En el ultimo video pudimos ver que cualquier lambda que satisface esta ecuacion para algunos vectores mayores que cero, V, entonces el determinante de lambda multiplicado por la matriz identidad menos A, debe ser igual a 0. O si pudieramos reescribir esto como diciendo que lambda es un autovalor (valor propio) de A si, y solo si--Lo escribire como si-- el determinante de lambda multiplicado por la matriz identidad menos A es igual a 0. Ahora, vamos a ver si podemos realmente usar esto en cuaquier forma concreta para encontrar autovalores. Asi que vamos a hacer un simple 2 por 2, hagamos un R2 Digamos que A es igual a la matriz 1, 2, y 4, 3. y quiero encontrar el autovalor de A. Asi, si lambda es un autovalor de A, entonces justo aqui esto nos dice que el determinante de lambda multiplicado por la matriz identidad, tambien va a ser la matriz identidad en R2. Por lo tanto lambda multiplicada por 1,0,0,1, menos A, 1,2,4,3, va a ser igual a 0. Bueno, Que resultado nos da esto? Esto que tenemos aqui es la determinante. Lambda multiplicado por esto es solo lambda multiplicado por todos estos terminos. Asi tenemos que lambda multiplicada por 1 es lambda, lambda multiplicada por 0 es 0, lambda multiplicada por 0 es 0, lambda multiplicada por 1 es lambda. Y de eso vamos a restar A. Asi tenemos 1,2,4,3, y esto tiene que ser igual a 0. Y entonces esta matriz, o esta diferencia de matrices, es solo para mantener la determinante. Esta es la determinante de las demas. Este primer termino va a ser lambda menos 1. El segundo termino es 0 menos 2, nos queda menos 2. El tercer termino es 0 menos 4, asi nos queda menos 4. Y entonces el cuarto termino es lambda menos 3, justo asi. Es como un atajo para ver que paso. Los terminos a lo largo de la diagonal, bueno todo se convirtio en negativo, verdad? Convertimos todo en negativo. Y entonces los terminos alrededor de la diagonal, obtuvimos una lambda enfrente. Eso fue esencialmente el subproducto de esta expresion. justo aqui. Asi que cual es la determinante de esta matriz de 2 por 2? Bueno, la determinante de esto es solo esto multiplicado por aquello menos esto multiplicado por eso. Asi es lambda menos 1, multiplicado por lambda menos 3, menos estos dos amigos multiplicados uno por otro. Asi tenemos que menos 2 multiplicado por menos 4 es ocho positivo, menos 8. Esto es la determinante de esta matriz justo aqui o esta matriz justo aqui, la cual simplifico a esa matriz. Y esto tiene que ser igual a 0. Y la razon por la que tiene que ser igual a 0 es porque antes vimos que esta matriz tiene un espacio nulo no trivial. Y porque tiene un espacio nulo no trivial, no puede ser invetible y su determinante tiene que ser igual a 0. Asi que ahora tenemos una interesante ecuacion de polinomio justo aqui. La podemos multiplicar. Que obtenemos? Vamos a multiplicarla. Obtenemos lambda cuadrada, correcto, menos 3 lambda, menos lambda, mas 3, menos 8, es igual a 0. O lambda cuadrada, menos 4 lambda, menos 5, es igual a 0. Y en caso de que quieras saber alguna terminologia, esta expresion justo aqui es conocida como la caracteristica polinomial. Solo un poco de terminologia, polinomial. Pero si queremos encontrar el autovalor de A, solo tenemos que resolver esto justo aqui. Este es solo un problema cuadratico basico. Y de hecho se puede factorizar. Veamos, dos numeros y si tomas el producto es menos 5, cuando los sumas para obtener menos 4. Es menos 5 y mas 1, asi obtenemos lambda menos 5, multiplicado por lambda mas 1, es igual a 0, correcto? Menos 5 multiplicado por 1 es menos 5, y entonces menos 5 lambda mas 1 lambda es igual a menos 4 lambda. Asi las dos soluciones de nuestra ecuacion caracteristica se establece a 0, nuestro polinomio caracteristico, son lambda es igual a 5 o lambda es igual a menos 1. Asi nomas, usando la informacion que demostramos en el ultimo video, podemos comprender que los dos autovalores de A son lambda es igual a 5 y lambda es igual a 1 negativo. Ahora que esto solo resuelve parte del problema, verdad? Sabemos que estamos buscando autovalores y autovectores, verdad? Sabemos que esta ecuacion puede satisfacerse con las lambdad con resultados 5 o menos 1. Asi que sabemos los autovalores, pero todavia tenemos que determinar los autovectores reales. Asi que eso es lo que vamos a hacer en el proximo video.