Compound Inequalities

சில கலவையான சமமின்மைகளில் தீர்வு காண்போம்.

இவைகளும் சமமின்மைகளில் வரும் பிரச்சனைகள் போன்றதுதான்,ஆனால்

ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட நிலைகள் வரும். இன்னும் ஒரு வினாடியில் நான் என்ன

சொல்லப்போகிறேன் என்பதைக் கவனிக்கப் போகிறீர்கள்.

என்னிடம் உள்ள முதல் வினா -5 ≤ x - 4, இது எதற்கு குறைவாகவோ

அல்லது சமமாகவோ உள்ளது என்றால் 13க்கு. -5 ≤ x - 4 ≤ 13.

ஆகையால் x ன் தொகுதிக்கு இரண்டு கட்டுப்பாடுகள் உள்ளன.

இவை இந்தச் சமன்பாட்டைத் திருப்திபடுத்த வேண்டும்.

x - 4 ≥ -5 மற்றும்

x - 4 ≤ 13.

ஆகையால் இந்த கலவை சமமின்மைகளை இப்படி எழுதலாம்.

-5 என்பது x - 4 க்கு குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கலாம்

மற்றும் x - 4 என்பது 13க்கு குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கலாம்.

முதலில் ஒவ்வொன்றிற்கும் தனித்தனியாகத் தீர்வு காண வேண்டும்.

அடுத்து நாம் அந்த தீர்வு அமைப்பை ஞாபகப்படுத்திக்கொள்ள வேண்டும்.

ஏனெனில் அதில்தான் இந்த இரண்டு சமன்பாடுகளையும்

திருப்திபடுத்தும் விசயங்கள் உள்ளன.

ஆகவே,இப்பொழுது ஒவ்வொன்றுக்கும் தனித்தனியாகத் தீர்வு காண்போம்.

-5 ≤ x - 4 இந்தச் சமன்பாட்டில் இருபக்கங்களிலும்

4ஐக் கூட்டுவோம்.

இடதுபக்கம் - 5 + 4 என்பது -1 ஆகிறது.

எதிர்ம 1 என்பது xக்கு குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ உள்ளது.சரியா?

வலப்பக்கம் 4 ரத்தாகி

x மட்டும் உள்ளது.

ஆகவே,இட,வலப்பக்கங்கள் எளிமைப்படுத்தப்பட்டு

x ≥ -1 அல்லது

-1 ≤ x என்றாகிறது.

ஆகவே,நாம் இப்படியும் எழுதலாம்.

x இங்கு எதிர்ம 1க்கு அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்க

வேண்டும். அவைகள் சமமதிப்புள்ளவைகள்.

பக்கங்களை மட்டும் மாற்றினேன்.

அடுத்த நிபந்தனையை பச்சை வண்ணத்தில் செய்கிறேன்.

இந்தச் சமன்பாட்டின் இருபக்கங்களிலும் 4ஐ கூட்டுகிறேன்.

நமக்கு இடப்பக்கம் மட்டும் x உள்ளது.

வலப்பக்கம் 13 கூட்டல் 4 என்பது

17 ஆகிறது.

ஆகவே நமக்கு x என்பது 17க்கு குறைவாக அல்லது சமமாக உள்ளது.

ஆகவே,நம் இரண்டு நிபந்தனைகள் என்னவென்றால் x என்பது எதிர்ம

எண் 1க்கு அதிகமாக அல்லது சமமாக இருக்க வேண்டும்.மற்றும் 17க்கு குறைவாக

அல்லது சமமாக இருக்க வேண்டும்.நாம் இதை கலவை

ஏற்றத்தாழ்வுகளிலும் எழுதிக் கொள்ளலாம்.

தீர்வு அமைப்பில் இப்படிச் சொல்லலாம். x என்பது 17க்கு குறைவாக

அல்லது சமமாக இருக்கவேண்டும்.அதே நேரத்தில் -1க்கு

அதிகமாக அல்லது சமமாக இருக்க வேண்டும்.

இங்கு இரண்டு நிபந்தனைகளையும் திருப்திபடுத்த வேண்டும்.

இது எண்கோட்டில் எப்படி இருக்கும்?

நம் எண் கோட்டை இங்கு போடுவோம்.

இங்குள்ளது 17,

இது 18,

இப்பொழுது கீழ் எண்களுக்குப் போவோம்.

இது பூச்சியமாக இருக்கலாம்.

இடையில் சிலவற்றை விட்டுச் செல்கிறேன்.

எண் கோட்டில் எதிர்ம எண் இங்குள்ளது.

இது எதிர்ம 2 .

நமக்கு x இங்கு -1க்கு அதிகமாக அல்லது சமமாக உள்ளது.

ஆகவே,நாம் -1ல் இருந்து ஆரம்பிக்கலாம்.

எதிர்ம எண் 1ஐ வட்டமிடுகிறோம்.ஏனெனில் x இதை விட அதிகம்

அல்லது சமம் என்ற குறியீடு உள்ளது.

x இங்கு அதிகமாக இருக்கலாம் ஆனால்

17ஐ விட குறைந்தது அல்லது சமம்.

ஆகவே, இங்கு x 17க்குச் சமம் அல்லது அதற்குக் குறைந்தது.

இங்குள்ளது தீர்வு அமைப்பு,அனைத்துக்கும் ஆரஞ்

வண்ணம் கொடுத்துள்ளேன்.

இவைகளுக்கு இடைவெளி குறியீடு நாம் தர விரும்பினால்

-1 ≤ x ≤ 17 [ -1 , 17] -1ன்றிற்கும் 17க்கும் இடையில் x உள்ளது.

x இங்கு எதிர்ம ஒன்றுக்கும் சமமாக உள்ளது,17க்கும் சமமாக உள்ளது.

ஆகவே,இரண்டையும் அடைப்புக் குறிக்குள் எழுதியுள்ளோம்.

கலவை ஏற்றத்தாழ்வுகளை எழதும்பொழுது

இந்த இடைவெளி குறியீடுகள் வருகிறது.

இப்பொழுது வேறொன்றைச் செய்வோம்.

நல்ல வினாவை எடுத்துக் கொள்கிறேன்.

நம்மிடம் -12 உள்ளது.

நான் பார்த்த வினாவை கொஞ்சம்

மாற்றுகிறேன்.

-12என்பது 2-5x க்கு குறைந்ததாக உள்ளது

பிறகு அது 7க்கு குறைந்ததாக அல்லது சமமாக உள்ளது.-12 < 2 - 5x ≤ 7

இதில் குறைவாக மற்றும் குறைவாக அல்லது சமமாக

உள்ள ஒன்றை செய்ய விரும்புகிறேன்.

நான் புத்தகத்தில் பார்த்த வினாவில் சமமாக இருப்பதற்கான குறியீடு

இருந்தது.அதை நான் வேண்டுமென்றே நீக்கிச் செய்கிறேன்.

ஏனென்றால் இம்மாதிரியான கலப்பு நிலையில்

இரண்டையும் நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

ஆகவே,முதலில் நாம் இதை சாதாரண சமமின்மைகளாகப் பிரிப்போம்.

இப்பொழுது இந்த சமமின்மை உங்களிடம் உள்ளது.

-12 உங்களுக்கு 2 - 5x ஐ விடக் குறைவாக இருக்க வேண்டும்.

இந்தச் சமன்பாட்டை திருப்திபடுத்த வேண்டும்.

இதை வேறொரு வண்ணத்தில் செய்கிறேன்.

2 - 5x என்பது 7ஐ விட சிறியதாக மற்றும் 12ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும்.

≤7 மற்றும் > -12, ஆகவே,2- 5 xஎன்பது 7க்குக்

குறைவாக அல்லது சமமாக இருக்க வேண்டும்.

ஆகவே, ஒவ்வொன்றிற்கும் தீர்வு கண்டதுபோல் இதற்கும் காண்போம்.

இடதுபக்கம் 2ஐ எடுத்துவிடுவோம்.

எனவே, சமன்பாட்டில் ,இருபக்கங்களிலும் 2ஐக் கழிப்போம்.

-12 < 2 - 5x இதில் இருபக்கங்களிலும் 2ஐக் கழிக்கும்பொழுது

இடப்பக்கம் -14 ஆகிறது.2 - 5xல் 2 ரத்தாகி -5x மட்டும் உள்ளது.

-14 இங்கு -5x ஐவிடச் சிறியது.

இப்பொழுது இருபக்கங்களையும் 5 ஆல் வகுக்க வேண்டும்.

இதை நாம் ஞாபகத்தில் வைத்திருக்க வேண்டும்,நாம் எதிர்ம எண்ணால்

பெருக்கும்பொழுதோ அல்லது வகுக்கும்பொழுதோ சமமின்மை இடம் மாறும்.

இருபக்கங்களையும் -5ஆல் வகுக்க

-14/-5 மற்றும் வலதுபக்கம் x உள்ளது.

இப்பொழுது -5ஆல் வகுக்க

குறைந்த அடையாளம் அதிக அடையாளத்திற்கு மாறுகிறது.

எதிர்மங்கள் ரத்தாகி 14/5 இங்கு x ஐவிடஅதிகத்திற்கு வருகிறது.

அல்லது x இங்கு 14/5 ஐவிட குறைந்துபோகிறது. என்ன இது?

14/5 என்பது 2 மற்றும்4/5.

x இங்கு 2 மற்றும்4/5 க்குக் குறைந்தது.

இங்கு தகாபின்னத்தை கலப்பு எண்ணாக எழுதியுள்ளேன்.

இப்பொழுது அடுத்த நிபந்தனையைப் பார்ப்போம்.

இதை கருநீலத்தில் எழுதியுள்ளேன். 2 - 5x ≤ 7

நாம் முன்பு செய்ததுபோல் 2ஐ இருபக்கங்களில்

இருந்தும் கழிப்போம்.

உண்மையில் இதை ஒரே சமயத்தில் செய்யலாம்,

ஆனால் குழப்பத்தை உண்டாக்கும்.

கவனக்குறைவான தவறுகள் வரக்கூடாது என்பதற்காக

தனித்தனியாக பிரித்துச் செய்யும்படி உங்களை ஊக்குவிக்கிறேன்.

ஆகவே,2ஐ இருபக்கங்களில் இருந்தும் கழிக்கும்பொழுது

இடப்பக்கம் - 5xவருகிறது.

வலப்பக்கம் குறைந்த அல்லது சமமான இதற்கான அடையாளம் உள்ளது.

வலப்பக்கம் 7 - 2 என்பது 5 ஆகிறது.

இப்பொழுது இருபக்கங்களையும் -5ஆல் வகுப்போம்.

இடப்பக்கம் x மட்டும் உள்ளது.

5ஐ -5ந்தால் வகுக்கும்பொழுது

-1 கிடைக்கிறது.

எதிர்ம எண் கொண்டு வகுப்பதால்

சமமின்மை இடமாறுகிறது.

≤ இந்த மதிப்பில் இருந்து

≥ இந்த மதிப்பிற்கு மாறுகிறது.

எனவே நமக்கு 2 நிபந்தனைகள் உள்ளன.

x இங்கு 2 மற்றும்4/5 க்குக் குறைவாக இருக்க வேண்டும்,

மற்றும் -1க்கு அதிகமாக அல்லது சமமாக இருக்க வேண்டும்.

ஆகவே,இதை இப்படி எழுதலாம். -1 ≤ x ≤ 2 ,4/5 .

இங்கு -1க்கு அதிகமாக அல்லது சமமாக இருக்க வேண்டும்.

எனவே நம் இடைவெளியின் குறைந்த எல்லை இதுதான்,

மற்றும் 2,4/5 க்கு குறைந்ததாக இருக்க வேண்டும்.

குறைந்த அல்லது சமமான அடையாளங்களைக் கவனியுங்கள்.

அதனால்தான் அடைப்புக்குறிக்குள் எழுதினேன்.

2 மற்றும் 4/5 க்கு x சமமாகாது.

2 மற்றும் 4/5 க்கு x குறைவாகத்தான் இருக்க வேண்டும்.

அல்லது நாம் இதை இப்படி எழுதலாம்.

x ≤ 2,4/5 இந்த சமமின்மை

இடம் மாறுகிறது, மற்றும் -1க்கு

அதிகமாகவோ சமமாகவோ இருக்கவேண்டும்.

ஆகவே,இந்த இரு அறிக்கைகளும் சமமதிப்புள்ளவை.

இதை நான் எண் கோட்டில்

போட்டால் இப்படித் தோன்றும்.

எனவே,உங்களுக்கு -1 மற்றும் 2,4/5 எண்கோட்டில் இங்குள்ளது.

இரண்டிற்கும் இடையில் உங்களுக்கு வேண்டிய எண்மதிப்புகள் உள்ளன.

பூச்சியம் இங்குள்ளது என்று உங்களுக்குத் தெரியும்.

x நமக்கு அதிகமாக அல்லது சமமாக -1க்கு இருக்க வேண்டும்.

x நமக்கு -1க்கு சமமாகவும் இருக்கலாம்.

அல்லது x நமக்கு -1க்கு அதிகமாகவும் இருக்கலாம்

அதே சமயத்தில் x நமக்கு 2,4/5க்குக் குறைவாக இருக்க வேண்டும்.

ஆகவே,2,4/5 ஐ இதில் சேர்க்க முடியாது.

x இங்கு2,4/5 க்கு சமமாக இல்லை.x இங்கு 2,4/5 க்குகுறைவாகத்தான் உள்ளது.

ஆகவே2,4/5 ஐச் சுற்றி வெற்று வட்டத்தைப் போடுகிறோம்.

பிறகு எதிர்ம 1வரை நிரப்புவோம்.

எதிர்ம 1ஐ சேர்த்துக் கொள்வோம்.ஏனெனில் நமக்கு குறைந்த அல்லது

சமமான என்பதற்கான அடையாளம் உள்ளது.

இறுதியாகச் செய்த இரு வினாக்களும் "மற்றும்" வினாக்கள் இருந்தது.

இரு நிபந்தனைகளையும் எதிர்கொள்ள வேண்டும்.

இங்கு இதைச் செய்வோம் அல்லது ஒரு வினாவிற்குத் தீர்வு காண்போம்..

என்னிடம் இந்த சமமின்மைகள் உள்ளன.

எனக்குக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்னவென்றால் 4x - 1

7க்கு அதிகமாக அல்லது சமமாக இருக்க வேண்டும் அல்லது 9x /2

3ன்றுக்குக் குறைவாக இருக்க வேண்டும்.4x - 1 ≥ 7 அல்லது 9x/2 <3

ஆகவே நாம் அல்லது என்பதை ஏன் பயன்படுத்துகிறோம் என்றால்

x இங்கு ஏதாவதொரு சமன்பாட்டை நிவர்த்தி செய்யவேண்டும்.

கடந்த காணொளியில் அல்லது கடைசி வினாக்களில்

x இரண்டு சமன்பாடுகளையும் திருப்திபடுத்துவதாகப் பார்த்தோம்.

நிபந்தனை இங்கு தளர்த்தப்பட்டுள்ளது.

இரண்டில் ஒன்றை திருப்தி செய்தால் போதும்.

ஆகவே இரண்டிற்குமே தீர்வு என்னவென்று கணக்கிடுவோம்.

பிறகு அதனிடையே உள்ள ஒற்றுமையைப் பார்ப்போம்.

அவைகளின் சேர்க்கை எல்லாம் சேர்ந்து

இவற்றில் ஒன்றை திருப்திசெய்யும்.

இடதுபக்கம் இரண்டுபக்கங்களிலும்

1ஐக் கூட்டுவோம்.

1 இருபக்கங்களிலும் சேருகிறது.

இடப்பக்கம் 4x என்பது 7 கூட்டல் 1=8க்கு

அதிகமாகிறது அல்லது சமமாகிறது.

இருபக்கங்களையும் 4ன்கால் வகுப்போம்.

x என்பது 2க்கு அதிகமாகிறது அல்லது சமமாகிறது.

அல்லது இதைச் செய்வோம்.

இந்தச் சமன்பாட்டில் இருபக்கங்களையும் 2/9 ஆல் பெருக்குவோம்.

நமக்கு அப்பொழுது என்ன கிடைக்கும்?

2/9 இங்கு நேர்ம எண்ணாக இருப்பதால் நாம் இந்த சமமின்மையில் எந்த

மாற்றத்தையும் செய்யத்தேவையில்லை.

இவைகள் ரத்தாகி x என்பது 3 பெருக்கல்2/9 க்கு குறைவானதாகிறது.

3/9 என்பதும்1/3 என்பதும் ஒன்றே.

x இங்கு2/3 ஐவிட குறைவாக இருக்க வேண்டும்.

x < 2/3.

இது நம் தீர்வு அமைப்பு.

x இங்கு 2க்கு அதிகமாக அல்லது சமமாக இருக்க வேண்டும்,அல்லது

2/3க்குக் குறைவாக இருக்க வேண்டும்.சுவாரஸ்யமாக உள்ளது.

தீர்வை எண்கோட்டின் மீது குறிக்கிறேன்.

இது நமது எண் கோடு.

இது பூச்சியம், இது 1 , இது 2, இது 3

இங்குள்ளது -1

ஆகவே x இங்கு 2ஐவிட அதிகமாக அல்லது சமமாக இருக்க முடியும்.

இதற்கு வேறொரு வண்ணம் கொடுத்து ஆரம்பிப்போம்.

2ல் ஆரம்பிப்போம்.இது 2க்கு அதிகமாக அல்லது சமமாக இருக்க வேண்டும்.

2க்கு அதிகமாக அல்லது சமமாக இருப்பவைகளை இதில் சேர்ப்போம்.

இதுதான் இங்கு நிபந்தனை.

அல்லது x இங்கு 2/3க்குக் குறைவாக இருக்க வேண்டும்.

எண்கோட்டில் இங்குள்ளது.சரியா?

இதுதான் 2/3.

x இங்கு 2/3க்குக் குறைவாக இருக்க வேண்டும்.

இதுவும் சுவாரஸ்யமாக உள்ளது.

ஏனெனில் இதனுள் உள்ள எண்கள் எதை எடுத்தாலும்

இந்த சமமின்மையை திருப்திபடுத்தும்.

இதனுள் உள்ள ஒரு எண்ணை எடுத்து சரிபார்த்தால்

அது சமமின்மையை திருப்திசெய்யும்.

இங்கு" மற்றும்" என்று இருந்தால்

இதை நிறைவு செய்ய எந்த எண்களும் இருக்காது,ஏனென்றால் 2க்கு அதிகமாகவும்

2/3 க்குக் குறைவாகவும் இருக்கமுடியாது

ஆகவே தீர்வுத் தொகுதியில் "அல்லது" என்று மட்டும் இருக்க

வேண்டும்.அப்பொழுதுதான் இரண்டு சமமின்மைகளில்

ஒன்றையாவது திருப்திபடுத்த முடியும்.

இது உங்களுக்கு சுவாரஸ்யமாக இருந்திருக்கும் என நம்புகிறேன்.