1
00:00:15,096 --> 00:00:16,871
這位是埃利亞的芝諾，

2
00:00:16,871 --> 00:00:18,377
一位古希臘哲學家，

3
00:00:18,377 --> 00:00:21,042
因發明許多悖論而聞名。

4
00:00:21,042 --> 00:00:22,560
悖論是指看似有道理，

5
00:00:22,560 --> 00:00:25,779
但結論卻是荒謬
或矛盾的論證。

6
00:00:25,779 --> 00:00:27,183
兩千多年以來，

7
00:00:27,183 --> 00:00:29,694
芝諾那些誤導思路的難題
啟發了許多

8
00:00:29,694 --> 00:00:31,310
數學家與哲學家

9
00:00:31,310 --> 00:00:33,746
來了解「無窮」的本質。

10
00:00:33,746 --> 00:00:35,525
最有名的一個芝諾難題

11
00:00:35,525 --> 00:00:37,741
叫做二分法悖論，

12
00:00:37,741 --> 00:00:41,527
在古希臘文的意思就是「切割為二詭辯」。

13
00:00:41,527 --> 00:00:43,315
內容大約是這樣：

14
00:00:43,315 --> 00:00:46,154
芝諾在漫長地坐著沉思一天後，

15
00:00:46,154 --> 00:00:48,950
決定從家裡散步到公園。

16
00:00:48,950 --> 00:00:50,397
清新的空氣啟發他的心靈

17
00:00:50,397 --> 00:00:51,920
並讓他想得更清楚。

18
00:00:51,920 --> 00:00:53,075
要走到公園，

19
00:00:53,075 --> 00:00:55,428
他必須先走到路程的中點。

20
00:00:55,428 --> 00:00:56,601
他這部份的旅程

21
00:00:56,601 --> 00:00:58,443
要花一些有限的時間。

22
00:00:58,443 --> 00:01:00,452
一旦他到達這中點，

23
00:01:00,452 --> 00:01:02,841
他必須再走到剩下距離的中點。

24
00:01:02,841 --> 00:01:05,868
這又花了一些有限的時間。

25
00:01:05,868 --> 00:01:08,140
一旦他到那兒，他還是必須再走到

26
00:01:08,140 --> 00:01:09,882
剩下距離的中點，

27
00:01:09,882 --> 00:01:12,371
那也會花另一些有限的時間。

28
00:01:12,371 --> 00:01:15,522
這會一次又一次的發生。

29
00:01:15,522 --> 00:01:18,195
你可以見到我們
永遠都在這過程打轉，

30
00:01:18,195 --> 00:01:19,857
就是不斷將剩的距離分成

31
00:01:19,857 --> 00:01:21,772
更小更細的路段，

32
00:01:21,772 --> 00:01:25,278
每一段都須要一些
有限的時間才能通過。

33
00:01:25,278 --> 00:01:27,958
所以，芝諾要多久才能走到公園？

34
00:01:27,958 --> 00:01:30,317
嗯，要得到答案，你必須把每段路段

35
00:01:30,317 --> 00:01:32,284
所花的時間加起來。

36
00:01:32,284 --> 00:01:36,616
而問題是，有無限個這種
「有限的時間」。

37
00:01:36,616 --> 00:01:39,750
所以，全部的時間也應該要是無限大嗎？

38
00:01:39,750 --> 00:01:42,548
順帶一提，這個論證是很通用的。

39
00:01:42,548 --> 00:01:45,092
它說明從任何地點移動到
任何其它地點

40
00:01:45,092 --> 00:01:47,254
應該要花無窮的時間。

41
00:01:47,254 --> 00:01:51,006
換句話說，它說明所有運動都是不可能的。

42
00:01:51,006 --> 00:01:52,785
這個結果顯然很荒謬，

43
00:01:52,785 --> 00:01:54,784
但邏輯上的瑕疵在哪裡？

44
00:01:54,784 --> 00:01:55,966
要解開這個悖論，

45
00:01:55,966 --> 00:01:58,731
把故事轉換成數學問題
會有所幫助。

46
00:01:58,731 --> 00:02:01,618
我們假設芝諾的家
距離公園有一英里，

47
00:02:01,618 --> 00:02:04,341
而芝諾每小時走一英里。

48
00:02:04,341 --> 00:02:06,692
常理告訴我們這趟旅程

49
00:02:06,692 --> 00:02:08,205
應該要花一小時。

50
00:02:08,205 --> 00:02:10,866
但是，讓我們從芝諾的觀點來看看

51
00:02:10,866 --> 00:02:13,196
並把路程分程許多小段。

52
00:02:13,196 --> 00:02:15,656
最初的一段路程要花 1/2 小時，

53
00:02:15,656 --> 00:02:17,782
下一段要花 1/4 小時，

54
00:02:17,782 --> 00:02:20,064
而第三段要花 1/8 小時，

55
00:02:20,064 --> 00:02:20,969
以此類推。

56
00:02:20,969 --> 00:02:22,266
將這些時間全部加起來，

57
00:02:22,266 --> 00:02:24,372
我們得到一串
長成這樣的級數。

58
00:02:24,372 --> 00:02:25,624
「現在」，芝諾可能會說，

59
00:02:25,624 --> 00:02:27,964
「因為方程式右邊有無限項，

60
00:02:27,964 --> 00:02:29,621
每項又都是有限的，

61
00:02:29,621 --> 00:02:31,883
它們的總和

62
00:02:31,883 --> 00:02:34,518
應該是無窮，對吧？」

63
00:02:34,518 --> 00:02:36,670
這就是芝諾論證的問題了。

64
00:02:36,670 --> 00:02:38,855
數學家從此明白，

65
00:02:38,855 --> 00:02:42,618
把無限個有限的量相加
是有可能得到

66
00:02:42,618 --> 00:02:44,814
一個有限的答案。

67
00:02:44,814 --> 00:02:45,989
「怎麼會呢？」你可能會問。

68
00:02:45,989 --> 00:02:47,486
嗯，我們可以這樣想。

69
00:02:47,486 --> 00:02:50,390
我們考慮一個
一公尺見方的正方形。

70
00:02:50,390 --> 00:02:52,528
現在把這個正方形
分成兩半，

71
00:02:52,528 --> 00:02:54,909
再把剩的分半，

72
00:02:54,909 --> 00:02:56,172
接著往下做。

73
00:02:56,172 --> 00:02:57,239
當我們這麼做時，

74
00:02:57,239 --> 00:03:00,380
我們依序記錄每塊的面積。

75
00:03:00,380 --> 00:03:02,169
最初的切片有兩部份，

76
00:03:02,169 --> 00:03:04,028
每部份的面積都是 1/2，

77
00:03:04,028 --> 00:03:06,545
而下一次切片把其中一個 1/2
再分成兩半，

78
00:03:06,545 --> 00:03:07,796
依此類推。

79
00:03:07,796 --> 00:03:10,227
但，無論我們切割了幾次，

80
00:03:10,227 --> 00:03:14,814
整塊面積還是所有小面積的總和。

81
00:03:14,814 --> 00:03:17,442
現在你可以了解
為什麼要選這麼特別的方式

82
00:03:17,442 --> 00:03:18,971
來切割正方形。

83
00:03:18,971 --> 00:03:20,888
我們已經做出了那串
相同的無窮級數，

84
00:03:20,888 --> 00:03:23,356
就是在芝諾的旅程中
算出來的那串。

85
00:03:23,356 --> 00:03:25,791
當我們建構了更多的藍色小方塊，

86
00:03:25,791 --> 00:03:27,314
用數學的行話來說，

87
00:03:27,314 --> 00:03:30,742
就是當我們取 n 趨近到無窮時的極限，

88
00:03:30,742 --> 00:03:33,356
整個正方形都被藍色蓋住了。

89
00:03:33,356 --> 00:03:35,427
但正方形的面積就只有 1 平方單位而已，

90
00:03:35,427 --> 00:03:38,700
所以無窮項的總合一定是 1。

91
00:03:38,700 --> 00:03:39,754
我們回到芝諾的旅程，

92
00:03:39,754 --> 00:03:42,370
我們可以看到這悖論
是如何被解決的。

93
00:03:42,370 --> 00:03:45,713
不止是無限項加起來可能是有限，

94
00:03:45,713 --> 00:03:47,745
而且這個有限的答案還是一樣的，

95
00:03:47,745 --> 00:03:50,172
和常理告訴我們的一樣 ──

96
00:03:50,172 --> 00:03:52,877
芝諾的旅程要花一小時。