1 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 . 2 00:00:00,000 --> 00:00:03,630 W poprzednim filmie pokazaliśmy, że jeżeli liczba lambda 3 00:00:03,630 --> 00:00:09,910 spełnia to równanie dla jakichś niezerowych wektorów v, 4 00:00:09,910 --> 00:00:13,510 to wyznacznik z lambda razy macierz jednostkowa 5 00:00:13,510 --> 00:00:15,560 odjąć A musi się rónwać 0. 6 00:00:15,560 --> 00:00:24,620 Albo możemy przepisać to, stwierdzając, że lambda jest wartością własną 7 00:00:24,620 --> 00:00:31,780 macierzy A, wtedy i tylko wtedy gdy, 8 00:00:31,780 --> 00:00:37,250 wyznacznik z lambda razy macierz jednostkowa odjąć A 9 00:00:37,250 --> 00:00:39,860 jest równe 0. 10 00:00:39,860 --> 00:00:42,230 Zobaczmy teraz, czy możemy wykorzystać ten fakt do znalezienia 11 00:00:42,230 --> 00:00:45,690 wartości włashych w jakimś konkretnym przypadku. 12 00:00:45,690 --> 00:00:48,880 Zróbmy więc prosty przykład 2 na 2, zróbmy R2. 13 00:00:48,880 --> 00:00:58,000 Powiedzmy, że A jest równe macierzy 1, 2 i 4, 3. 14 00:00:58,000 --> 00:01:01,790 I chcę znaleść wartości własne macierzy A. 15 00:01:01,790 --> 00:01:11,610 A więc jeśli lambda jest wartością własną macierzy A, to wtedy ta własność 16 00:01:11,610 --> 00:01:16,330 mówi nam, że wyznacznik z lambda razy macierz jednostkowa, 17 00:01:16,330 --> 00:01:20,140 czyli to będzie macierz jednostkowa w R2. 18 00:01:20,140 --> 00:01:29,230 Czyli lambda razy 1, 0, 0, 1, odjąć A, 1, 2, 4, 3 19 00:01:29,230 --> 00:01:30,320 ma być równe 0. 20 00:01:30,320 --> 00:01:32,510 A czemu to jest równe? 21 00:01:32,510 --> 00:01:36,170 To tutaj to jest wyznacznik. 22 00:01:36,170 --> 00:01:39,740 Lambda razy to oznacza lambda pomnożone przez wszystkie te składowe. 23 00:01:39,740 --> 00:01:42,790 A więc lambda razy 1 daje lambda, lambda razy 0 daje 0, 24 00:01:42,790 --> 00:01:47,260 lambda razy 0 daje 0, lambda razy 1 daje lambda. 25 00:01:47,260 --> 00:01:49,910 I od tego odejmujemy A. 26 00:01:49,910 --> 00:01:56,130 Czyli dostajemy 1, 2, 4, 3 i to ma się równać 0. 27 00:01:56,130 --> 00:01:58,820 A potem ta macierz, albo ta różnica macierzy, 28 00:01:58,820 --> 00:02:00,580 to jest żeby pamiętać o wyznaczniku. 29 00:02:00,580 --> 00:02:03,360 To jest wyznacznik. 30 00:02:03,360 --> 00:02:06,670 Pierwszy element macierzy będzie równy lambda odjąć 1. 31 00:02:06,670 --> 00:02:11,540 Drugi jest równy 0 odjąć 2, czyli minus 2. 32 00:02:11,540 --> 00:02:15,570 Trzeci jest równy 0 odjąć 4, czyli minus 4. 33 00:02:15,570 --> 00:02:18,310 I wreszcie czwarty element, jest po prostu równy 34 00:02:18,310 --> 00:02:23,310 lambda odjąć 3. 35 00:02:23,310 --> 00:02:25,620 Powtarzam w skócie co się stało. 36 00:02:25,620 --> 00:02:29,560 Elementy na diagonali -- przede wszyskim 37 00:02:29,560 --> 00:02:30,550 wszędzie zmieniliśmy znak, prawda? 38 00:02:30,550 --> 00:02:31,700 Zmieniliśmy wszędzie znak. 39 00:02:31,700 --> 00:02:33,350 A elementom na diagonali przybyła 40 00:02:33,350 --> 00:02:34,260 lambda na początku. 41 00:02:34,260 --> 00:02:37,930 To był produkt uboczny tego 42 00:02:37,930 --> 00:02:38,900 wyrażenia tutaj. 43 00:02:38,900 --> 00:02:41,990 Czyli ile wynosi wyznacznik tej macierzy 2 na 2? 44 00:02:41,990 --> 00:02:45,950 No cóż wyznacznik tego jest po prostu równy temu razy to, 45 00:02:45,950 --> 00:02:46,940 odjąć to razy tamto. 46 00:02:46,940 --> 00:02:58,260 Czyli mamy lambda odjąć 1, razy lambda odjąć 3, 47 00:02:58,260 --> 00:03:00,170 odjąć iloczyn tych dwóch kolesi. 48 00:03:00,170 --> 00:03:04,480 Czyli minus 2 razy minus 4 daje plus 8, czyli odejmujemy 8. 49 00:03:04,480 --> 00:03:09,470 To jest wyznacznik tej macierzy tutaj, albo 50 00:03:09,470 --> 00:03:12,920 tej macierzy tutaj, która sprowadza się do tej macierzy. 51 00:03:12,920 --> 00:03:17,510 I to musi być równe 0. 52 00:03:17,510 --> 00:03:20,180 Powodem dla którego to ma być równe 0, jest fakt 53 00:03:20,180 --> 00:03:22,810 który widzieliśmy wcześniej, że ta macierz 54 00:03:22,810 --> 00:03:24,615 ma nietrywialne jądro. 55 00:03:24,615 --> 00:03:27,860 A ponieważ ma nietrywialne jądro, 56 00:03:27,860 --> 00:03:29,790 nie może być odwracalna i jej wyznacznik 57 00:03:29,790 --> 00:03:31,530 musi być równy 0. 58 00:03:31,530 --> 00:03:33,160 Czyli teraz mamy tutaj ciekawe 59 00:03:33,160 --> 00:03:33,880 równanie wielomianowe. 60 00:03:33,880 --> 00:03:36,030 Możemy to wymnożyć. 61 00:03:36,030 --> 00:03:37,030 Co dastaniemy? 62 00:03:37,030 --> 00:03:37,960 Pomnóżmy to. 63 00:03:37,960 --> 00:03:46,280 Dostajemy lambda kwadrat, odjąć 3 lambda, odjąć lambda, 64 00:03:46,280 --> 00:03:50,880 dodać 3, odjąć 8, równa się 0. 65 00:03:50,880 --> 00:04:00,330 Albo lambda kwadrat, odjąć 4 lambda, 66 00:04:00,330 --> 00:04:04,710 odjąć 5, równa się 0. 67 00:04:04,710 --> 00:04:09,600 I jeżeli chcecie znać terminologię 68 00:04:09,600 --> 00:04:12,520 to wyrażenie tutaj nazywa się 69 00:04:12,520 --> 00:04:13,770 wielomianem charakterystycznym. 70 00:04:13,770 --> 00:04:19,100 wielomianem charakterystycznym. 71 00:04:19,100 --> 00:04:21,860 Trochę terminologii: wielomian charakterystyczny. 72 00:04:21,860 --> 00:04:24,430 Ale jeżeli chcemy znaleść wartości własne macierzy A, musimy 73 00:04:24,430 --> 00:04:25,775 rozwiązać to równanie tutaj. 74 00:04:25,775 --> 00:04:28,310 To jest zwykłe równanie kwadratowe. 75 00:04:28,310 --> 00:04:29,600 Łatwo znaleźć rozkład na czynniki. 76 00:04:29,600 --> 00:04:32,180 Zastanówny się: dwie liczby, których iloczyn jest minus 5, 77 00:04:32,180 --> 00:04:34,250 a suma jest równa minus 4. 78 00:04:34,250 --> 00:04:39,760 Rozwiązaniem jest minus 5 i plus 1, czyli mamy lambda odjąć 5 79 00:04:39,760 --> 00:04:42,580 razu lambda dodać 1, równa się 0, zgadza się? 80 00:04:42,580 --> 00:04:47,190 Minus 5 razy 1 daje minus 5, a minus 5 dodać 1 lambda 81 00:04:47,190 --> 00:04:50,260 równa się minus 4 lambda. 82 00:04:50,260 --> 00:04:52,970 Czyli dwa rozwiązania naszego równania charakterystycznego, 83 00:04:52,970 --> 00:04:56,740 pierwiastki wielomianiu charakterystycznego to 84 00:04:56,740 --> 00:05:02,090 lambda równe 5 lub lambda równe minus 1. 85 00:05:02,090 --> 00:05:05,240 Czyli korzystając po prostu z własności, którą udowodniliśmy 86 00:05:05,240 --> 00:05:07,970 w poprzednim filmie, byliśmy w stanie obliczyć, 87 00:05:07,970 --> 00:05:15,610 że dwie wartości własne macierzy A, to labda równe 5 88 00:05:15,610 --> 00:05:17,320 i lambda równe minus 1. 89 00:05:17,320 --> 00:05:19,500 No ale to jest tylko rozwiązanie części problemu, prawda? 90 00:05:19,500 --> 00:05:22,570 Wiemy, że szukamy wartości własnych 91 00:05:22,570 --> 00:05:24,800 i wektorów własnych, prawda? 92 00:05:24,800 --> 00:05:28,660 Wiemy, że to równanie jest spełnione przez lambdy 93 00:05:28,660 --> 00:05:30,700 równe 5 albo minus 1. 94 00:05:30,700 --> 00:05:33,630 Czyli znamy wartości własne, ale musimy teraz znaleźć 95 00:05:33,630 --> 00:05:35,610 wektory własne. 96 00:05:35,610 --> 00:05:37,660 Tym zajmiemy się w następnym filmie. 97 00:05:37,660 --> 00:05:38,910 Tym zajmiemy się w następnym filmie.