1
00:00:00,640 --> 00:00:02,390
Сега ще направим
нещо много интересно.

2
00:00:02,390 --> 00:00:04,973
Това е, до известен смисъл,
една от най-лесните функции,

3
00:00:04,973 --> 00:00:07,340
която да представим
като ред на Маклорен.

4
00:00:07,340 --> 00:00:10,740
Да се опитаме 
да апроксимираме е^х.

5
00:00:10,740 --> 00:00:13,106
f(х) е равно на е^х.

6
00:00:13,106 --> 00:00:14,480
Това, което го прави
наистина лесно, е, че

7
00:00:14,480 --> 00:00:16,440
когато намираме производните –
и това е, честно казано,

8
00:00:16,440 --> 00:00:18,720
едно от изумителните неща 
за числото е –

9
00:00:18,720 --> 00:00:23,020
е, че производната 
на е^х е е^х

10
00:00:23,040 --> 00:00:25,580
Значи това е равно на f'(х),

11
00:00:25,590 --> 00:00:28,880
равно е на втората
производна на f(х),

12
00:00:28,880 --> 00:00:31,570
равно е на третата
производна на f(х),

13
00:00:31,570 --> 00:00:33,810
равно е на 
n-тата производна на f(х).

14
00:00:33,810 --> 00:00:35,980
Винаги е равно на е^х.

15
00:00:35,980 --> 00:00:40,180
Това е първото най-изумително
нещо за числото е.

16
00:00:40,260 --> 00:00:42,380
Можеш да продължиш
да намираш производни.

17
00:00:42,390 --> 00:00:45,180
Наклонът във всяка точка
от графиката на функцията

18
00:00:45,180 --> 00:00:48,410
е равен на наклона
в тази точка на кривата.

19
00:00:48,410 --> 00:00:49,800
Това е просто изумително.

20
00:00:49,800 --> 00:00:52,580
И след всичко казано, сега да представим 
функцията като ред на Маклорен.

21
00:00:52,680 --> 00:00:55,220
Трябва да намерим f(0), f'(0)

22
00:00:55,220 --> 00:00:56,525
втората производна за нула.

23
00:00:56,525 --> 00:01:01,230
е на степен 0 е просто 1.

24
00:01:01,230 --> 00:01:03,680
Значи това е равно на f(0).

25
00:01:03,680 --> 00:01:06,040
Това е равно на f'(0).

26
00:01:06,040 --> 00:01:14,410
Това е равно на всяка
производна, изчислена за нула,

27
00:01:14,410 --> 00:01:16,410
n-тата производна, 
изчислена за нула.

28
00:01:16,410 --> 00:01:20,120
Затова използването
на ред на Маклорен

29
00:01:20,120 --> 00:01:22,600
е толкова лесно.

30
00:01:22,600 --> 00:01:24,670
Ако искам 
да апроксимирам е^х

31
00:01:24,670 --> 00:01:28,330
с ред на Маклорен –
значи е^х, тук ще сложа

32
00:01:28,330 --> 00:01:29,910
знак за приблизително равно –

33
00:01:29,910 --> 00:01:32,360
приближаваме се все повече
и повече до реалното е^х,

34
00:01:32,360 --> 00:01:34,490
като добавяме още и още 
членове.

35
00:01:34,490 --> 00:01:36,980
Особено ако имаме 
безкраен брой членове,

36
00:01:36,980 --> 00:01:38,120
ще изглежда ето така.

37
00:01:38,120 --> 00:01:43,160
f(0) – какъв цвят използвах
за косинус и синус?

38
00:01:43,160 --> 00:01:45,550
Използвах розово и зелено.

39
00:01:45,550 --> 00:01:47,280
Сега ще използвам нерозово
и незелено,

40
00:01:47,280 --> 00:01:49,930
ще използвам жълто.

41
00:01:49,930 --> 00:01:55,710
Значи f(0) е 1 + f'(0) по х.

42
00:01:55,710 --> 00:01:56,790
f'(0) също е 1.

43
00:01:56,790 --> 00:02:00,900
Значи плюс х, 
плюс, това е също 1,

44
00:02:00,900 --> 00:02:03,040
става х^2 върху 2!

45
00:02:03,040 --> 00:02:06,373
Значи плюс x^2 върху 2!.

46
00:02:06,373 --> 00:02:07,956
Всичко това е равно на 1.

47
00:02:07,956 --> 00:02:11,530
Това е 1, това е 1,
когато става дума за е^х.

48
00:02:11,530 --> 00:02:12,820
Отиваме при третия член.

49
00:02:12,820 --> 00:02:13,950
Това е 1.

50
00:02:13,950 --> 00:02:16,180
Получаваме х^3 върху 3!

51
00:02:16,180 --> 00:02:18,809
Плюс х^3 върху 3!

52
00:02:18,809 --> 00:02:20,350
Мисля, че виждаш
закономерността.

53
00:02:20,350 --> 00:02:21,620
Продължавам да добавям
членове.

54
00:02:21,800 --> 00:02:26,500
х^4 върху 4! плюс х^5 върху 5!

55
00:02:26,510 --> 00:02:31,220
плюс х^6 върху 6!

56
00:02:31,220 --> 00:02:35,300
И се появява нещо
много елегантно.

57
00:02:35,300 --> 00:02:38,270
Това е, че е^х – това е наистина
много интересно –

58
00:02:38,270 --> 00:02:43,360
е^х може да е приблизително
1 + х + х^2 върху 2!

59
00:02:43,360 --> 00:02:45,620
плюс х^3 върху 3!.

60
00:02:45,620 --> 00:02:49,060
Виждаме, че е^х започва
да изглежда много яко.

61
00:02:49,160 --> 00:02:51,570
И това води до 
интересни резултати.

62
00:02:51,570 --> 00:02:54,560
Ако искаме 
да апроксимираме е,

63
00:02:54,560 --> 00:02:58,820
просто трябва да изчислим
това за х = 1.

64
00:02:58,820 --> 00:03:01,260
За да изчислим приблизително е,

65
00:03:01,260 --> 00:03:05,900
казваме, че то е приблизително 
равно на... това е е^1.

66
00:03:05,900 --> 00:03:07,400
И това е приблизително равно

67
00:03:07,400 --> 00:03:10,280
на този полином, изчислен за 1.

68
00:03:10,280 --> 00:03:12,750
Ако х е равно на 1,
тук заместваме х с единица.

69
00:03:12,750 --> 00:03:15,010
Става 1 + 1.

70
00:03:15,010 --> 00:03:21,220
Става 1 + 1 + 1/2!

71
00:03:21,220 --> 00:03:27,570
+ 1/3! + 1/4!

72
00:03:27,570 --> 00:03:30,700
И така нататък до безкрайност.

73
00:03:30,700 --> 00:03:37,140
Това можем да разглеждаме 
като 1/1!

74
00:03:37,280 --> 00:03:40,720
Особено интересно е, че това
е друг начин да представим числото е.

75
00:03:40,860 --> 00:03:43,940
Това ни показва, че числото е
е равно на този елегантен израз.

76
00:03:43,940 --> 00:03:48,660
То е равно на 2 + 1/2 + 1/6...

77
00:03:48,660 --> 00:03:54,070
и като продължаваме така,
се приближаваме до стойността на е.

78
00:03:54,070 --> 00:03:57,820
Но не само това е изумително.

79
00:03:57,820 --> 00:04:00,090
Ако се върнем на представянето 
като ред на Маклорен

80
00:04:00,090 --> 00:04:03,020
на другите функции, 
косинус от х...

81
00:04:03,020 --> 00:04:06,140
ще копирам и ще поставя
косинус от х.

82
00:04:06,140 --> 00:04:09,450
Косинус от х е ето тук.

83
00:04:09,450 --> 00:04:13,290
Ще копирам и ще поставя
всичко това.

84
00:04:13,290 --> 00:04:19,640
Копирам и поставям.

85
00:04:19,760 --> 00:04:22,500
Това е косинус от х.

86
00:04:22,500 --> 00:04:27,160
Сега ще направя същото нещо
със синус от х от предходното видео.

87
00:04:27,260 --> 00:04:30,860
Значи синус от х.

88
00:04:31,040 --> 00:04:40,200
Копирам и поставям.

89
00:04:40,260 --> 00:04:45,690
Има ли връзка между
тези апроксимации?

90
00:04:45,690 --> 00:04:49,980
Преди вероятно видя някаква връзка 
между косинус и синус,

91
00:04:50,000 --> 00:04:52,180
но има ли връзка с е^х?

92
00:04:52,180 --> 00:04:54,980
Тук виждаш, че косинус от х

93
00:04:54,980 --> 00:04:59,360
изглежда като този член
плюс този член,

94
00:04:59,360 --> 00:05:01,910
въпреки че поставяме
знак минус отпред.

95
00:05:01,910 --> 00:05:04,210
Това е отрицателната версия
на този член тук,

96
00:05:04,210 --> 00:05:07,960
плюс този член, плюс
отрицателната версия

97
00:05:07,960 --> 00:05:10,640
на този член тук.

98
00:05:10,640 --> 00:05:15,830
Синус от х изглежда точно
като този член

99
00:05:15,830 --> 00:05:22,490
плюс отрицателната версия
на този член, плюс този член,

100
00:05:22,490 --> 00:05:24,750
плюс отрицателната версия 
на следващия член.

101
00:05:24,750 --> 00:05:27,570
Ако някак можем 
да съгласуваме минусите

102
00:05:27,570 --> 00:05:30,390
по някакъв интересен начин,
изглежда, че

103
00:05:30,390 --> 00:05:33,210
е^х е някак си – или поне

104
00:05:33,210 --> 00:05:35,980
представянето на е^х 
като полином –

105
00:05:35,980 --> 00:05:39,360
е някак свързано с
комбиниране на

106
00:05:39,360 --> 00:05:43,020
представянето на косинус от х 
и синус от х като полиноми.

107
00:05:43,120 --> 00:05:45,874
И това вече става много,
много, много яко.

108
00:05:45,874 --> 00:05:48,040
Започваме да виждаме
връзка между неща,

109
00:05:48,040 --> 00:05:52,290
свързани със сложно влияние
или с функция, чиито производни

110
00:05:52,290 --> 00:05:53,600
винаги са равни на тази функция.

111
00:05:53,600 --> 00:05:55,070
И тези неща, които са свързани 
с единичната окръжност

112
00:05:55,070 --> 00:05:57,700
и с колебателното движение,
и всички тези неща тук,

113
00:05:57,700 --> 00:06:00,956
тук започват да изпъква
една ясна свързаност.

114
00:06:00,956 --> 00:06:02,580
Но ще спра дотук в това видео.

115
00:06:02,580 --> 00:06:04,080
В следващото видео
ще ти покажа

116
00:06:04,080 --> 00:06:09,180
как можем да съгласуваме
тези три изумителни функции.