-
Viimases videos näitasime, et iga λ, mis
-
rahuldab võrrandit nulliga mitte võrduva vektori V korral, siis
-
determinant λ korda ühikmaatriks
-
miinus A-st, peab võrduma nulliga.
-
Võime ka kirjutada nii, et λ on A sisemine väärtus
-
juhul kui -
-
determinant λ korda ühikmaatriks miinus A-st,
-
on võrdne nulliga.
-
Vaatame, kas seda saab kasutada
-
konkreetsel viisil leidmaks sisemisi väärtuseid.
-
Teeme lihtsa 2x2 maatriksi.
-
Ütleme, et A on võrdne maatriksiga 1, 2, 4 ja 3.
-
Ma soovin leida A sisemised väärtused.
-
Kui λ on A sisemine väärtus, siis
-
see ütleb, et determinant λ korda ühikmaatriksist,
-
seega see on ühikmaatriks siin R2-es.
-
Seega λ x (1, 0, 0, 1) - A ( 1, 2, 4, 3) = 0
-
Seega λ x (1, 0, 0, 1) - A ( 1, 2, 4, 3) = 0
-
Millega see võrdub?
-
See siin on determinant.
-
λ korda determinant on λ korda kõik need
-
väärtused. Seega λ x 1 = λ, λ x 0 = 0,
-
λ x 0 = 0, λ x 1 = λ
-
Ja sellest lahutame A.
-
Järele jääb 1, 2, 4, 3 , mis peab võrduma nulliga.
-
Ja see maatriks või maatriksite erinevus
-
on selleks, et determinant alles jätta.
-
See on determinant...
-
Esimene on λ - 1
-
Teine on 0 - 2, ehk lihtsalt -2.
-
Kolmas on 0 - 4, ehk lihtsalt -4.
-
Ja neljas on λ - 3
-
Ja neljas on λ - 3
-
Kerge lühiülevaade sellest, mis juhtus.
-
diagonaalväärtused, kõik muutusid negatiivseks.
-
diagonaalväärtused, kõik muutusid negatiivseks.
-
Me muutsime kõik negatiivseks.
-
Ja välimiste diagonaalide väärtustel, tõime
-
λ ette.
-
See on põhimõtteliselt jääkväärtus sellest tehtest.
-
See on põhimõtteliselt jääkväärtus sellest tehtest.
-
Mis on selle 2x2 maatrikis determinandiks?
-
Determinant on (λ - 1)x(λ-3) - (-4)x(-2)
-
Determinant on (λ - 1)x(λ-3) - (-4)x(-2)
-
Seega (λ -1)x(λ-3) lahutada
-
nende arvude korrutis.
-
-2x-4 = 8, seega tuleb lahutada 8.
-
See on selle maatriksi determinandiks või
-
või ka selle, mis on lihtsustab seda maatriksit.
-
Ja see peab võrduma nulliga.
-
Põhjus miks see peab võrduma nulliga
-
on see, et me teame, et sellel maatriksil on
-
mitte-triviaalne tühiruum.
-
Ja see tõttu, ei saa
-
seda pöörata ja determinant peab võrduma nulliga.
-
seda pöörata ja determinant peab võrduma nulliga.
-
Meil on siin huvitav polünoomiaalne võrdus nüüd.
-
Meil on siin huvitav polünoomiaalne võrdus nüüd.
-
Võime selle lahti korrutada.
-
Saame mille?
-
Korrutame selle lahti.
-
Saame λ x λ - 3λ - λ + 3 - 8 = 0
-
Saame λ x λ - 3λ - λ + 3 - 8 = 0
-
Ehk λ(ruudus) - 4λ - 5 = 0
-
Ehk λ(ruudus) - 4λ - 5 = 0
-
Kui soovite selgust terminoloogias, siis see
-
pool võrduses on iseloomulik polünoom.
-
pool võrduses on iseloomulik polünoom.
-
Lihtsalt natuke terminoloogiat, polünoom.
-
Kui aga soovime leida A sisemised väärtused, siis
-
peame selle lahendama.
-
See on taandatud ruutvõrrand
-
Ja seda on võimalik tegurdada Viete teoreemi järgi.
-
kaks numbrit ja vabaliige on -5
-
Liites need saame -4.
-
-5 ja 1, see teeb (λ - 5)(λ+1) = 0
-
-5 ja 1, see teeb (λ - 5)(λ+1) = 0
-
(-5)x1 = -5λ + λ = -4λ
-
(-5)x1 = -5λ + λ = -4λ
-
Seega vastused sellele võrrandile on
-
Seega vastused sellele võrrandile on
-
λ = 5 või λ = -1
-
Kasutades teadmisi, mille saime eelmisest videost,
-
saame, et A sisemised väärtused on λ = 5 ja λ = -1
-
saame, et A sisemised väärtused on λ = 5 ja λ = -1
-
saame, et A sisemised väärtused on λ = 5 ja λ = -1
-
See on ainult üks osa lahendusest.
-
Me otsisime sisemisi väärtuseid ja sisemisi vektoreid, õigus?
-
Me otsisime sisemisi väärtuseid ja sisemisi vektoreid, õigus?
-
Teame, et võrrandi lahendid on λ = 5 ja -1.
-
Teame, et võrrandi lahendid on λ = 5 ja -1.
-
Seega, me teame sisemisi väärtuseid, aga veel on vaja
-
leida iseloomulikud vektorid
-
Sellega tegeleme juba järgmises videos.
