin kısaltmasıdır.

27
00:01:34,087 --> 00:01:36,595
Çarpma işaretini kullanmamamızın bir diğer sebebi de kafa karıştırması, çünkü "x" terimi matematiksel ifadelede çok sık kullanılır.

28
00:01:36,595 --> 00:01:41,067
.

29
00:01:41,067 --> 00:01:42,400
.

30
00:01:42,400 --> 00:01:49,412
Eğer 7 çarpı x eşittir 14 yazarken çarpı işareti kullansaydım çarpı ve x biraz garip olurdu, yani xx yada çarpıçarpı gibi görülürdü.

31
00:01:49,412 --> 00:01:52,400
.

32
00:01:52,400 --> 00:01:54,985
.

33
00:01:54,985 --> 00:01:57,400
Yani denklemlerle, özellikle de içinde "x" olanlarla uğraşırken normaldeki gibi çarpma işareti kullanmıyoruz.

34
00:01:57,400 --> 00:01:58,933
.

35
00:01:58,933 --> 00:02:01,255
.

36
00:02:01,255 --> 00:02:05,434
Onun yerine istersek, çarpmayı ifade etmek için nokta koyabiliriz.

37
00:02:05,434 --> 00:02:06,595
.

38
00:02:06,595 --> 00:02:10,403
7 çarpı x eşittir 14 diyebiliriz arada nokta ile.

39
00:02:10,403 --> 00:02:13,004
Ama bu bile hala biraz garip görülüyor.

40
00:02:13,004 --> 00:02:14,908
Eğer çarpım durumda bir ifade yazacaksanız 7x gibi yazmanız yeterli.

41
00:02:14,908 --> 00:02:16,766
.

42
00:02:16,766 --> 00:02:19,738
Bu zaten 7 çarpı x demektir.

43
00:02:19,738 --> 00:02:22,478
Şimdi denklemi çözebilecek hale getirmek için biraz düşünelim bakalım.

44
00:02:22,478 --> 00:02:25,403
.

45
00:02:25,403 --> 00:02:27,493
7 kere x, ne demek ki bu?

46
00:02:27,493 --> 00:02:29,815
Şimdi bunu tekrar yazayım ama bu kez işlemi göstererek yazıyorum.

47
00:02:29,815 --> 00:02:32,323
.

48
00:02:32,323 --> 00:02:35,388
7 kere x demiştik.

49
00:02:35,388 --> 00:02:38,081
Yani bu, x kendisi ile 7 kez toplanmış demek.

50
00:02:38,081 --> 00:02:40,403
Çarpmanın tanımı da zaten budur.

51
00:02:40,403 --> 00:02:48,484
Yani neydi, x artı x artı x artı x artı x...

52
00:02:48,484 --> 00:02:51,735
-kaç oldu, 5 olmuş- artı x artı x.

53
00:02:51,735 --> 00:02:55,589
Evet şimdi burada 7 tane x oldu.

54
00:02:55,589 --> 00:02:57,168
Alın işte size 7x.

55
00:02:57,168 --> 00:02:58,143
Bakın bir daha yazayım.

56
00:02:58,143 --> 00:03:03,716
Buradaki şey tam da 7 tane x oluyor.

57
00:03:03,716 --> 00:03:07,664
Eşitlik bize, 7x eşittir 14 diyordu.

58
00:03:07,664 --> 00:03:11,472
Yani aynı zamanda buradaki de 14'e eşit olmalı.

59
00:03:11,472 --> 00:03:14,072
O zaman buraya 14 tane şekil çizeyim.

60
00:03:14,072 --> 00:03:19,831
yani burada; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

61
00:03:19,831 --> 00:03:23,467
9, 10, 11, 12, 13, 14 tane şeklimiz var.

62
00:03:23,467 --> 00:03:26,936
Yani 7 tane x, 14 tane daireye eşit demek istiyoruz.

63
00:03:26,936 --> 00:03:29,398
Bunlar aynı anlama geliyorlar.

64
00:03:29,398 --> 00:03:32,741
Bu şekilde çizmemin sebebi ise iki tarafı da 7 ile böldüğümüzde neler olduğunu anlamanız.

65
00:03:32,741 --> 00:03:35,388
.

66
00:03:35,388 --> 00:03:37,664
.

67
00:03:37,664 --> 00:03:39,800
Şimdi şunu sileyim.

68
00:03:39,800 --> 00:03:44,398
-

69
00:03:44,398 --> 00:03:47,867
şu daireyi de çizelim..

70
00:03:47,867 --> 00:03:53,407
Neyse, yani genel olarak, bir denklemi katsayısı ile sadeleştirirken... bu arada katsayı değişkenin önündeki sayıya denir.

71
00:03:53,407 --> 00:03:56,147
.

72
00:03:56,147 --> 00:03:57,308
.

73
00:03:57,308 --> 00:03:58,748
Yani değişkeni ile bir sayı çarptık yani katsayı çarpı değişken oldu o da eşittir, herhangi bir şey diyebiliriz.

74
00:03:58,748 --> 00:04:00,837
.

75
00:04:00,837 --> 00:04:03,159
.

76
00:04:03,159 --> 00:04:05,249
Yapmanız gereken iki tarafı da değişkenin katsayısı ile bölmek ve mesela bu denklemde iki tarafı da 7 ile bölmektir.

77
00:04:05,249 --> 00:04:07,757
.

78
00:04:07,757 --> 00:04:12,494
Peki iki tarafı da 7'ye bölersek, ne olur?

79
00:04:12,494 --> 00:04:16,255
7 çarpı bir şeyi 7'ye bölersek başa dönmüş oluruz.

80
00:04:16,255 --> 00:04:18,252
.

81
00:04:18,252 --> 00:04:22,664
7'ler birbirini götürür ve 14'ü de 7'ye bölersek 2 eder.

82
00:04:22,664 --> 00:04:26,751
Böylece sonuç, x eşittir 2 olacaktır.

83
00:04:26,751 --> 00:04:29,398
Bunu kafanızda somutlaştırmak için bakalım eşitliğin iki tarafını gerçekten de 7 bölüme ayırınca ne oluyor.

84
00:04:29,398 --> 00:04:32,742
.

85
00:04:32,742 --> 00:04:36,410
.

86
00:04:36,410 --> 00:04:37,664
Yani sonuçta bu bir "eşitlik".

87
00:04:37,664 --> 00:04:39,800
İşte bu, şuna eşittir diyor.

88
00:04:39,800 --> 00:04:43,469
Sol tarafta ne yaparsam, sağ tarafta da aynısını yapmalıyım.

89
00:04:43,469 --> 00:04:46,163
Eğer bir tarafta yapıp diğer tarafta da aynı şeyi yapmazsam eşitlik bozulur.

90
00:04:46,163 --> 00:04:48,400
.

91
00:04:48,400 --> 00:04:50,482
Zaten ikisi de aynı şeydi.

92
00:04:50,482 --> 00:04:54,986
Öyleyse 7 gruba ayıralım.

93
00:04:54,986 --> 00:04:56,054
nce sol tarafı 7'ye böleyim.

94
00:04:56,054 --> 00:04:59,816
Burada zaten yedi x vardı. İşte bir, iki, üç,dört, beş, altı, yedi.Böylece bir, iki, üç, dört, beş, altı, yedi grup oldu bu tarafta.

95
00:04:59,816 --> 00:05:01,813
.

96
00:05:01,813 --> 00:05:04,460
.

97
00:05:04,460 --> 00:05:07,664
Şimdi, eğer burayı yedi gruba ayırdıysam sağ tarafı da yedi gruba ayırmalıyım.

98
00:05:07,664 --> 00:05:11,400
.

99
00:05:11,400 --> 00:05:16,999
Bir, iki, üç, dört, beş, altı, yedi.

100
00:05:16,999 --> 00:05:19,599
Bu taraftakiler, diğer taraftakilere eşitse,

101
00:05:19,599 --> 00:05:26,008
iki tarafı da eşit parçalara böldüğüme göre, her bir parça da eşit olacaktır.

102
00:05:26,008 --> 00:05:28,330
.

103
00:05:28,330 --> 00:05:31,674
Yani diyebilirim ki bu parça şuna eşittir.

104
00:05:31,674 --> 00:05:35,064
Ve bu parça da şuna eşit.

105
00:05:35,064 --> 00:05:36,132
yani sonuçta hepsi eşit parçalar.

106
00:05:36,132 --> 00:05:37,711
Yedi parça bu tarafta, yedi parça da diğer tarafta.

107
00:05:37,711 --> 00:05:41,798
Öyleyse buradaki her x, diğer taraftaki iki daireye eşit olmalı.

108
00:05:41,798 --> 00:05:46,720
Bu durumda, x eşittir iki tane daire olmalı, yani x eşittir 2.

109
00:05:46,720 --> 00:05:49,414
.

110
00:05:49,414 --> 00:05:51,132
.

111
00:05:51,132 --> 00:05:54,067
Konuyu netleştirmek için bir kaç örnek daha yapalım ki iki tarafta da aynı şeyi yapmanın önemi iyice kafamıza yerleşsin.

112
00:05:54,067 --> 00:05:55,823
.

113
00:05:55,823 --> 00:05:58,005
.

114
00:05:58,005 --> 00:06:00,792
.

115
00:06:00,792 --> 00:06:04,507
Sayfayı biraz indireyim.

116
00:06:04,507 --> 00:06:13,656
Şimdi diyelim ki, elimde 3x var ve 15'e eşit.

117
00:06:13,656 --> 00:06:15,931
Aslında yine kafanızda yapabileceğiniz bir işlem bu.

118
00:06:15,931 --> 00:06:18,160
Diyorum ki 3 kere bir şey 15 ediyor.

119
00:06:18,160 --> 00:06:19,467
.

120
00:06:19,467 --> 00:06:22,247
Çarpım tablosunu hatırlarsanız bulması hiç de zor değil.

121
00:06:22,247 --> 00:06:25,498
Ama bunu sistemli bir şekilde çözmek istiyorsak demeliyiz ki, bu sol taraftaki şey sağ taraftakine eşit olmalı.

122
00:06:25,498 --> 00:06:27,820
.

123
00:06:27,820 --> 00:06:30,420
.

124
00:06:30,420 --> 00:06:32,742
Bu taraftaki x yalnız kalması için ne yapmamız gerekir?

125
00:06:32,742 --> 00:06:33,718
.

126
00:06:33,718 --> 00:06:36,504
İki tarafıda 3'e bölersem x yalnız kalıyormuş

127
00:06:36,504 --> 00:06:39,801
Bunu yaptığımda, solda 3 bölü 3 olur,

128
00:06:39,801 --> 00:06:43,795
Üçler birbirini götürür ve sadece x kalmış olur.

129
00:06:43,795 --> 00:06:45,400
.

130
00:06:45,400 --> 00:06:47,742
Yani, 3x eşittir 15'miş.

131
00:06:47,742 --> 00:06:53,129
Eğer sol tarafı 3'e bölersem, eşitliğin bozulmaması için sağ tarafı da 3'e bölmem gerekir.

132
00:06:53,129 --> 00:06:57,495
.

133
00:06:57,495 --> 00:06:58,749
Peki o zaman ne olur?

134
00:06:58,749 --> 00:07:01,256
Sol tarafta sadeleşmeden sonra sadece x kalmıştı, yani sol taraf x.

135
00:07:01,256 --> 00:07:04,414
.

136
00:07:04,414 --> 00:07:07,804
Sağ tarafta ise, 15 bölü 3 kaç eder ki?

137
00:07:07,804 --> 00:07:11,752
Tabiki sadece 5.

138
00:07:11,752 --> 00:07:13,749
Bu denklemi, biraz daha farklı bir yöntemle de çözebiliriz ama aslında iki işlem de aynıdır.

139
00:07:13,749 --> 00:07:16,257
.

140
00:07:16,257 --> 00:07:21,086
3x eşittir 15 diye başlamıştık, bana diyebilirsiniz ki, üçe bölmek yerine iki tarafı da 1/3 ile çarparak da katsayıdan kurtulabilirsin.

141
00:07:21,086 --> 00:07:25,405
.

142
00:07:25,405 --> 00:07:28,331
.

143
00:07:28,331 --> 00:07:30,142
.

144
00:07:30,142 --> 00:07:34,322
Yani eşitliğin iki tarafını da 1/3 ile çarpsam da aynı sonucu bulmalıyım.

145
00:07:34,322 --> 00:07:36,319
.

146
00:07:36,319 --> 00:07:38,130
Zaten baktığımızda, 3 tane 1/3, 1 eder.

147
00:07:38,130 --> 00:07:42,170
Önce sol tarafı yaparsak, 1 bölü 3 çarpı 3 sadeleşince 1 kalır, yani bir x.

148
00:07:42,170 --> 00:07:45,932
.

149
00:07:45,932 --> 00:07:51,737
1x eşittir 15 çarpı 1 bölü 3 oldu, o da sadeleşince eşittir 5 olur.

150
00:07:51,737 --> 00:07:56,799
1 kere x yazmak, sadece x yazmakla aynı şey, yani x eşittir 5.

151
00:07:56,799 --> 00:07:58,656
.

152
00:07:58,656 --> 00:08:02,046
Bu iki yöntem de aslında aynı şey.

153
00:08:02,046 --> 00:08:05,994
Eğer iki tarafı da üçe bölersen iki tarafı da 1/3 ile çarpmış olursun.

154
00:08:05,994 --> 00:08:10,916
.

155
00:08:10,916 --> 00:08:12,588
Şimdi bir örnek daha yapalım ama bu kez daha zor bir şeyler olsun.

156
00:08:12,588 --> 00:08:14,467
.

157
00:08:14,467 --> 00:08:17,325
Hatta kullandığımız değişken de farklı olsun.

158
00:08:17,325 --> 00:08:36,923
Mesela diyelim ki, iki "y" artı dört "y" eşittir 18.

159
00:08:36,923 --> 00:08:38,502
Bunu anlaması öncekilerden daha zor gelebilir.

160
00:08:38,502 --> 00:08:39,663
.

161
00:08:39,663 --> 00:08:41,334
Diyoruz ki bir şeyin 2 katı ile aynı şeyin 4 katını toplayınca 18 oluyor.

162
00:08:43,586 --> 00:08:45,839
.

163
00:08:45,839 --> 00:08:48,068
Sayıyı bilmeden düşünmesi zor gelebilir.

164
00:08:48,068 --> 00:08:49,415
İsterseniz teker teker sayı verelim.

165
00:08:49,415 --> 00:08:52,062
Mesela "y", 1 olsaydı, 2 artı 4 olurdu ama doğru olmuyor böyle de.

166
00:08:52,062 --> 00:08:53,409
.

167
00:08:53,409 --> 00:08:55,174
Tekrardan sistematik düşünelim.

168
00:08:55,174 --> 00:08:56,752
Yani isterseniz denemeye devam edin, eninde sonunda cevabı bulursunuz ama bunu sistemli bir şekilde çözmeliyiz.

169
00:08:56,752 --> 00:08:58,146
.

170
00:08:58,146 --> 00:09:00,328
Şimdi şunu düşünelim.

171
00:09:00,328 --> 00:09:02,279
Eğer elimde iki tane "y" varsa bu ne demektir?

172
00:09:02,279 --> 00:09:09,152
Yani iki tane "y" birbiri ile toplanmış.

173
00:09:09,152 --> 00:09:12,263
Öyleyse "y" artı "y" demek bu.

174
00:09:12,263 --> 00:09:15,003
Sonra da ona dört tane y daha eklemişiz.

175
00:09:15,003 --> 00:09:19,137
Bu da yine birbiri ile toplanan dört y demek.

176
00:09:19,137 --> 00:09:20,808
.

177
00:09:20,808 --> 00:09:24,338
Yani "y" artı "y" artı "y" artı "y".

178
00:09:24,338 --> 00:09:29,075
Ve bu da 18 ediyormuş.

179
00:09:29,075 --> 00:09:35,251
Yani eşittir 18.

180
00:09:35,251 --> 00:09:39,059
Peki şimdi sol tarafta kaç "y" oldu?

181
00:09:39,059 --> 00:09:41,149
Kaç tane "y" var elimde?

182
00:09:41,149 --> 00:09:45,747
Bir, iki, üç, dört, beş, altı tane "y" varmış.

183
00:09:45,747 --> 00:09:48,812
Yani bunu, 6"y" eşittir 18 diye sadeleştirebilirim.

184
00:09:48,812 --> 00:09:51,134
Zaten düşünürseniz, mantıken öyle olmalı.

185
00:09:51,134 --> 00:09:56,799
Yani burada 2"y" artı 4 "y" vardı, toplarsak 6 "y" olmalı.

186
00:09:56,799 --> 00:10:00,793
Yani 2 "y" artı 4 "y", 6 "y" eder ki bu da çok mantıklı.

187
00:10:00,793 --> 00:10:03,672
Elimizde 2 elma olsaydı 4 elma daha eklersek elimizde 6 elma olur.

188
00:10:03,672 --> 00:10:04,833
.

189
00:10:04,833 --> 00:10:07,620
Elimde 2 tane "y" varsa, 4 tane "y" daha eklersem elimde 6 "y" olur.

190
00:10:07,620 --> 00:10:10,174
Bu da 18 oluyormuş.

191
00:10:10,174 --> 00:10:15,422
Artık buradan sonrasını yapmayı da biliyoruz.

192
00:10:15,422 --> 00:10:18,162
6 kere bir şey 18 ediyorsa, iki tarafı da 6 ile böldüğümde o şeyin ne olduğunu bulmuş olurum.

193
00:10:18,162 --> 00:10:22,481
.

194
00:10:22,481 --> 00:10:30,793
Yani sol tarafı 6 ile bölüyoruz sağ tarafı da 6 ile bölüyoruz.

195
00:10:30,793 --> 00:10:32,744
.

196
00:10:36,111 --> 00:10:39,478
Böylece sonuçta elimizde "y" eşittir 3 kaldı.

197
00:10:39,478 --> 00:10:40,499
İsterseniz kontrol de edebilirsiniz.

198
00:10:40,499 --> 00:10:41,985
Denklemlerin güzel yanlarından biri de budur.

199
00:10:41,985 --> 00:10:44,261
Doğru sonucu bulup bulmadığınızı kontrol edebilirsiniz.

200
00:10:44,261 --> 00:10:45,933
Bakalım oluyormuymuş.

201
00:10:45,933 --> 00:10:52,249
2 kere 3, artı 4 kere 3 ne yapar?

202
00:10:52,249 --> 00:10:56,335
2 kere 3, burası 6 yapar.

203
00:10:56,335 --> 00:10:59,493
4 kere 3 de 12 yapar.

204
00:10:59,493 --> 00:11:03,998
6 artı 12 de tabiki 18 yapar.

205
00:11:03,998 --> 99:59:59,999
Yani oluyormuş.