Представяне на e^x с ред на Маклорен
-
0:01 - 0:02Сега ще направим
нещо много интересно. -
0:02 - 0:05Това е, до известен смисъл,
една от най-лесните функции, -
0:05 - 0:07която да представим
като ред на Маклорен. -
0:07 - 0:11Да се опитаме
да апроксимираме е^х. -
0:11 - 0:13f(х) е равно на е^х.
-
0:13 - 0:14Това, което го прави
наистина лесно, е, че -
0:14 - 0:16когато намираме производните –
и това е, честно казано, -
0:16 - 0:19едно от изумителните неща
за числото е – -
0:19 - 0:23е, че производната
на е^х е е^х -
0:23 - 0:26Значи това е равно на f'(х),
-
0:26 - 0:29равно е на втората
производна на f(х), -
0:29 - 0:32равно е на третата
производна на f(х), -
0:32 - 0:34равно е на
n-тата производна на f(х). -
0:34 - 0:36Винаги е равно на е^х.
-
0:36 - 0:40Това е първото най-изумително
нещо за числото е. -
0:40 - 0:42Можеш да продължиш
да намираш производни. -
0:42 - 0:45Наклонът във всяка точка
от графиката на функцията -
0:45 - 0:48е равен на наклона
в тази точка на кривата. -
0:48 - 0:50Това е просто изумително.
-
0:50 - 0:53И след всичко казано, сега да представим
функцията като ред на Маклорен. -
0:53 - 0:55Трябва да намерим f(0), f'(0)
-
0:55 - 0:57втората производна за нула.
-
0:57 - 1:01е на степен 0 е просто 1.
-
1:01 - 1:04Значи това е равно на f(0).
-
1:04 - 1:06Това е равно на f'(0).
-
1:06 - 1:14Това е равно на всяка
производна, изчислена за нула, -
1:14 - 1:16n-тата производна,
изчислена за нула. -
1:16 - 1:20Затова използването
на ред на Маклорен -
1:20 - 1:23е толкова лесно.
-
1:23 - 1:25Ако искам
да апроксимирам е^х -
1:25 - 1:28с ред на Маклорен –
значи е^х, тук ще сложа -
1:28 - 1:30знак за приблизително равно –
-
1:30 - 1:32приближаваме се все повече
и повече до реалното е^х, -
1:32 - 1:34като добавяме още и още
членове. -
1:34 - 1:37Особено ако имаме
безкраен брой членове, -
1:37 - 1:38ще изглежда ето така.
-
1:38 - 1:43f(0) – какъв цвят използвах
за косинус и синус? -
1:43 - 1:46Използвах розово и зелено.
-
1:46 - 1:47Сега ще използвам нерозово
и незелено, -
1:47 - 1:50ще използвам жълто.
-
1:50 - 1:56Значи f(0) е 1 + f'(0) по х.
-
1:56 - 1:57f'(0) също е 1.
-
1:57 - 2:01Значи плюс х,
плюс, това е също 1, -
2:01 - 2:03става х^2 върху 2!
-
2:03 - 2:06Значи плюс x^2 върху 2!.
-
2:06 - 2:08Всичко това е равно на 1.
-
2:08 - 2:12Това е 1, това е 1,
когато става дума за е^х. -
2:12 - 2:13Отиваме при третия член.
-
2:13 - 2:14Това е 1.
-
2:14 - 2:16Получаваме х^3 върху 3!
-
2:16 - 2:19Плюс х^3 върху 3!
-
2:19 - 2:20Мисля, че виждаш
закономерността. -
2:20 - 2:22Продължавам да добавям
членове. -
2:22 - 2:26х^4 върху 4! плюс х^5 върху 5!
-
2:27 - 2:31плюс х^6 върху 6!
-
2:31 - 2:35И се появява нещо
много елегантно. -
2:35 - 2:38Това е, че е^х – това е наистина
много интересно – -
2:38 - 2:43е^х може да е приблизително
1 + х + х^2 върху 2! -
2:43 - 2:46плюс х^3 върху 3!.
-
2:46 - 2:49Виждаме, че е^х започва
да изглежда много яко. -
2:49 - 2:52И това води до
интересни резултати. -
2:52 - 2:55Ако искаме
да апроксимираме е, -
2:55 - 2:59просто трябва да изчислим
това за х = 1. -
2:59 - 3:01За да изчислим приблизително е,
-
3:01 - 3:06казваме, че то е приблизително
равно на... това е е^1. -
3:06 - 3:07И това е приблизително равно
-
3:07 - 3:10на този полином, изчислен за 1.
-
3:10 - 3:13Ако х е равно на 1,
тук заместваме х с единица. -
3:13 - 3:15Става 1 + 1.
-
3:15 - 3:21Става 1 + 1 + 1/2!
-
3:21 - 3:28+ 1/3! + 1/4!
-
3:28 - 3:31И така нататък до безкрайност.
-
3:31 - 3:37Това можем да разглеждаме
като 1/1! -
3:37 - 3:41Особено интересно е, че това
е друг начин да представим числото е. -
3:41 - 3:44Това ни показва, че числото е
е равно на този елегантен израз. -
3:44 - 3:49То е равно на 2 + 1/2 + 1/6...
-
3:49 - 3:54и като продължаваме така,
се приближаваме до стойността на е. -
3:54 - 3:58Но не само това е изумително.
-
3:58 - 4:00Ако се върнем на представянето
като ред на Маклорен -
4:00 - 4:03на другите функции,
косинус от х... -
4:03 - 4:06ще копирам и ще поставя
косинус от х. -
4:06 - 4:09Косинус от х е ето тук.
-
4:09 - 4:13Ще копирам и ще поставя
всичко това. -
4:13 - 4:20Копирам и поставям.
-
4:20 - 4:22Това е косинус от х.
-
4:22 - 4:27Сега ще направя същото нещо
със синус от х от предходното видео. -
4:27 - 4:31Значи синус от х.
-
4:31 - 4:40Копирам и поставям.
-
4:40 - 4:46Има ли връзка между
тези апроксимации? -
4:46 - 4:50Преди вероятно видя някаква връзка
между косинус и синус, -
4:50 - 4:52но има ли връзка с е^х?
-
4:52 - 4:55Тук виждаш, че косинус от х
-
4:55 - 4:59изглежда като този член
плюс този член, -
4:59 - 5:02въпреки че поставяме
знак минус отпред. -
5:02 - 5:04Това е отрицателната версия
на този член тук, -
5:04 - 5:08плюс този член, плюс
отрицателната версия -
5:08 - 5:11на този член тук.
-
5:11 - 5:16Синус от х изглежда точно
като този член -
5:16 - 5:22плюс отрицателната версия
на този член, плюс този член, -
5:22 - 5:25плюс отрицателната версия
на следващия член. -
5:25 - 5:28Ако някак можем
да съгласуваме минусите -
5:28 - 5:30по някакъв интересен начин,
изглежда, че -
5:30 - 5:33е^х е някак си – или поне
-
5:33 - 5:36представянето на е^х
като полином – -
5:36 - 5:39е някак свързано с
комбиниране на -
5:39 - 5:43представянето на косинус от х
и синус от х като полиноми. -
5:43 - 5:46И това вече става много,
много, много яко. -
5:46 - 5:48Започваме да виждаме
връзка между неща, -
5:48 - 5:52свързани със сложно влияние
или с функция, чиито производни -
5:52 - 5:54винаги са равни на тази функция.
-
5:54 - 5:55И тези неща, които са свързани
с единичната окръжност -
5:55 - 5:58и с колебателното движение,
и всички тези неща тук, -
5:58 - 6:01тук започват да изпъква
една ясна свързаност. -
6:01 - 6:03Но ще спра дотук в това видео.
-
6:03 - 6:04В следващото видео
ще ти покажа -
6:04 - 6:09как можем да съгласуваме
тези три изумителни функции.
- Title:
- Представяне на e^x с ред на Маклорен
- Description:
-
Апроксимация на функцията e^x с ред на Маклорен (който е частен случай на полином на Тейлър, но центриран около x = 0 с безкрайно много членове). Оказва се, че този ред е абсолютно същия като самата функция! Създаден от Сал Кан.
Гледай следващия урок: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-maclaurin-series/v/euler-s-formula-and-euler-s-identity?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC
Пропусна предишния урок? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-maclaurin-series/v/sine-taylor-series-at-0-maclaurin?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC
Кан Академия е организация с нестопанска цел и с мисията да предоставя свободно образователни материали на световно ниво за
- Video Language:
- English
- Team:
- Khan Academy
- Duration:
- 06:10
Sevdalina Peeva edited Bulgarian subtitles for Taylor Series at 0 (Maclaurin) for e to the x | ||
Amara Bot edited Bulgarian subtitles for Taylor Series at 0 (Maclaurin) for e to the x |