제노의 이분법적 역설이란 무엇일까? - 콜름 켈러허(Colm Kelleher)

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한 지점에서 다른 지점으로 옮겨가는게 가능할까요? 고대 그리스의 엘리아 출신 철학자인 제노는 모든 움직임이 불가능할 것같은 논제를 제시합니다. 하지만 이 논리에는 어떤 문제점이 있는걸까요? 콜름 켈러허가 제노의 이분법적 역설을 해결하는 방법을 보여드립니다.

강연: 콜름 켈러허
동영상: 버즈코(Buzzco Associates, inc.)

이 사람은 엘리아 출신의 제노입니다.

고대 그리스의 철학자로서

수많은 역설과
얼핏 보기에는 논리적이지만

결과가 이상하거나 모순적인 논제를

만들어 낸 것으로 유명합니다.

2천년이 넘는 시간 동안,

생각을 혼동스럽게 하는
제노의 수수께끼들은

수학자들과 철학자들에게 영감을 불어넣어

무한의 특성을 잘 이해할 수 있도록 했습니다.

가장 잘 알려진 제노의 문제는

"이분법적 역설(dichotomy paradox)"이라고 합니다.

이것은 고대 그리스어로
"반으로 잘라 생기는 역설"을 의미합니다.

이렇게 시작합니다:

하루 종일 앉아서 생각만하다가

제노는 집에서 공원까지 산책을 하기로 합니다.

신선한 공기는 그의 정신을 맑게 하고

생각을 더 잘 할 수 있도록 돕습니다.

공원에 가려면

그는 일단 공원의 중간 지점까지 가야합니다.

전체 여정에서 이 만큼은

유한한 양의 시간이 걸리죠.

중간 지점에 도달하면

나머지 거리의 반을 더 갑니다.

이번에도 유한한 양의 시간이 걸리죠.

거기까지 가면, 남은 거리의

반을 더 가야합니다.

이것 또한 유한한 양의 시간이 필요하죠.

이런 일이 계속 반복됩니다.

남은 거리가 얼마 이건 간에

더 작은 구간으로 계속 나누다 보면

이런 방식으로 영원히 갈 수 있다는 것을
알 수 있을 것 입니다.

이 각각의 작은 구간을 지나는 데에는
유한한 시간이 걸립니다.

그러면 제노가 공원에 도달하기 위해서는
모두 얼마의 시간이 걸릴까요?

그것을 알아내기 위해서,

각각의 짧은 구간에서 걸린 시간들을
모두 더해야 합니다.

문제는 이런 유한한 시간들의 조각들이
무한히 많이 있다는 점이에요.

그러면 시간의 전체 합은
무한대가 되어야하지 않을까요?

그런데 이런 논제는
아주 일반적인 것이에요.

한 지점에서 다른 지점까지 움직이는 데에는

무한히 긴 시간이 걸린다는 것이지요.

바꿔 말하면, 어떤 움직임도
불가능하다는 것이죠.

이런 결론은 정말 말도 안되는 것이지만

이 논리에 어떤 결함이 있는걸까요?

이 역설을 풀기 위해서

이야기를 수학 문제로 바꾸면 도움이 됩니다.

제노의 집이 공원에서 1 마일
떨어져 있다고 가정해 보죠.

그리고 제노는 시간당 1마일을 걷습니다.

전체 이동 시간이 한 시간이라는 것을

상식적으로 알 수 있습니다.

하지만 이 상황을 제노의 관점에서

전체 여정을 작은 구간으로
나누어 봅시다.

그 여정의 처음 반은 30분 걸리고,

그 다음은 15분이 걸리고,

그 나머지 반은 7.5분이 걸립니다.

이런식으로 계속되는 것이죠,

이 각각의 시간들을 모두 더하면

이런 모습의 "급수(series)"가 만들어집니다.

제노가 말합니다.

" 이제 이 식의 오른쪽에

무한히 많은 수가 있고

각 항은 유한하니까

그 총합은 무한대겠지?"

이것이 바로 제노의 논증에서
문제가 되는 부분입니다.

그 후에 수학자들이 알아냈 듯이

유한한 크기의 항을 무한히 더해도

그 값은 유한한 값이 될 수 있습니다.

"어떻게"라고 물으시겠죠.

자, 이렇게 생각해 봅시다.

넓이가 1 인 정사각형을 생각해보죠.

이제 그 사각형을 반으로 잘라내고

그 남은 반을 다시 반으로 자르기를

반복합니다.

이렇게 하면서

각 단계에서 남은 넓이를 생각해보죠.

첫번째 조각은 둘로 나뉘니까

각각은 넓이가 1/2이 됩니다.

그 한 조각을 반으로 나누면
반의 반이 되고,

이걸 반복하는 겁니다.

하지만 그 사각형을
아무리 여러번 조각내더라도

전체 넓이는 여전히
작은 조각들의 넓이의 합과 같습니다.

아마 이제 여러분들은
우리가 왜 하필 정사각형을

이렇게 잘랐는지 알게 될 것입니다.

이렇게 해서 얻은 무한 급수는

제노의 여정에서 나온 급수와 똑같아요.

파란색 조각을 계속해서 많이 만들고,

수학적 용어를 사용합니다.

n 이 무한대로 가는 극한을 취하면

전체 사각형은 파란색으로 뒤덮이게 되죠.

하지만 사각형의 넓이는 정확하게 1 이니까

무한 합은 1 이어야만 하죠.

제노의 여정으로 돌아가면,

우리는 제노의 역설이 어떻게 해결되는지
알 수 있습니다.

무한 급수의 합이 유한한 값일 뿐만 아니라

그 유한의 답은 우리가
상식적으로 생각하는 그 값과

일치한다는 것 입니다.

제노의 여정은 1시간이 걸리죠.