[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.64,0:00:02.39,Default,,0000,0000,0000,,Сега ще направим\Nнещо много интересно.
Dialogue: 0,0:00:02.39,0:00:04.97,Default,,0000,0000,0000,,Това е, до известен смисъл,\Nедна от най-лесните функции,
Dialogue: 0,0:00:04.97,0:00:07.34,Default,,0000,0000,0000,,която да представим\Nкато ред на Маклорен.
Dialogue: 0,0:00:07.34,0:00:10.74,Default,,0000,0000,0000,,Да се опитаме \Nда апроксимираме е^х.
Dialogue: 0,0:00:10.74,0:00:13.11,Default,,0000,0000,0000,,f(х) е равно на е^х.
Dialogue: 0,0:00:13.11,0:00:14.48,Default,,0000,0000,0000,,Това, което го прави\Nнаистина лесно, е, че
Dialogue: 0,0:00:14.48,0:00:16.44,Default,,0000,0000,0000,,когато намираме производните –\Nи това е, честно казано,
Dialogue: 0,0:00:16.44,0:00:18.72,Default,,0000,0000,0000,,едно от изумителните неща \Nза числото е –
Dialogue: 0,0:00:18.72,0:00:23.02,Default,,0000,0000,0000,,е, че производната \Nна е^х е е^х
Dialogue: 0,0:00:23.04,0:00:25.58,Default,,0000,0000,0000,,Значи това е равно на f'(х),
Dialogue: 0,0:00:25.59,0:00:28.88,Default,,0000,0000,0000,,равно е на втората\Nпроизводна на f(х),
Dialogue: 0,0:00:28.88,0:00:31.57,Default,,0000,0000,0000,,равно е на третата\Nпроизводна на f(х),
Dialogue: 0,0:00:31.57,0:00:33.81,Default,,0000,0000,0000,,равно е на \Nn-тата производна на f(х).
Dialogue: 0,0:00:33.81,0:00:35.98,Default,,0000,0000,0000,,Винаги е равно на е^х.
Dialogue: 0,0:00:35.98,0:00:40.18,Default,,0000,0000,0000,,Това е първото най-изумително\Nнещо за числото е.
Dialogue: 0,0:00:40.26,0:00:42.38,Default,,0000,0000,0000,,Можеш да продължиш\Nда намираш производни.
Dialogue: 0,0:00:42.39,0:00:45.18,Default,,0000,0000,0000,,Наклонът във всяка точка\Nот графиката на функцията
Dialogue: 0,0:00:45.18,0:00:48.41,Default,,0000,0000,0000,,е равен на наклона\Nв тази точка на кривата.
Dialogue: 0,0:00:48.41,0:00:49.80,Default,,0000,0000,0000,,Това е просто изумително.
Dialogue: 0,0:00:49.80,0:00:52.58,Default,,0000,0000,0000,,И след всичко казано, сега да представим \Nфункцията като ред на Маклорен.
Dialogue: 0,0:00:52.68,0:00:55.22,Default,,0000,0000,0000,,Трябва да намерим f(0), f'(0)
Dialogue: 0,0:00:55.22,0:00:56.52,Default,,0000,0000,0000,,втората производна за нула.
Dialogue: 0,0:00:56.52,0:01:01.23,Default,,0000,0000,0000,,е на степен 0 е просто 1.
Dialogue: 0,0:01:01.23,0:01:03.68,Default,,0000,0000,0000,,Значи това е равно на f(0).
Dialogue: 0,0:01:03.68,0:01:06.04,Default,,0000,0000,0000,,Това е равно на f'(0).
Dialogue: 0,0:01:06.04,0:01:14.41,Default,,0000,0000,0000,,Това е равно на всяка\Nпроизводна, изчислена за нула,
Dialogue: 0,0:01:14.41,0:01:16.41,Default,,0000,0000,0000,,n-тата производна, \Nизчислена за нула.
Dialogue: 0,0:01:16.41,0:01:20.12,Default,,0000,0000,0000,,Затова използването\Nна ред на Маклорен
Dialogue: 0,0:01:20.12,0:01:22.60,Default,,0000,0000,0000,,е толкова лесно.
Dialogue: 0,0:01:22.60,0:01:24.67,Default,,0000,0000,0000,,Ако искам \Nда апроксимирам е^х
Dialogue: 0,0:01:24.67,0:01:28.33,Default,,0000,0000,0000,,с ред на Маклорен –\Nзначи е^х, тук ще сложа
Dialogue: 0,0:01:28.33,0:01:29.91,Default,,0000,0000,0000,,знак за приблизително равно –
Dialogue: 0,0:01:29.91,0:01:32.36,Default,,0000,0000,0000,,приближаваме се все повече\Nи повече до реалното е^х,
Dialogue: 0,0:01:32.36,0:01:34.49,Default,,0000,0000,0000,,като добавяме още и още \Nчленове.
Dialogue: 0,0:01:34.49,0:01:36.98,Default,,0000,0000,0000,,Особено ако имаме \Nбезкраен брой членове,
Dialogue: 0,0:01:36.98,0:01:38.12,Default,,0000,0000,0000,,ще изглежда ето така.
Dialogue: 0,0:01:38.12,0:01:43.16,Default,,0000,0000,0000,,f(0) – какъв цвят използвах\Nза косинус и синус?
Dialogue: 0,0:01:43.16,0:01:45.55,Default,,0000,0000,0000,,Използвах розово и зелено.
Dialogue: 0,0:01:45.55,0:01:47.28,Default,,0000,0000,0000,,Сега ще използвам нерозово\Nи незелено,
Dialogue: 0,0:01:47.28,0:01:49.93,Default,,0000,0000,0000,,ще използвам жълто.
Dialogue: 0,0:01:49.93,0:01:55.71,Default,,0000,0000,0000,,Значи f(0) е 1 + f'(0) по х.
Dialogue: 0,0:01:55.71,0:01:56.79,Default,,0000,0000,0000,,f'(0) също е 1.
Dialogue: 0,0:01:56.79,0:02:00.90,Default,,0000,0000,0000,,Значи плюс х, \Nплюс, това е също 1,
Dialogue: 0,0:02:00.90,0:02:03.04,Default,,0000,0000,0000,,става х^2 върху 2!
Dialogue: 0,0:02:03.04,0:02:06.37,Default,,0000,0000,0000,,Значи плюс x^2 върху 2!.
Dialogue: 0,0:02:06.37,0:02:07.96,Default,,0000,0000,0000,,Всичко това е равно на 1.
Dialogue: 0,0:02:07.96,0:02:11.53,Default,,0000,0000,0000,,Това е 1, това е 1,\Nкогато става дума за е^х.
Dialogue: 0,0:02:11.53,0:02:12.82,Default,,0000,0000,0000,,Отиваме при третия член.
Dialogue: 0,0:02:12.82,0:02:13.95,Default,,0000,0000,0000,,Това е 1.
Dialogue: 0,0:02:13.95,0:02:16.18,Default,,0000,0000,0000,,Получаваме х^3 върху 3!
Dialogue: 0,0:02:16.18,0:02:18.81,Default,,0000,0000,0000,,Плюс х^3 върху 3!
Dialogue: 0,0:02:18.81,0:02:20.35,Default,,0000,0000,0000,,Мисля, че виждаш\Nзакономерността.
Dialogue: 0,0:02:20.35,0:02:21.62,Default,,0000,0000,0000,,Продължавам да добавям\Nчленове.
Dialogue: 0,0:02:21.80,0:02:26.50,Default,,0000,0000,0000,,х^4 върху 4! плюс х^5 върху 5!
Dialogue: 0,0:02:26.51,0:02:31.22,Default,,0000,0000,0000,,плюс х^6 върху 6!
Dialogue: 0,0:02:31.22,0:02:35.30,Default,,0000,0000,0000,,И се появява нещо\Nмного елегантно.
Dialogue: 0,0:02:35.30,0:02:38.27,Default,,0000,0000,0000,,Това е, че е^х – това е наистина\Nмного интересно –
Dialogue: 0,0:02:38.27,0:02:43.36,Default,,0000,0000,0000,,е^х може да е приблизително\N1 + х + х^2 върху 2!
Dialogue: 0,0:02:43.36,0:02:45.62,Default,,0000,0000,0000,,плюс х^3 върху 3!.
Dialogue: 0,0:02:45.62,0:02:49.06,Default,,0000,0000,0000,,Виждаме, че е^х започва\Nда изглежда много яко.
Dialogue: 0,0:02:49.16,0:02:51.57,Default,,0000,0000,0000,,И това води до \Nинтересни резултати.
Dialogue: 0,0:02:51.57,0:02:54.56,Default,,0000,0000,0000,,Ако искаме \Nда апроксимираме е,
Dialogue: 0,0:02:54.56,0:02:58.82,Default,,0000,0000,0000,,просто трябва да изчислим\Nтова за х = 1.
Dialogue: 0,0:02:58.82,0:03:01.26,Default,,0000,0000,0000,,За да изчислим приблизително е,
Dialogue: 0,0:03:01.26,0:03:05.90,Default,,0000,0000,0000,,казваме, че то е приблизително \Nравно на... това е е^1.
Dialogue: 0,0:03:05.90,0:03:07.40,Default,,0000,0000,0000,,И това е приблизително равно
Dialogue: 0,0:03:07.40,0:03:10.28,Default,,0000,0000,0000,,на този полином, изчислен за 1.
Dialogue: 0,0:03:10.28,0:03:12.75,Default,,0000,0000,0000,,Ако х е равно на 1,\Nтук заместваме х с единица.
Dialogue: 0,0:03:12.75,0:03:15.01,Default,,0000,0000,0000,,Става 1 + 1.
Dialogue: 0,0:03:15.01,0:03:21.22,Default,,0000,0000,0000,,Става 1 + 1 + 1/2!
Dialogue: 0,0:03:21.22,0:03:27.57,Default,,0000,0000,0000,,+ 1/3! + 1/4!
Dialogue: 0,0:03:27.57,0:03:30.70,Default,,0000,0000,0000,,И така нататък до безкрайност.
Dialogue: 0,0:03:30.70,0:03:37.14,Default,,0000,0000,0000,,Това можем да разглеждаме \Nкато 1/1!
Dialogue: 0,0:03:37.28,0:03:40.72,Default,,0000,0000,0000,,Особено интересно е, че това\Nе друг начин да представим числото е.
Dialogue: 0,0:03:40.86,0:03:43.94,Default,,0000,0000,0000,,Това ни показва, че числото е\Nе равно на този елегантен израз.
Dialogue: 0,0:03:43.94,0:03:48.66,Default,,0000,0000,0000,,То е равно на 2 + 1/2 + 1/6...
Dialogue: 0,0:03:48.66,0:03:54.07,Default,,0000,0000,0000,,и като продължаваме така,\Nсе приближаваме до стойността на е.
Dialogue: 0,0:03:54.07,0:03:57.82,Default,,0000,0000,0000,,Но не само това е изумително.
Dialogue: 0,0:03:57.82,0:04:00.09,Default,,0000,0000,0000,,Ако се върнем на представянето \Nкато ред на Маклорен
Dialogue: 0,0:04:00.09,0:04:03.02,Default,,0000,0000,0000,,на другите функции, \Nкосинус от х...
Dialogue: 0,0:04:03.02,0:04:06.14,Default,,0000,0000,0000,,ще копирам и ще поставя\Nкосинус от х.
Dialogue: 0,0:04:06.14,0:04:09.45,Default,,0000,0000,0000,,Косинус от х е ето тук.
Dialogue: 0,0:04:09.45,0:04:13.29,Default,,0000,0000,0000,,Ще копирам и ще поставя\Nвсичко това.
Dialogue: 0,0:04:13.29,0:04:19.64,Default,,0000,0000,0000,,Копирам и поставям.
Dialogue: 0,0:04:19.76,0:04:22.50,Default,,0000,0000,0000,,Това е косинус от х.
Dialogue: 0,0:04:22.50,0:04:27.16,Default,,0000,0000,0000,,Сега ще направя същото нещо\Nсъс синус от х от предходното видео.
Dialogue: 0,0:04:27.26,0:04:30.86,Default,,0000,0000,0000,,Значи синус от х.
Dialogue: 0,0:04:31.04,0:04:40.20,Default,,0000,0000,0000,,Копирам и поставям.
Dialogue: 0,0:04:40.26,0:04:45.69,Default,,0000,0000,0000,,Има ли връзка между\Nтези апроксимации?
Dialogue: 0,0:04:45.69,0:04:49.98,Default,,0000,0000,0000,,Преди вероятно видя някаква връзка \Nмежду косинус и синус,
Dialogue: 0,0:04:50.00,0:04:52.18,Default,,0000,0000,0000,,но има ли връзка с е^х?
Dialogue: 0,0:04:52.18,0:04:54.98,Default,,0000,0000,0000,,Тук виждаш, че косинус от х
Dialogue: 0,0:04:54.98,0:04:59.36,Default,,0000,0000,0000,,изглежда като този член\Nплюс този член,
Dialogue: 0,0:04:59.36,0:05:01.91,Default,,0000,0000,0000,,въпреки че поставяме\Nзнак минус отпред.
Dialogue: 0,0:05:01.91,0:05:04.21,Default,,0000,0000,0000,,Това е отрицателната версия\Nна този член тук,
Dialogue: 0,0:05:04.21,0:05:07.96,Default,,0000,0000,0000,,плюс този член, плюс\Nотрицателната версия
Dialogue: 0,0:05:07.96,0:05:10.64,Default,,0000,0000,0000,,на този член тук.
Dialogue: 0,0:05:10.64,0:05:15.83,Default,,0000,0000,0000,,Синус от х изглежда точно\Nкато този член
Dialogue: 0,0:05:15.83,0:05:22.49,Default,,0000,0000,0000,,плюс отрицателната версия\Nна този член, плюс този член,
Dialogue: 0,0:05:22.49,0:05:24.75,Default,,0000,0000,0000,,плюс отрицателната версия \Nна следващия член.
Dialogue: 0,0:05:24.75,0:05:27.57,Default,,0000,0000,0000,,Ако някак можем \Nда съгласуваме минусите
Dialogue: 0,0:05:27.57,0:05:30.39,Default,,0000,0000,0000,,по някакъв интересен начин,\Nизглежда, че
Dialogue: 0,0:05:30.39,0:05:33.21,Default,,0000,0000,0000,,е^х е някак си – или поне
Dialogue: 0,0:05:33.21,0:05:35.98,Default,,0000,0000,0000,,представянето на е^х \Nкато полином –
Dialogue: 0,0:05:35.98,0:05:39.36,Default,,0000,0000,0000,,е някак свързано с\Nкомбиниране на
Dialogue: 0,0:05:39.36,0:05:43.02,Default,,0000,0000,0000,,представянето на косинус от х \Nи синус от х като полиноми.
Dialogue: 0,0:05:43.12,0:05:45.87,Default,,0000,0000,0000,,И това вече става много,\Nмного, много яко.
Dialogue: 0,0:05:45.87,0:05:48.04,Default,,0000,0000,0000,,Започваме да виждаме\Nвръзка между неща,
Dialogue: 0,0:05:48.04,0:05:52.29,Default,,0000,0000,0000,,свързани със сложно влияние\Nили с функция, чиито производни
Dialogue: 0,0:05:52.29,0:05:53.60,Default,,0000,0000,0000,,винаги са равни на тази функция.
Dialogue: 0,0:05:53.60,0:05:55.07,Default,,0000,0000,0000,,И тези неща, които са свързани \Nс единичната окръжност
Dialogue: 0,0:05:55.07,0:05:57.70,Default,,0000,0000,0000,,и с колебателното движение,\Nи всички тези неща тук,
Dialogue: 0,0:05:57.70,0:06:00.96,Default,,0000,0000,0000,,тук започват да изпъква\Nедна ясна свързаност.
Dialogue: 0,0:06:00.96,0:06:02.58,Default,,0000,0000,0000,,Но ще спра дотук в това видео.
Dialogue: 0,0:06:02.58,0:06:04.08,Default,,0000,0000,0000,,В следващото видео\Nще ти покажа
Dialogue: 0,0:06:04.08,0:06:09.18,Default,,0000,0000,0000,,как можем да съгласуваме\Nтези три изумителни функции.