O que é o Paradoxo da Dicotomia de Zenão? — Colm Kelleher

Vejam a lição completa: http://ed.ted.com/lessons/what-is-zeno-s-dichotomy-paradox-colm-kelleher

Poderão efetivamente viajar de um lugar para outro? O antigo filósofo grego Zenão de Eléia desenvolveu um argumento convincente que diz que qualquer movimento é impossível — mas onde está o erro da sua lógica? Colm Kelleher mostra como resolver o Paradoxo da Dicotomia de Zenão.

Lição de Colm Kelleher, animação de Buzzco Associates, inc.

Este é Zenão de Eleia,

um antigo filósofo grego

famoso por inventar uma série de paradoxos:

argumentos que parecem lógicos,

mas cuja conclusão é absurda ou contraditória.

Durante mais de 2000 anos,

os quebra-cabeças complexos de Zenão inspiraram

matemáticos e filósofos

a compreender melhor a natureza do infinito.

Um dos problemas mais conhecidos de Zenão

é o chamado paradoxo da dicotomia,

que, em grego antigo, quer dizer
"o paradoxo de partir em dois".

É algo deste género:

Depois de um longo dia a pensar,

Zenão decide ir de sua casa ao parque.

O ar fresco ajuda-o a limpar a sua mente

e a pensar melhor.

De forma a chegar ao parque,

ele primeiro tem que chegar a meio do caminho.

Esta parte da sua viagem

demora um tempo finito.

Quando ele chega ao meio,

ainda tem que caminhar metade da restante distância.

Novamente, isto demora um tempo finito.

Quando chega aí, ainda tem que caminhar

metade da restante distância,

o que volta a demorar um período finito de tempo.

Isto repete-se uma e outra e outra vez.

Como podem ver, podemos continuar isto para sempre,

dividindo a distância que sobrar

em pedaços cada vez mais pequenos

sendo que cada um demora um
tempo finito a ser percorrido.

Então, quando tempo demora Zenão a chegar ao parque?

Bem, para descobrirmos,
temos que adicionar os tempos

de cada uma das partes da viagem.

O problema é que há infinitas partes de tempo finito.

Portanto, não deveria o total ser infinito?

Já agora, este argumento é completamente geral.

Diz que qualquer viagem de um ponto para outro

deveria demorar um tempo infinito.

Por outras palavras, diz que qualquer
movimento é impossível.

Esta conclusão é claramente absurda,

mas onde é que está o erro na lógica?

Para resolver o paradoxo,

ajuda transformar a história
num problema matemático.

Vamos supor que a casa de Zenão está a
pouco mais de um quilómetro e meio do parque

e que Zenão anda a pouco mais de
um quilómetro e meio por hora.

O senso comum diz-nos que o tempo da viagem

deverá ser de uma hora.

Mas vamos ver a questão do ponto de vista de Zenão

e dividir a viagem em partes mais pequenas.

A primeira metade da viagem demora meia hora,

a parte seguinte demora um quarto de hora,

a terceira demora um oitavo de uma hora,

e assim por diante.

Somando todos estes tempos,

obtemos uma série com este aspeto.

– "Agora"– diria Zenão –

"como o número de termos é infinito

"do lado direito da equação,

"e cada termo individual é finito,

"a soma deveria ser igual ao infinito, certo?"

Este é o problema com o argumento de Zenão.

Como os matemáticos vieram a descobrir,

é possível somar um número infinito de termos finitos

e, mesmo assim, obter uma resposta finita.

– "Como?" – perguntam vocês.

Bem, vamos ver as coisas desta forma.

Vamos começar com um quadrado
que tem um metro de área.

Agora vamos partir o quadrado ao meio,

e depois dividir o restante ao meio,

e assim por diante.

Enquanto fazemos isto,

vamos anotar as áreas das peças.

O primeiro corte divide em duas partes,

cada uma com uma área de uma metade.

O próximo corte divide uma dessas
metades em metade,

e assim por diante.

Mas, não importa quantas vezes dividamos as caixas,

a área total é sempre a soma de todas as peças.

Agora já percebem porque é que escolhemos
esta forma em específico

de cortar o quadrado.

Obtemos a mesma série infinita

que tínhamos com o tempo da viagem de Zenão.

Ao construirmos mais e mais peças azuis,

e usando o jargão matemático,

quando chegamos ao limite
com "n" a tender para o infinito,

todo o quadrado fica coberto de azul.

Mas a área do quadrado é de apenas uma unidade,

e por isso a soma do infinito tem que ser igual a um.

Voltando à viagem de Zenão,

podemos então ver como o paradoxo é resolvido.

Não só obtemos uma resposta finita
da soma da série infinita,

como essa resposta finita é a mesma

que o senso comum nos dá.

A viagem do Zenão demora uma hora.