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En el ultimo video pudimos ver que cualquier lambda
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que satisface esta ecuacion para algunos vectores mayores que cero, V, entonces
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el determinante de lambda multiplicado por la matriz identidad
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menos A, debe ser igual a 0.
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O si pudieramos reescribir esto como diciendo que lambda es un autovalor (valor propio)
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de A si, y solo si--Lo escribire como si-- el
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determinante de lambda multiplicado por la matriz identidad menos A es
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igual a 0.
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Ahora, vamos a ver si podemos realmente usar esto en cuaquier forma
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concreta para encontrar autovalores.
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Asi que vamos a hacer un simple 2 por 2, hagamos un R2
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Digamos que A es igual a la matriz 1, 2, y 4, 3.
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y quiero encontrar el autovalor de A.
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Asi, si lambda es un autovalor de A, entonces justo aqui esto
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nos dice que el determinante de lambda multiplicado por la matriz identidad,
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tambien va a ser la matriz identidad en R2.
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Por lo tanto lambda multiplicada por 1,0,0,1, menos A, 1,2,4,3, va a
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ser igual a 0.
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Bueno, Que resultado nos da esto?
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Esto que tenemos aqui es la determinante.
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Lambda multiplicado por esto es solo lambda multiplicado por todos estos
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terminos. Asi tenemos que lambda multiplicada por 1 es lambda, lambda multiplicada por 0 es 0,
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lambda multiplicada por 0 es 0, lambda multiplicada por 1 es lambda.
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Y de eso vamos a restar A.
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Asi tenemos 1,2,4,3, y esto tiene que ser igual a 0.
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Y entonces esta matriz, o esta diferencia de matrices,
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es solo para mantener la determinante.
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Esta es la determinante de las demas.
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Este primer termino va a ser lambda menos 1.
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El segundo termino es 0 menos 2, nos queda menos 2.
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El tercer termino es 0 menos 4, asi nos queda menos 4.
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Y entonces el cuarto termino es lambda menos
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3, justo asi.
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Es como un atajo para ver que paso.
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Los terminos a lo largo de la diagonal, bueno todo se convirtio en
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negativo, verdad?
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Convertimos todo en negativo.
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Y entonces los terminos alrededor de la diagonal, obtuvimos
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una lambda enfrente.
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Eso fue esencialmente el subproducto de esta expresion.
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justo aqui.
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Asi que cual es la determinante de esta matriz de 2 por 2?
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Bueno, la determinante de esto es solo esto multiplicado por aquello menos
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esto multiplicado por eso.
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Asi es lambda menos 1, multiplicado por lambda menos 3, menos estos
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dos amigos multiplicados uno por otro.
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Asi tenemos que menos 2 multiplicado por menos 4 es ocho positivo, menos 8.
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Esto es la determinante de esta matriz justo aqui o
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esta matriz justo aqui, la cual simplifico a esa matriz.
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Y esto tiene que ser igual a 0.
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Y la razon por la que tiene que ser igual a 0 es
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porque antes vimos que esta matriz tiene un
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espacio nulo no trivial.
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Y porque tiene un espacio nulo no trivial,
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no puede ser invetible y su determinante tiene
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que ser igual a 0.
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Asi que ahora tenemos una interesante ecuacion de polinomio
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justo aqui.
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La podemos multiplicar.
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Que obtenemos?
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Vamos a multiplicarla.
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Obtenemos lambda cuadrada, correcto, menos 3 lambda, menos lambda,
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mas 3, menos 8, es igual a 0.
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O lambda cuadrada, menos 4 lambda, menos
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5, es igual a 0.
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Y en caso de que quieras saber alguna terminologia, esta
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expresion justo aqui es conocida como la caracteristica
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polinomial.
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Solo un poco de terminologia, polinomial.
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Pero si queremos encontrar el autovalor de A, solo
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tenemos que resolver esto justo aqui.
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Este es solo un problema cuadratico basico.
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Y de hecho se puede factorizar.
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Veamos, dos numeros y si tomas el producto es menos 5,
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cuando los sumas para obtener menos 4.
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Es menos 5 y mas 1, asi obtenemos lambda menos 5, multiplicado
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por lambda mas 1, es igual a 0, correcto?
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Menos 5 multiplicado por 1 es menos 5, y entonces menos 5 lambda mas 1
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lambda es igual a menos 4 lambda.
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Asi las dos soluciones de nuestra ecuacion caracteristica se establece
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a 0, nuestro polinomio caracteristico, son lambda es
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igual a 5 o lambda es igual a menos 1.
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Asi nomas, usando la informacion que demostramos
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en el ultimo video, podemos comprender que
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los dos autovalores de A son lambda es igual a 5 y lambda
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es igual a 1 negativo.
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Ahora que esto solo resuelve parte del problema, verdad?
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Sabemos que estamos buscando autovalores y
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autovectores, verdad?
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Sabemos que esta ecuacion puede satisfacerse con las lambdad
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con resultados 5 o menos 1.
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Asi que sabemos los autovalores, pero todavia tenemos que determinar los
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autovectores reales.
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Asi que eso es lo que vamos a hacer en el proximo video.
