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什麼是芝諾的二分法悖論？ - Colm Kelleher

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    這位是埃利亞的芝諾，
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    一位古希臘哲學家，
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    因發明許多悖論而聞名。
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    悖論是指看似有道理，
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    但結論卻是荒謬
    或矛盾的論證。
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    兩千多年以來，
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    芝諾那些誤導思路的難題
    啟發了許多
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    數學家與哲學家
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    來了解「無窮」的本質。
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    最有名的一個芝諾難題
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    叫做二分法悖論，
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    在古希臘文的意思就是「切割為二詭辯」。
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    內容大約是這樣：
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    芝諾在漫長地坐著沉思一天後，
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    決定從家裡散步到公園。
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    清新的空氣啟發他的心靈
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    並讓他想得更清楚。
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    要走到公園，
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    他必須先走到路程的中點。
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    他這部份的旅程
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    要花一些有限的時間。
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    一旦他到達這中點，
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    他必須再走到剩下距離的中點。
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    這又花了一些有限的時間。
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    一旦他到那兒，他還是必須再走到
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    剩下距離的中點，
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    那也會花另一些有限的時間。
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    這會一次又一次的發生。
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    你可以見到我們
    永遠都在這過程打轉，
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    就是不斷將剩的距離分成
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    更小更細的路段，
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    每一段都須要一些
    有限的時間才能通過。
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    所以，芝諾要多久才能走到公園？
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    嗯，要得到答案，你必須把每段路段
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    所花的時間加起來。
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    而問題是，有無限個這種
    「有限的時間」。
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    所以，全部的時間也應該要是無限大嗎？
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    順帶一提，這個論證是很通用的。
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    它說明從任何地點移動到
    任何其它地點
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    應該要花無窮的時間。
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    換句話說，它說明所有運動都是不可能的。
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    這個結果顯然很荒謬，
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    但邏輯上的瑕疵在哪裡？
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    要解開這個悖論，
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    把故事轉換成數學問題
    會有所幫助。
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    我們假設芝諾的家
    距離公園有一英里，
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    而芝諾每小時走一英里。
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    常理告訴我們這趟旅程
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    應該要花一小時。
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    但是，讓我們從芝諾的觀點來看看
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    並把路程分程許多小段。
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    最初的一段路程要花 1/2 小時，
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    下一段要花 1/4 小時，
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    而第三段要花 1/8 小時，
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    以此類推。
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    將這些時間全部加起來，
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    我們得到一串
    長成這樣的級數。
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    「現在」，芝諾可能會說，
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    「因為方程式右邊有無限項，
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    每項又都是有限的，
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    它們的總和
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    應該是無窮，對吧？」
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    這就是芝諾論證的問題了。
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    數學家從此明白，
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    把無限個有限的量相加
    是有可能得到
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    一個有限的答案。
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    「怎麼會呢？」你可能會問。
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    嗯，我們可以這樣想。
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    我們考慮一個
    一公尺見方的正方形。
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    現在把這個正方形
    分成兩半，
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    再把剩的分半，
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    接著往下做。
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    當我們這麼做時，
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    我們依序記錄每塊的面積。
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    最初的切片有兩部份，
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    每部份的面積都是 1/2，
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    而下一次切片把其中一個 1/2
    再分成兩半，
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    依此類推。
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    但，無論我們切割了幾次，
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    整塊面積還是所有小面積的總和。
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    現在你可以了解
    為什麼要選這麼特別的方式
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    來切割正方形。
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    我們已經做出了那串
    相同的無窮級數，
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    就是在芝諾的旅程中
    算出來的那串。
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    當我們建構了更多的藍色小方塊，
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    用數學的行話來說，
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    就是當我們取 n 趨近到無窮時的極限，
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    整個正方形都被藍色蓋住了。
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    但正方形的面積就只有 1 平方單位而已，
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    所以無窮項的總合一定是 1。
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    我們回到芝諾的旅程，
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    我們可以看到這悖論
    是如何被解決的。
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    不止是無限項加起來可能是有限，
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    而且這個有限的答案還是一樣的，
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    和常理告訴我們的一樣 ──
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    芝諾的旅程要花一小時。
Title:
什麼是芝諾的二分法悖論？ - Colm Kelleher
Speaker:
Colm Kelleher
Description:

完整課程請見：http://ed.ted.com/lessons/what-is-zeno-s-dichotomy-paradox-colm-kelleher

你可以從一處移動到另一處嗎？埃利亞的古希臘哲學家芝諾提出了一個具說服力的論證，來說明移動是不可能的──但是邏輯上的問題在哪呢？Colm Kelleher 告訴你如何解開芝諾的二分法悖論。

課程：Colm Kelleher；動畫：Buzzco Associates, inc.
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Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
04:12

Chinese, Traditional subtitles

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