WEBVTT

00:00:15.096 --> 00:00:16.871
這位是埃利亞的芝諾，

00:00:16.871 --> 00:00:18.377
一位古希臘哲學家，

00:00:18.377 --> 00:00:21.042
因發明許多悖論而聞名。

00:00:21.042 --> 00:00:22.560
悖論是指看似有道理，

00:00:22.560 --> 00:00:25.779
但結論卻是荒謬
或矛盾的論證。

00:00:25.779 --> 00:00:27.183
兩千多年以來，

00:00:27.183 --> 00:00:29.694
芝諾那些誤導思路的難題
啟發了許多

00:00:29.694 --> 00:00:31.310
數學家與哲學家

00:00:31.310 --> 00:00:33.746
來了解「無窮」的本質。

00:00:33.746 --> 00:00:35.525
最有名的一個芝諾難題

00:00:35.525 --> 00:00:37.741
叫做二分法悖論，

00:00:37.741 --> 00:00:41.527
在古希臘文的意思就是「切割為二詭辯」。

00:00:41.527 --> 00:00:43.315
內容大約是這樣：

00:00:43.315 --> 00:00:46.154
芝諾在漫長地坐著沉思一天後，

00:00:46.154 --> 00:00:48.950
決定從家裡散步到公園。

00:00:48.950 --> 00:00:50.397
清新的空氣啟發他的心靈

00:00:50.397 --> 00:00:51.920
並讓他想得更清楚。

00:00:51.920 --> 00:00:53.075
要走到公園，

00:00:53.075 --> 00:00:55.428
他必須先走到路程的中點。

00:00:55.428 --> 00:00:56.601
他這部份的旅程

00:00:56.601 --> 00:00:58.443
要花一些有限的時間。

00:00:58.443 --> 00:01:00.452
一旦他到達這中點，

00:01:00.452 --> 00:01:02.841
他必須再走到剩下距離的中點。

00:01:02.841 --> 00:01:05.868
這又花了一些有限的時間。

00:01:05.868 --> 00:01:08.140
一旦他到那兒，他還是必須再走到

00:01:08.140 --> 00:01:09.882
剩下距離的中點，

00:01:09.882 --> 00:01:12.371
那也會花另一些有限的時間。

00:01:12.371 --> 00:01:15.522
這會一次又一次的發生。

00:01:15.522 --> 00:01:18.195
你可以見到我們
永遠都在這過程打轉，

00:01:18.195 --> 00:01:19.857
就是不斷將剩的距離分成

00:01:19.857 --> 00:01:21.772
更小更細的路段，

00:01:21.772 --> 00:01:25.278
每一段都須要一些
有限的時間才能通過。

00:01:25.278 --> 00:01:27.958
所以，芝諾要多久才能走到公園？

00:01:27.958 --> 00:01:30.317
嗯，要得到答案，你必須把每段路段

00:01:30.317 --> 00:01:32.284
所花的時間加起來。

00:01:32.284 --> 00:01:36.616
而問題是，有無限個這種
「有限的時間」。

00:01:36.616 --> 00:01:39.750
所以，全部的時間也應該要是無限大嗎？

00:01:39.750 --> 00:01:42.548
順帶一提，這個論證是很通用的。

00:01:42.548 --> 00:01:45.092
它說明從任何地點移動到
任何其它地點

00:01:45.092 --> 00:01:47.254
應該要花無窮的時間。

00:01:47.254 --> 00:01:51.006
換句話說，它說明所有運動都是不可能的。

00:01:51.006 --> 00:01:52.785
這個結果顯然很荒謬，

00:01:52.785 --> 00:01:54.784
但邏輯上的瑕疵在哪裡？

00:01:54.784 --> 00:01:55.966
要解開這個悖論，

00:01:55.966 --> 00:01:58.731
把故事轉換成數學問題
會有所幫助。

00:01:58.731 --> 00:02:01.618
我們假設芝諾的家
距離公園有一英里，

00:02:01.618 --> 00:02:04.341
而芝諾每小時走一英里。

00:02:04.341 --> 00:02:06.692
常理告訴我們這趟旅程

00:02:06.692 --> 00:02:08.205
應該要花一小時。

00:02:08.205 --> 00:02:10.866
但是，讓我們從芝諾的觀點來看看

00:02:10.866 --> 00:02:13.196
並把路程分程許多小段。

00:02:13.196 --> 00:02:15.656
最初的一段路程要花 1/2 小時，

00:02:15.656 --> 00:02:17.782
下一段要花 1/4 小時，

00:02:17.782 --> 00:02:20.064
而第三段要花 1/8 小時，

00:02:20.064 --> 00:02:20.969
以此類推。

00:02:20.969 --> 00:02:22.266
將這些時間全部加起來，

00:02:22.266 --> 00:02:24.372
我們得到一串
長成這樣的級數。

00:02:24.372 --> 00:02:25.624
「現在」，芝諾可能會說，

00:02:25.624 --> 00:02:27.964
「因為方程式右邊有無限項，

00:02:27.964 --> 00:02:29.621
每項又都是有限的，

00:02:29.621 --> 00:02:31.883
它們的總和

00:02:31.883 --> 00:02:34.518
應該是無窮，對吧？」

00:02:34.518 --> 00:02:36.670
這就是芝諾論證的問題了。

00:02:36.670 --> 00:02:38.855
數學家從此明白，

00:02:38.855 --> 00:02:42.618
把無限個有限的量相加
是有可能得到

00:02:42.618 --> 00:02:44.814
一個有限的答案。

00:02:44.814 --> 00:02:45.989
「怎麼會呢？」你可能會問。

00:02:45.989 --> 00:02:47.486
嗯，我們可以這樣想。

00:02:47.486 --> 00:02:50.390
我們考慮一個
一公尺見方的正方形。

00:02:50.390 --> 00:02:52.528
現在把這個正方形
分成兩半，

00:02:52.528 --> 00:02:54.909
再把剩的分半，

00:02:54.909 --> 00:02:56.172
接著往下做。

00:02:56.172 --> 00:02:57.239
當我們這麼做時，

00:02:57.239 --> 00:03:00.380
我們依序記錄每塊的面積。

00:03:00.380 --> 00:03:02.169
最初的切片有兩部份，

00:03:02.169 --> 00:03:04.028
每部份的面積都是 1/2，

00:03:04.028 --> 00:03:06.545
而下一次切片把其中一個 1/2
再分成兩半，

00:03:06.545 --> 00:03:07.796
依此類推。

00:03:07.796 --> 00:03:10.227
但，無論我們切割了幾次，

00:03:10.227 --> 00:03:14.814
整塊面積還是所有小面積的總和。

00:03:14.814 --> 00:03:17.442
現在你可以了解
為什麼要選這麼特別的方式

00:03:17.442 --> 00:03:18.971
來切割正方形。

00:03:18.971 --> 00:03:20.888
我們已經做出了那串
相同的無窮級數，

00:03:20.888 --> 00:03:23.356
就是在芝諾的旅程中
算出來的那串。

00:03:23.356 --> 00:03:25.791
當我們建構了更多的藍色小方塊，

00:03:25.791 --> 00:03:27.314
用數學的行話來說，

00:03:27.314 --> 00:03:30.742
就是當我們取 n 趨近到無窮時的極限，

00:03:30.742 --> 00:03:33.356
整個正方形都被藍色蓋住了。

00:03:33.356 --> 00:03:35.427
但正方形的面積就只有 1 平方單位而已，

00:03:35.427 --> 00:03:38.700
所以無窮項的總合一定是 1。

00:03:38.700 --> 00:03:39.754
我們回到芝諾的旅程，

00:03:39.754 --> 00:03:42.370
我們可以看到這悖論
是如何被解決的。

00:03:42.370 --> 00:03:45.713
不止是無限項加起來可能是有限，

00:03:45.713 --> 00:03:47.745
而且這個有限的答案還是一樣的，

00:03:47.745 --> 00:03:50.172
和常理告訴我們的一樣 ──

00:03:50.172 --> 00:03:52.877
芝諾的旅程要花一小時。