Simple Equations

Disons qu'on a l'équation 7x est égal à quatorze.

Avant même d'essayer de résoudre cette équation,

réfléchissons un peu à ce que cela signifie.

Sept x est égal à quatorze

signifie exactement la même chose que sept fois x.

Vous pourriez essayer de le faire mentalement,

en essayant carrément avec chaque nombre de la table de 7.

Par exemple, 7 fois 1 est égal à 7, donc ça ne marche pas.

7 fois 2 est égal à 14, donc 2 marche ici.

Vous pourriez donc résoudre l'équation immédiatement.

Vous pourriez, juste en essayant des nombres différents,

dire toute de suite « tiens, c'est un 2 ».

Mais ce qu'on va faire dans cette vidéo, c'est réfléchir à un moyen

de résoudre ce type d'équation systématiquement.

Parce qu'on va se rendre compte que plus ces équations deviennent

compliquées, plus vous allez avoir du mal

à y réfléchir et à les faire mentalement.

Il est donc très important que, d'abord, vous compreniez

comment manipuler ces équations, mais encore plus

de comprendre ce qu'elles représentent.

Ceci signifie littéralement que 7 fois x est égal à 14.

En algèbre, on n'écrit pas le « fois » dans l'équation.

Quand on écrit deux nombres l'un à côté de l'autre, ou un nombre

à côté d'une variable comme ici, ça veut juste dire qu'on

les multiplie.

C'est juste un raccourci de notation.

En général, on n'utilise pas le signe de la multiplication

parce que ça porte à confusion, et que « x » est la variable la plus utilisée

en algèbre.

Et si j'avais à écrire 7 fois x est égal à 14, si j'écris mal mon

signe fois ou mon x, on pourrait lire

xx ou fois fois.

Donc en général, dans les équations,

et surtout quand la variable est x,

on n'écrit pas le signe de la multiplication.

Vous pourriez utilisez ceci, un point,

pour représenter la multiplication.

Donc, vous pourriez avoir 7 fois x est égal à 14,

mais ça reste peu courant.

Si vous avez quelque chose multiplié par une variable,

vous l'écrirez 7x.

Ce qui veut réellement dire 7 fois x.

Maintenant, pour comprendre comment manipuler ces équations

afin de les résoudre, observons la suite.

Donc 7 fois x, c'est quoi ?

C'est la même chose -- je vais juste réécrire l'équation,

mais de façon à ce qu'elle soit plus visuelle.

Donc, 7 fois x.

Cela veut en fait dire qu'on additionne x 7 fois d'affilée.

C'est la définition de la multiplication.

Donc c'est x plus x plus x plus x plus x -- voyons voir,

ça fait 5 x, -- plus x plus x.

Ceci fait en tout 7x.

On a donc 7x ici.

Laissez moi le réécrire.

Ceci vaut 7x.

L'équation nous dit que 7x est égal à 14.

Elle dit donc que ceci est égal à 14.

Laissez moi dessiner 14 objets ici.

Alors, on a 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9, 10, 11, 12, 13, 14.

Ce qu'on dit donc vraiment, c'est que 7x est égal à 14 choses.

Ces propositions sont équivalentes.

La raison pour laquelle je l'ai dessinée ainsi est afin

que vous compreniez vraiment ce qu'on va faire

lorsqu'on divise chaque côté par 7.

Laissez-moi effacer ceci.

Donc, l'étape habituelle quand -- je ne voulais pas faire ça,

laissez-moi redessiner ce dernier cercle.

Donc, en général, dès qu'on simplifie une équation à...

Un coefficient, qui est juste un nombre qui multiplie

la variable.

Donc, un nombre qui multiplie la variable -- ce qu'on pourrait appeler

le coefficient -- fois la variable est égal

à quelque chose d'autre.

Ce qu'on veut faire, c'est diviser chaque côté par 7

dans ce cas-ci, donc diviser chaque côté par le coefficient.

Donc en divisant chaque côté par 7, qu'est-ce qu'on obtient ?

7 fois quelque chose divisé par 7 va justement être

ce quelque chose.

Les 7 s'annulent et 14 divisé par 7 est 2.

Donc la solution sera x est égal à 2.

Mais juste afin que tout soit clair,

ce qui se passe ici est que quand on divise chaque côté

de l'équation par 7, on divise littéralement chaque côté par 7.

Voilà ce qu'est une équation.

Cela signifie que ceci est égal à cela.

Tout ce que je fais du côté gauche, je dois le faire du côté droit.

S'ils commencent en étant égaux, je ne peux pas juste faire une opération

d'un côté, puisqu'ils deviendraient inégaux.

Ils valaient la même chose.

Donc, si je divise le côté gauche par 7 ; je vais le diviser en

7 groupes.

Donc ici, il y a sept x, donc cela fait un, deux, trois,

quatre, cinq, six, sept.

Donc un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept groupes.

Maintenant, si je divise ceci en sept groupes, je devrai aussi

diviser le côté droit en sept groupes.

Un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept.

Donc, si tout ceci est égal à tout cela,

alors chacun de ces petits morceaux, ces sept morceaux,

seront égaux.

Ainsi, ce morceau est égal à ce bout.

Ce morceau est égal à ce morceau...

Ce sont tous des morceaux égaux.

Il y a sept morceaux ici, sept morceaux ici.

Donc chaque x doit être égal à deux de ces objets.

On obtient donc x est égal à...

Dans ce cas, on a dessiné deux objets,

donc x est égal à 2.

À présent, voyons quelques exemples de plus pour

afin que vous compreniez bien ce qu'est une équation,

et que chaque opération effectuée d'un côté de l'équation

doit également être effectuée de l'autre.

Laissez-moi descendre un instant.

Donc, disons qu'on a 3x est égal à 15.

À nouveau, vous pourriez résoudre ceci mentalement.

Ceci signifie que 3 fois un nombre

est égal à 15.

Vous pourriez regarder la table de 3 et déterminer le résultat.

Mais si vous voulez faire ceci de façon systématique,

et il est important d'en comprendre le fonctionnement,

sachez que cette chose à gauche est égale à cette chose à droite.

Que dois-je faire avec cette chose à gauche

pour qu'il ne reste que x ici?

Pour n'obtenir qu'un x ici, il faut le diviser par 3.

La raison étant que lorsque 3 fois

quelque chose est divisé par 3, les 3 vont s'annuler et

il ne va me rester qu'un x.

Donc, 3x était égal à 15.

Si je divise le côté gauche par 3, pour garder l'égalité,

je dois également diviser le côté droit par 3.

Alors, qu'est-ce qu'on obtient ?

Du côté gauche, il va juste nous rester

un x, donc ce sera simplement x.

Et du côté droit, que fait 15 divisé par 3 ?

Cela fait 5.

Vous auriez pu résoudre cette équation un peu différemment,

malgré la similarité des approches.

Si je commence avec 3x est égal à 15, vous pourriez me dire,
« dis, Sal,

au lieu de diviser par 3, je pourrais me débarrasser de ce 3,

et il ne me resterait qu'un x si je multiplie chaque côté de

l'équation par 1/3. »

Donc, si je multiplie chaque côté de l'équation par 1/3

cela devrait aussi marcher.

Vous vous dites, voyons, 1/3 de 3 vaut 1.

Quand je multiplie ce côté-ci,

1/3 fois 3 vaut 1x.

1x est égal à 15 fois 1/3 qui est égal à 5.

Et 1 fois x est la même chose que juste x, et on peut donc dire que

x est égal à 5.

Et ces deux manières de faire sont en fait équivalentes.

Si on divise chaque côté par 3, cela revient à

multiplier chaque côté de l'équation par 1/3.

Voyons un autre exemple qui sera

un peu plus compliqué.

Et je vais un peu changer la variable.

Disons que j'ai 2y plus 4y est égal à 18.

Tout d'un coup, cela devient un plus dur de

le faire mentalement.

On dit que 2 fois quelque chose plus 4 fois ce même

quelque chose est égal à 18.

Il est donc plus difficile de deviner de quel nombre il s'agit

On pourrait les essayer.

Si y valait 1, cela donnerait 2 fois 1 plus 4 fois 1,

mais ça ne marche pas.

Voyons comment le faire de manière systématique.

En continuant à deviner, on trouverait peut-être

la réponse, mais comment résoudre ceci systématiquement ?

Voyons voir.

Donc, si on a deux y, qu'est-ce que ça veut dire?

Cela veut dire que j'ai deux y que j'ai additionnés.

Donc, c'est littéralement y plus y.

Et à cela, j'additionne quatre y.

À cela j'additionne quatre y, qui sont littéralement

quatre y additionnés les uns aux autres.

Donc y plus y plus y plus y.

Et tout cela doit être égal à 18.

Donc ceci est égal à 18.

Combien y a-t-il de y du côté gauche?

Combien de y ?

Il y a un, deux, trois, quatre, cinq, six y.

Vous pourriez donc simplifier ceci en 6y est égal à 18.

En y réfléchissant, c'est tout à fait logique.

Donc ceci, les 2y plus les 4y, font 6y.

Donc 2y plus 4y font 6y, ce qui est logique.

Si j'ai 2 pommes plus 4 pommes, j'aurai

6 pommes.

Si j'ai 2 y plus 4 y, j'aurai 6 y.

Cela va être égal à 18.

Et maintenant, normalement, vous devriez avoir compris comment procéder.

Si j'ai 6 fois quelque chose qui est égal à 18, si je divise chaque

côté de cette équation par 6, je vais obtenir ce quelque chose.

Donc, divisons le côté gauche par 6, et divisons le

côté droit par 6.

Et il nous reste y est égal à 3.

Vous pouvez essayer par vous même.

Voilà ce qui est sympa avec les équations.

Il est toujours possible de vérifier si on a eu le bon résultat.

Regardons si ça marche.

2 fois 3 plus 4 fois 3 est égal à combien?

2 fois 3 est égal à 6.

Et ensuite, 4 fois 3 est égal à 12.

6 plus 12 est égal à 18, en effet.

Donc ça marche.