Algebra liniowa: przykład znajdowania wartości własnych macierzy 2 na 2

Przykład znajdowania wartości własnych macierzy 2 na 2

.

W poprzednim filmie pokazaliśmy, że jeżeli liczba lambda

spełnia to równanie dla jakichś niezerowych wektorów v,

to wyznacznik z lambda razy macierz jednostkowa

odjąć A musi się rónwać 0.

Albo możemy przepisać to, stwierdzając, że lambda jest wartością własną

macierzy A, wtedy i tylko wtedy gdy,

wyznacznik z lambda razy macierz jednostkowa odjąć A

jest równe 0.

Zobaczmy teraz, czy możemy wykorzystać ten fakt do znalezienia

wartości włashych w jakimś konkretnym przypadku.

Zróbmy więc prosty przykład 2 na 2, zróbmy R2.

Powiedzmy, że A jest równe macierzy 1, 2 i 4, 3.

I chcę znaleść wartości własne macierzy A.

A więc jeśli lambda jest wartością własną macierzy A, to wtedy ta własność

mówi nam, że wyznacznik z lambda razy macierz jednostkowa,

czyli to będzie macierz jednostkowa w R2.

Czyli lambda razy 1, 0, 0, 1, odjąć A, 1, 2, 4, 3

ma być równe 0.

A czemu to jest równe?

To tutaj to jest wyznacznik.

Lambda razy to oznacza lambda pomnożone przez wszystkie te składowe.

A więc lambda razy 1 daje lambda, lambda razy 0 daje 0,

lambda razy 0 daje 0, lambda razy 1 daje lambda.

I od tego odejmujemy A.

Czyli dostajemy 1, 2, 4, 3 i to ma się równać 0.

A potem ta macierz, albo ta różnica macierzy,

to jest żeby pamiętać o wyznaczniku.

To jest wyznacznik.

Pierwszy element macierzy będzie równy lambda odjąć 1.

Drugi jest równy 0 odjąć 2, czyli minus 2.

Trzeci jest równy 0 odjąć 4, czyli minus 4.

I wreszcie czwarty element, jest po prostu równy

lambda odjąć 3.

Powtarzam w skócie co się stało.

Elementy na diagonali -- przede wszyskim

wszędzie zmieniliśmy znak, prawda?

Zmieniliśmy wszędzie znak.

A elementom na diagonali przybyła

lambda na początku.

To był produkt uboczny tego

wyrażenia tutaj.

Czyli ile wynosi wyznacznik tej macierzy 2 na 2?

No cóż wyznacznik tego jest po prostu równy temu razy to,

odjąć to razy tamto.

Czyli mamy lambda odjąć 1, razy lambda odjąć 3,

odjąć iloczyn tych dwóch kolesi.

Czyli minus 2 razy minus 4 daje plus 8, czyli odejmujemy 8.

To jest wyznacznik tej macierzy tutaj, albo

tej macierzy tutaj, która sprowadza się do tej macierzy.

I to musi być równe 0.

Powodem dla którego to ma być równe 0, jest fakt

który widzieliśmy wcześniej, że ta macierz

ma nietrywialne jądro.

A ponieważ ma nietrywialne jądro,

nie może być odwracalna i jej wyznacznik

musi być równy 0.

Czyli teraz mamy tutaj ciekawe

równanie wielomianowe.

Możemy to wymnożyć.

Co dastaniemy?

Pomnóżmy to.

Dostajemy lambda kwadrat, odjąć 3 lambda, odjąć lambda,

dodać 3, odjąć 8, równa się 0.

Albo lambda kwadrat, odjąć 4 lambda,

odjąć 5, równa się 0.

I jeżeli chcecie znać terminologię

to wyrażenie tutaj nazywa się

wielomianem charakterystycznym.

wielomianem charakterystycznym.

Trochę terminologii: wielomian charakterystyczny.

Ale jeżeli chcemy znaleść wartości własne macierzy A, musimy

rozwiązać to równanie tutaj.

To jest zwykłe równanie kwadratowe.

Łatwo znaleźć rozkład na czynniki.

Zastanówny się: dwie liczby, których iloczyn jest minus 5,

a suma jest równa minus 4.

Rozwiązaniem jest minus 5 i plus 1, czyli mamy lambda odjąć 5

razu lambda dodać 1, równa się 0, zgadza się?

Minus 5 razy 1 daje minus 5, a minus 5 dodać 1 lambda

równa się minus 4 lambda.

Czyli dwa rozwiązania naszego równania charakterystycznego,

pierwiastki wielomianiu charakterystycznego to

lambda równe 5 lub lambda równe minus 1.

Czyli korzystając po prostu z własności, którą udowodniliśmy

w poprzednim filmie, byliśmy w stanie obliczyć,

że dwie wartości własne macierzy A, to labda równe 5

i lambda równe minus 1.

No ale to jest tylko rozwiązanie części problemu, prawda?

Wiemy, że szukamy wartości własnych

i wektorów własnych, prawda?

Wiemy, że to równanie jest spełnione przez lambdy

równe 5 albo minus 1.

Czyli znamy wartości własne, ale musimy teraz znaleźć

wektory własne.

Tym zajmiemy się w następnym filmie.

Tym zajmiemy się w następnym filmie.