1
00:00:00,418 --> 00:00:12,533
Disons qu'on a l'équation 7x est égal à quatorze.

2
00:00:12,533 --> 00:00:15,867
Avant même d'essayer de résoudre cette équation,

3
00:00:15,867 --> 00:00:19,737
réfléchissons un peu à ce que cela signifie.

4
00:00:19,737 --> 00:00:22,430
Sept x est égal à quatorze

5
00:00:22,430 --> 00:00:39,427
signifie exactement la même chose que sept fois x.

6
00:00:39,427 --> 00:00:43,533
Vous pourriez essayer de le faire mentalement,

7
00:00:43,533 --> 00:00:45,743
en essayant carrément avec chaque nombre de la table de 7.

8
00:00:45,743 --> 00:00:48,762
Par exemple, 7 fois 1 est égal à 7, donc ça ne marche pas.

9
00:00:48,762 --> 00:00:54,010
7 fois 2 est égal à 14, donc 2 marche ici.

10
00:00:54,010 --> 00:00:56,424
Vous pourriez donc résoudre l'équation immédiatement.

11
00:00:56,424 --> 00:00:59,257
Vous pourriez, juste en essayant des nombres différents,

12
00:00:59,257 --> 00:01:01,394
dire toute de suite « tiens, c'est un 2 ».

13
00:01:01,394 --> 00:01:03,716
Mais ce qu'on va faire dans cette vidéo, c'est réfléchir à un moyen

14
00:01:03,716 --> 00:01:05,666
de résoudre ce type d'équation systématiquement.

15
00:01:05,666 --> 00:01:08,267
Parce qu'on va se rendre compte que plus ces équations deviennent

16
00:01:08,267 --> 00:01:10,728
compliquées, plus vous allez avoir du mal

17
00:01:10,728 --> 00:01:12,586
à y réfléchir et à les faire mentalement.

18
00:01:12,586 --> 00:01:15,418
Il est donc très important que, d'abord, vous compreniez

19
00:01:15,418 --> 00:01:16,733
comment manipuler ces équations, mais encore plus

20
00:01:16,733 --> 00:01:18,251
de comprendre ce qu'elles représentent.

21
00:01:18,251 --> 00:01:21,920
Ceci signifie littéralement que 7 fois x est égal à 14.

22
00:01:21,920 --> 00:01:24,753
En algèbre, on n'écrit pas le « fois » dans l'équation.

23
00:01:26,588 --> 00:01:28,422
Quand on écrit deux nombres l'un à côté de l'autre, ou un nombre

24
00:01:28,422 --> 00:01:30,419
à côté d'une variable comme ici, ça veut juste dire qu'on

25
00:01:30,419 --> 00:01:32,090
les multiplie.

26
00:01:32,090 --> 00:01:34,087
C'est juste un raccourci de notation.

27
00:01:34,087 --> 00:01:36,595
En général, on n'utilise pas le signe de la multiplication

28
00:01:36,595 --> 00:01:41,067
parce que ça porte à confusion, et que « x » est la variable la plus utilisée

29
00:01:41,067 --> 00:01:42,400
en algèbre.

30
00:01:42,400 --> 00:01:49,412
Et si j'avais à écrire 7 fois x est égal à 14, si j'écris mal mon

31
00:01:49,412 --> 00:01:52,400
signe fois ou mon x, on pourrait lire

32
00:01:52,400 --> 00:01:54,985
xx ou fois fois.

33
00:01:54,985 --> 00:01:57,400
Donc en général, dans les équations,

34
00:01:57,400 --> 00:01:58,933
et surtout quand la variable est x,

35
00:01:58,933 --> 00:02:01,255
on n'écrit pas le signe de la multiplication.

36
00:02:01,255 --> 00:02:05,434
Vous pourriez utilisez ceci, un point,

37
00:02:05,434 --> 00:02:06,595
pour représenter la multiplication.

38
00:02:06,595 --> 00:02:10,403
Donc, vous pourriez avoir 7 fois x est égal à 14,

39
00:02:10,403 --> 00:02:13,004
mais ça reste peu courant.

40
00:02:13,004 --> 00:02:14,908
Si vous avez quelque chose multiplié par une variable,

41
00:02:14,908 --> 00:02:16,766
vous l'écrirez 7x.

42
00:02:16,766 --> 00:02:19,738
Ce qui veut réellement dire 7 fois x.

43
00:02:19,738 --> 00:02:22,478
Maintenant, pour comprendre comment manipuler ces équations

44
00:02:22,478 --> 00:02:25,403
afin de les résoudre, observons la suite.

45
00:02:25,403 --> 00:02:27,493
Donc 7 fois x, c'est quoi ?

46
00:02:27,493 --> 00:02:29,815
C'est la même chose -- je vais juste réécrire l'équation,

47
00:02:29,815 --> 00:02:32,323
mais de façon à ce qu'elle soit plus visuelle.

48
00:02:32,323 --> 00:02:35,388
Donc, 7 fois x.

49
00:02:35,388 --> 00:02:38,081
Cela veut en fait dire qu'on additionne x 7 fois d'affilée.

50
00:02:38,081 --> 00:02:40,403
C'est la définition de la multiplication.

51
00:02:40,403 --> 00:02:48,484
Donc c'est x plus x plus x plus x plus x -- voyons voir,

52
00:02:48,484 --> 00:02:51,735
ça fait 5 x, -- plus x plus x.

53
00:02:51,735 --> 00:02:55,589
Ceci fait en tout 7x.

54
00:02:55,589 --> 00:02:57,168
On a donc 7x ici.

55
00:02:57,168 --> 00:02:58,143
Laissez moi le réécrire.

56
00:02:58,143 --> 00:03:03,716
Ceci vaut 7x.

57
00:03:03,716 --> 00:03:07,664
L'équation nous dit que 7x est égal à 14.

58
00:03:07,664 --> 00:03:11,472
Elle dit donc que ceci est égal à 14.

59
00:03:11,472 --> 00:03:14,072
Laissez moi dessiner 14 objets ici.

60
00:03:14,072 --> 00:03:19,831
Alors, on a 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

61
00:03:19,831 --> 00:03:23,467
9, 10, 11, 12, 13, 14.

62
00:03:23,467 --> 00:03:26,936
Ce qu'on dit donc vraiment, c'est que 7x est égal à 14 choses.

63
00:03:26,936 --> 00:03:29,398
Ces propositions sont équivalentes.

64
00:03:29,398 --> 00:03:32,741
La raison pour laquelle je l'ai dessinée ainsi est afin

65
00:03:32,741 --> 00:03:35,388
que vous compreniez vraiment ce qu'on va faire

66
00:03:35,388 --> 00:03:37,664
lorsqu'on divise chaque côté par 7.

67
00:03:37,664 --> 00:03:39,800
Laissez-moi effacer ceci.

68
00:03:39,800 --> 00:03:44,398
Donc, l'étape habituelle quand -- je ne voulais pas faire ça,

69
00:03:44,398 --> 00:03:47,867
laissez-moi redessiner ce dernier cercle.

70
00:03:47,867 --> 00:03:53,407
Donc, en général, dès qu'on simplifie une équation à...

71
00:03:53,407 --> 00:03:56,147
Un coefficient, qui est juste un nombre qui multiplie

72
00:03:56,147 --> 00:03:57,308
la variable.

73
00:03:57,308 --> 00:03:58,748
Donc, un nombre qui multiplie la variable -- ce qu'on pourrait appeler

74
00:03:58,748 --> 00:04:00,837
le coefficient -- fois la variable est égal

75
00:04:00,837 --> 00:04:03,159
à quelque chose d'autre.

76
00:04:03,159 --> 00:04:05,249
Ce qu'on veut faire, c'est diviser chaque côté par 7

77
00:04:05,249 --> 00:04:07,757
dans ce cas-ci, donc diviser chaque côté par le coefficient.

78
00:04:07,757 --> 00:04:12,494
Donc en divisant chaque côté par 7, qu'est-ce qu'on obtient ?

79
00:04:12,494 --> 00:04:16,255
7 fois quelque chose divisé par 7 va justement être

80
00:04:16,255 --> 00:04:18,252
ce quelque chose.

81
00:04:18,252 --> 00:04:22,664
Les 7 s'annulent et 14 divisé par 7 est 2.

82
00:04:22,664 --> 00:04:26,751
Donc la solution sera x est égal à 2.

83
00:04:26,751 --> 00:04:29,398
Mais juste afin que tout soit clair,

84
00:04:29,398 --> 00:04:32,742
ce qui se passe ici est que quand on divise chaque côté

85
00:04:32,742 --> 00:04:36,410
de l'équation par 7, on divise littéralement chaque côté par 7.

86
00:04:36,410 --> 00:04:37,664
Voilà ce qu'est une équation.

87
00:04:37,664 --> 00:04:39,800
Cela signifie que ceci est égal à cela.

88
00:04:39,800 --> 00:04:43,469
Tout ce que je fais du côté gauche, je dois le faire du côté droit.

89
00:04:43,469 --> 00:04:46,163
S'ils commencent en étant égaux, je ne peux pas juste faire une opération

90
00:04:46,163 --> 00:04:48,400
d'un côté, puisqu'ils deviendraient inégaux.

91
00:04:48,400 --> 00:04:50,482
Ils valaient la même chose.

92
00:04:50,482 --> 00:04:54,986
Donc, si je divise le côté gauche par 7 ; je vais le diviser en

93
00:04:54,986 --> 00:04:56,054
7 groupes.

94
00:04:56,054 --> 00:04:59,816
Donc ici, il y a sept x, donc cela fait un, deux, trois,

95
00:04:59,816 --> 00:05:01,813
quatre, cinq, six, sept.

96
00:05:01,813 --> 00:05:04,460
Donc un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept groupes.

97
00:05:04,460 --> 00:05:07,664
Maintenant, si je divise ceci en sept groupes, je devrai aussi

98
00:05:07,664 --> 00:05:11,400
diviser le côté droit en sept groupes.

99
00:05:11,400 --> 00:05:16,999
Un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept.

100
00:05:16,999 --> 00:05:19,599
Donc, si tout ceci est égal à tout cela,

101
00:05:19,599 --> 00:05:26,008
alors chacun de ces petits morceaux, ces sept morceaux,

102
00:05:26,008 --> 00:05:28,330
seront égaux.

103
00:05:28,330 --> 00:05:31,674
Ainsi, ce morceau est égal à ce bout.

104
00:05:31,674 --> 00:05:35,064
Ce morceau est égal à ce morceau...

105
00:05:35,064 --> 00:05:36,132
Ce sont tous des morceaux égaux.

106
00:05:36,132 --> 00:05:37,711
Il y a sept morceaux ici, sept morceaux ici.

107
00:05:37,711 --> 00:05:41,798
Donc chaque x doit être égal à deux de ces objets.

108
00:05:41,798 --> 00:05:46,720
On obtient donc x est égal à...

109
00:05:46,720 --> 00:05:49,414
Dans ce cas, on a dessiné deux objets,

110
00:05:49,414 --> 00:05:51,132
donc x est égal à 2.

111
00:05:51,132 --> 00:05:54,067
À présent, voyons quelques exemples de plus pour

112
00:05:54,067 --> 00:05:55,823
afin que vous compreniez bien ce qu'est une équation,

113
00:05:55,823 --> 00:05:58,005
et que chaque opération effectuée d'un côté de l'équation

114
00:05:58,005 --> 00:06:00,792
doit également être effectuée de l'autre.

115
00:06:00,792 --> 00:06:04,507
Laissez-moi descendre un instant.

116
00:06:04,507 --> 00:06:13,656
Donc, disons qu'on a 3x est égal à 15.

117
00:06:13,656 --> 00:06:15,931
À nouveau, vous pourriez résoudre ceci mentalement.

118
00:06:15,931 --> 00:06:18,160
Ceci signifie que 3 fois un nombre

119
00:06:18,160 --> 00:06:19,467
est égal à 15.

120
00:06:19,467 --> 00:06:22,247
Vous pourriez regarder la table de 3 et déterminer le résultat.

121
00:06:22,247 --> 00:06:25,498
Mais si vous voulez faire ceci de façon systématique,

122
00:06:25,498 --> 00:06:27,820
et il est important d'en comprendre le fonctionnement,

123
00:06:27,820 --> 00:06:30,420
sachez que cette chose à gauche est égale à cette chose à droite.

124
00:06:30,420 --> 00:06:32,742
Que dois-je faire avec cette chose à gauche

125
00:06:32,742 --> 00:06:33,718
pour qu'il ne reste que x ici?

126
00:06:33,718 --> 00:06:36,504
Pour n'obtenir qu'un x ici, il faut le diviser par 3.

127
00:06:36,504 --> 00:06:39,801
La raison étant que lorsque 3 fois

128
00:06:39,801 --> 00:06:43,795
quelque chose est divisé par 3, les 3 vont s'annuler et

129
00:06:43,795 --> 00:06:45,400
il ne va me rester qu'un x.

130
00:06:45,400 --> 00:06:47,742
Donc, 3x était égal à 15.

131
00:06:47,742 --> 00:06:53,129
Si je divise le côté gauche par 3, pour garder l'égalité,

132
00:06:53,129 --> 00:06:57,495
je dois également diviser le côté droit par 3.

133
00:06:57,495 --> 00:06:58,749
Alors, qu'est-ce qu'on obtient ?

134
00:06:58,749 --> 00:07:01,256
Du côté gauche, il va juste nous rester

135
00:07:01,256 --> 00:07:04,414
un x, donc ce sera simplement x.

136
00:07:04,414 --> 00:07:07,804
Et du côté droit, que fait 15 divisé par 3 ?

137
00:07:07,804 --> 00:07:11,752
Cela fait 5.

138
00:07:11,752 --> 00:07:13,749
Vous auriez pu résoudre cette équation un peu différemment,

139
00:07:13,749 --> 00:07:16,257
malgré la similarité des approches.

140
00:07:16,257 --> 00:07:21,086
Si je commence avec 3x est égal à 15, vous pourriez me dire, 
« dis, Sal,

141
00:07:21,086 --> 00:07:25,405
au lieu de diviser par 3, je pourrais me débarrasser de ce 3,

142
00:07:25,405 --> 00:07:28,331
et il ne me resterait qu'un x si je multiplie chaque côté de

143
00:07:28,331 --> 00:07:30,142
l'équation par 1/3. »

144
00:07:30,142 --> 00:07:34,322
Donc, si je multiplie chaque côté de l'équation par 1/3

145
00:07:34,322 --> 00:07:36,319
cela devrait aussi marcher.

146
00:07:36,319 --> 00:07:38,130
Vous vous dites, voyons, 1/3 de 3 vaut 1.

147
00:07:38,130 --> 00:07:42,170
Quand je multiplie ce côté-ci,

148
00:07:42,170 --> 00:07:45,932
1/3 fois 3 vaut 1x.

149
00:07:45,932 --> 00:07:51,737
1x est égal à 15 fois 1/3 qui est égal à 5.

150
00:07:51,737 --> 00:07:56,799
Et 1 fois x est la même chose que juste x, et on peut donc dire que

151
00:07:56,799 --> 00:07:58,656
x est égal à 5.

152
00:07:58,656 --> 00:08:02,046
Et ces deux manières de faire sont en fait équivalentes.

153
00:08:02,046 --> 00:08:05,994
Si on divise chaque côté par 3, cela revient à

154
00:08:05,994 --> 00:08:10,916
multiplier chaque côté de l'équation par 1/3.

155
00:08:10,916 --> 00:08:12,588
Voyons un autre exemple qui sera

156
00:08:12,588 --> 00:08:14,467
un peu plus compliqué.

157
00:08:14,467 --> 00:08:17,325
Et je vais un peu changer la variable.

158
00:08:17,325 --> 00:08:36,923
Disons que j'ai 2y plus 4y est égal à 18.

159
00:08:36,923 --> 00:08:38,502
Tout d'un coup, cela devient un plus dur de

160
00:08:38,502 --> 00:08:39,663
le faire mentalement.

161
00:08:39,663 --> 00:08:41,334
On dit que 2 fois quelque chose plus 4 fois ce même

162
00:08:43,586 --> 00:08:45,839
quelque chose est égal à 18.

163
00:08:45,839 --> 00:08:48,068
Il est donc plus difficile de deviner de quel nombre il s'agit

164
00:08:48,068 --> 00:08:49,415
On pourrait les essayer.

165
00:08:49,415 --> 00:08:52,062
Si y valait 1, cela donnerait 2 fois 1 plus 4 fois 1,

166
00:08:52,062 --> 00:08:53,409
mais ça ne marche pas.

167
00:08:53,409 --> 00:08:55,174
Voyons comment le faire de manière systématique.

168
00:08:55,174 --> 00:08:56,752
En continuant à deviner, on trouverait peut-être

169
00:08:56,752 --> 00:08:58,146
la réponse, mais comment résoudre ceci systématiquement ?

170
00:08:58,146 --> 00:09:00,328
Voyons voir.

171
00:09:00,328 --> 00:09:02,279
Donc, si on a deux y, qu'est-ce que ça veut dire?

172
00:09:02,279 --> 00:09:09,152
Cela veut dire que j'ai deux y que j'ai additionnés.

173
00:09:09,152 --> 00:09:12,263
Donc, c'est littéralement y plus y.

174
00:09:12,263 --> 00:09:15,003
Et à cela, j'additionne quatre y.

175
00:09:15,003 --> 00:09:19,137
À cela j'additionne quatre y, qui sont littéralement

176
00:09:19,137 --> 00:09:20,808
quatre y additionnés les uns aux autres.

177
00:09:20,808 --> 00:09:24,338
Donc y plus y plus y plus y.

178
00:09:24,338 --> 00:09:29,075
Et tout cela doit être égal à 18.

179
00:09:29,075 --> 00:09:35,251
Donc ceci est égal à 18.

180
00:09:35,251 --> 00:09:39,059
Combien y a-t-il de y du côté gauche?

181
00:09:39,059 --> 00:09:41,149
Combien de y ?

182
00:09:41,149 --> 00:09:45,747
Il y a un, deux, trois, quatre, cinq, six y.

183
00:09:45,747 --> 00:09:48,812
Vous pourriez donc simplifier ceci en 6y est égal à 18.

184
00:09:48,812 --> 00:09:51,134
En y réfléchissant, c'est tout à fait logique.

185
00:09:51,134 --> 00:09:56,799
Donc ceci, les 2y plus les 4y, font 6y.

186
00:09:56,799 --> 00:10:00,793
Donc 2y plus 4y font 6y, ce qui est logique.

187
00:10:00,793 --> 00:10:03,672
Si j'ai 2 pommes plus 4 pommes, j'aurai

188
00:10:03,672 --> 00:10:04,833
6 pommes.

189
00:10:04,833 --> 00:10:07,620
Si j'ai 2 y plus 4 y, j'aurai 6 y.

190
00:10:07,620 --> 00:10:10,174
Cela va être égal à 18.

191
00:10:10,174 --> 00:10:15,422
Et maintenant, normalement, vous devriez avoir compris comment procéder.

192
00:10:15,422 --> 00:10:18,162
Si j'ai 6 fois quelque chose qui est égal à 18, si je divise chaque

193
00:10:18,162 --> 00:10:22,481
côté de cette équation par 6, je vais obtenir ce quelque chose.

194
00:10:22,481 --> 00:10:30,793
Donc, divisons le côté gauche par 6, et divisons le

195
00:10:30,793 --> 00:10:32,744
côté droit par 6.

196
00:10:36,111 --> 00:10:39,478
Et il nous reste y est égal à 3.

197
00:10:39,478 --> 00:10:40,499
Vous pouvez essayer par vous même.

198
00:10:40,499 --> 00:10:41,985
Voilà ce qui est sympa avec les équations.

199
00:10:41,985 --> 00:10:44,261
Il est toujours possible de vérifier si on a eu le bon résultat.

200
00:10:44,261 --> 00:10:45,933
Regardons si ça marche.

201
00:10:45,933 --> 00:10:52,249
2 fois 3 plus 4 fois 3 est égal à combien?

202
00:10:52,249 --> 00:10:56,335
2 fois 3 est égal à 6.

203
00:10:56,335 --> 00:10:59,493
Et ensuite, 4 fois 3 est égal à 12.

204
00:10:59,493 --> 00:11:03,998
6 plus 12 est égal à 18, en effet.

205
00:11:03,998 --> 99:59:59,999
Donc ça marche.