WEBVTT

00:00:15.096 --> 00:00:16.871
이 사람은 엘리아 출신의 제노입니다.

00:00:16.871 --> 00:00:18.377
고대 그리스의 철학자로서

00:00:18.377 --> 00:00:21.042
수많은 역설과 
얼핏 보기에는 논리적이지만

00:00:21.042 --> 00:00:22.560
결과가 이상하거나 모순적인 논제를

00:00:22.560 --> 00:00:25.779
만들어 낸 것으로 유명합니다.

00:00:25.779 --> 00:00:27.183
2천년이 넘는 시간 동안,

00:00:27.183 --> 00:00:29.694
생각을 혼동스럽게 하는
제노의 수수께끼들은

00:00:29.694 --> 00:00:31.310
수학자들과 철학자들에게 영감을 불어넣어

00:00:31.310 --> 00:00:33.746
무한의 특성을 잘 이해할 수 있도록 했습니다.

00:00:33.746 --> 00:00:35.525
가장 잘 알려진 제노의 문제는

00:00:35.525 --> 00:00:37.741
"이분법적 역설(dichotomy paradox)"이라고 합니다.

00:00:37.741 --> 00:00:41.527
이것은 고대 그리스어로 
"반으로 잘라 생기는 역설"을 의미합니다.

00:00:41.527 --> 00:00:43.315
이렇게 시작합니다:

00:00:43.315 --> 00:00:46.154
하루 종일 앉아서 생각만하다가

00:00:46.154 --> 00:00:48.950
제노는 집에서 공원까지 산책을 하기로 합니다.

00:00:48.950 --> 00:00:50.397
신선한 공기는 그의 정신을 맑게 하고

00:00:50.397 --> 00:00:51.920
생각을 더 잘 할 수 있도록 돕습니다.

00:00:51.920 --> 00:00:53.075
공원에 가려면

00:00:53.075 --> 00:00:55.428
그는 일단 공원의 중간 지점까지 가야합니다.

00:00:55.428 --> 00:00:56.601
전체 여정에서 이 만큼은

00:00:56.601 --> 00:00:58.443
유한한 양의 시간이 걸리죠.

00:00:58.443 --> 00:01:00.452
중간 지점에 도달하면

00:01:00.452 --> 00:01:02.841
나머지 거리의 반을 더 갑니다.

00:01:02.841 --> 00:01:05.868
이번에도 유한한 양의 시간이 걸리죠.

00:01:05.868 --> 00:01:08.140
거기까지 가면, 남은 거리의

00:01:08.140 --> 00:01:09.882
반을 더 가야합니다.

00:01:09.882 --> 00:01:12.371
이것 또한 유한한 양의 시간이 필요하죠.

00:01:12.371 --> 00:01:15.522
이런 일이 계속 반복됩니다.

00:01:15.522 --> 00:01:18.195
남은 거리가 얼마 이건 간에

00:01:18.195 --> 00:01:19.857
더 작은 구간으로 계속 나누다 보면

00:01:19.857 --> 00:01:21.772
이런 방식으로 영원히 갈 수 있다는 것을 
알 수 있을 것 입니다.

00:01:21.772 --> 00:01:25.278
이 각각의 작은 구간을 지나는 데에는
유한한 시간이 걸립니다.

00:01:25.278 --> 00:01:27.958
그러면 제노가 공원에 도달하기 위해서는 
모두 얼마의 시간이 걸릴까요?

00:01:27.958 --> 00:01:30.317
그것을 알아내기 위해서,

00:01:30.317 --> 00:01:32.284
각각의 짧은 구간에서 걸린 시간들을 
모두 더해야 합니다.

00:01:32.284 --> 00:01:36.616
문제는 이런 유한한 시간들의 조각들이 
무한히 많이 있다는 점이에요.

00:01:36.616 --> 00:01:39.750
그러면 시간의 전체 합은
무한대가 되어야하지 않을까요?

00:01:39.750 --> 00:01:42.548
그런데 이런 논제는
아주 일반적인 것이에요.

00:01:42.548 --> 00:01:45.092
한 지점에서 다른 지점까지 움직이는 데에는

00:01:45.092 --> 00:01:47.254
무한히 긴 시간이 걸린다는 것이지요.

00:01:47.254 --> 00:01:51.006
바꿔 말하면, 어떤 움직임도
불가능하다는 것이죠.

00:01:51.006 --> 00:01:52.785
이런 결론은 정말 말도 안되는 것이지만

00:01:52.785 --> 00:01:54.784
이 논리에 어떤 결함이 있는걸까요?

00:01:54.784 --> 00:01:55.966
이 역설을 풀기 위해서

00:01:55.966 --> 00:01:58.731
이야기를 수학 문제로 바꾸면 도움이 됩니다.

00:01:58.731 --> 00:02:01.618
제노의 집이 공원에서 1 마일 
떨어져 있다고 가정해 보죠.

00:02:01.618 --> 00:02:04.341
그리고 제노는 시간당 1마일을 걷습니다.

00:02:04.341 --> 00:02:06.692
전체 이동 시간이 한 시간이라는 것을

00:02:06.692 --> 00:02:08.205
상식적으로 알 수 있습니다.

00:02:08.205 --> 00:02:10.866
하지만 이 상황을 제노의 관점에서

00:02:10.866 --> 00:02:13.196
전체 여정을 작은 구간으로 
나누어 봅시다.

00:02:13.196 --> 00:02:15.656
그 여정의 처음 반은 30분 걸리고,

00:02:15.656 --> 00:02:17.782
그 다음은 15분이 걸리고,

00:02:17.782 --> 00:02:20.064
그 나머지 반은 7.5분이 걸립니다.

00:02:20.064 --> 00:02:20.969
이런식으로 계속되는 것이죠,

00:02:20.969 --> 00:02:22.266
이 각각의 시간들을 모두 더하면

00:02:22.266 --> 00:02:24.372
이런 모습의 "급수(series)"가 만들어집니다.

00:02:24.372 --> 00:02:25.624
제노가 말합니다.

00:02:25.624 --> 00:02:27.964
" 이제 이 식의 오른쪽에

00:02:27.964 --> 00:02:29.621
무한히 많은 수가 있고

00:02:29.621 --> 00:02:31.883
각 항은 유한하니까

00:02:31.883 --> 00:02:34.518
그 총합은 무한대겠지?"

00:02:34.518 --> 00:02:36.670
이것이 바로 제노의 논증에서
문제가 되는 부분입니다.

00:02:36.670 --> 00:02:38.855
그 후에 수학자들이 알아냈 듯이

00:02:38.855 --> 00:02:42.618
유한한 크기의 항을 무한히 더해도

00:02:42.618 --> 00:02:44.814
그 값은 유한한 값이 될 수 있습니다.

00:02:44.814 --> 00:02:45.989
"어떻게"라고 물으시겠죠.

00:02:45.989 --> 00:02:47.486
자, 이렇게 생각해 봅시다.

00:02:47.486 --> 00:02:50.390
넓이가 1 인 정사각형을 생각해보죠.

00:02:50.390 --> 00:02:52.528
이제 그 사각형을 반으로 잘라내고

00:02:52.528 --> 00:02:54.909
그 남은 반을 다시 반으로 자르기를

00:02:54.909 --> 00:02:56.172
반복합니다.

00:02:56.172 --> 00:02:57.239
이렇게 하면서

00:02:57.239 --> 00:03:00.380
각 단계에서 남은 넓이를 생각해보죠.

00:03:00.380 --> 00:03:02.169
첫번째 조각은 둘로 나뉘니까

00:03:02.169 --> 00:03:04.028
각각은 넓이가 1/2이 됩니다.

00:03:04.028 --> 00:03:06.545
그 한 조각을 반으로 나누면
반의 반이 되고,

00:03:06.545 --> 00:03:07.796
이걸 반복하는 겁니다.

00:03:07.796 --> 00:03:10.227
하지만 그 사각형을
아무리 여러번 조각내더라도

00:03:10.227 --> 00:03:14.814
전체 넓이는 여전히
작은 조각들의 넓이의 합과 같습니다.

00:03:14.814 --> 00:03:17.442
아마 이제 여러분들은
우리가 왜 하필 정사각형을

00:03:17.442 --> 00:03:18.971
이렇게 잘랐는지 알게 될 것입니다.

00:03:18.971 --> 00:03:20.888
이렇게 해서 얻은 무한 급수는

00:03:20.888 --> 00:03:23.356
제노의 여정에서 나온 급수와 똑같아요.

00:03:23.356 --> 00:03:25.791
파란색 조각을 계속해서 많이 만들고,

00:03:25.791 --> 00:03:27.314
수학적 용어를 사용합니다.

00:03:27.314 --> 00:03:30.742
n 이 무한대로 가는 극한을 취하면

00:03:30.742 --> 00:03:33.356
전체 사각형은 파란색으로 뒤덮이게 되죠.

00:03:33.356 --> 00:03:35.427
하지만 사각형의 넓이는 정확하게 1 이니까

00:03:35.427 --> 00:03:38.700
무한 합은 1 이어야만 하죠.

00:03:38.700 --> 00:03:39.754
제노의 여정으로 돌아가면,

00:03:39.754 --> 00:03:42.370
우리는 제노의 역설이 어떻게 해결되는지 
알 수 있습니다.

00:03:42.370 --> 00:03:45.713
무한 급수의 합이 유한한 값일 뿐만 아니라

00:03:45.713 --> 00:03:47.745
그 유한의 답은 우리가
상식적으로 생각하는 그 값과

00:03:47.745 --> 00:03:50.172
일치한다는 것 입니다.

00:03:50.172 --> 00:03:52.877
제노의 여정은 1시간이 걸리죠.