1
00:00:15,096 --> 00:00:16,871
이 사람은 엘리아 출신의 제노입니다.

2
00:00:16,871 --> 00:00:18,377
고대 그리스의 철학자로서

3
00:00:18,377 --> 00:00:21,042
수많은 역설과 
얼핏 보기에는 논리적이지만

4
00:00:21,042 --> 00:00:22,560
결과가 이상하거나 모순적인 논제를

5
00:00:22,560 --> 00:00:25,779
만들어 낸 것으로 유명합니다.

6
00:00:25,779 --> 00:00:27,183
2천년이 넘는 시간 동안,

7
00:00:27,183 --> 00:00:29,694
생각을 혼동스럽게 하는
제노의 수수께끼들은

8
00:00:29,694 --> 00:00:31,310
수학자들과 철학자들에게 영감을 불어넣어

9
00:00:31,310 --> 00:00:33,746
무한의 특성을 잘 이해할 수 있도록 했습니다.

10
00:00:33,746 --> 00:00:35,525
가장 잘 알려진 제노의 문제는

11
00:00:35,525 --> 00:00:37,741
"이분법적 역설(dichotomy paradox)"이라고 합니다.

12
00:00:37,741 --> 00:00:41,527
이것은 고대 그리스어로 
"반으로 잘라 생기는 역설"을 의미합니다.

13
00:00:41,527 --> 00:00:43,315
이렇게 시작합니다:

14
00:00:43,315 --> 00:00:46,154
하루 종일 앉아서 생각만하다가

15
00:00:46,154 --> 00:00:48,950
제노는 집에서 공원까지 산책을 하기로 합니다.

16
00:00:48,950 --> 00:00:50,397
신선한 공기는 그의 정신을 맑게 하고

17
00:00:50,397 --> 00:00:51,920
생각을 더 잘 할 수 있도록 돕습니다.

18
00:00:51,920 --> 00:00:53,075
공원에 가려면

19
00:00:53,075 --> 00:00:55,428
그는 일단 공원의 중간 지점까지 가야합니다.

20
00:00:55,428 --> 00:00:56,601
전체 여정에서 이 만큼은

21
00:00:56,601 --> 00:00:58,443
유한한 양의 시간이 걸리죠.

22
00:00:58,443 --> 00:01:00,452
중간 지점에 도달하면

23
00:01:00,452 --> 00:01:02,841
나머지 거리의 반을 더 갑니다.

24
00:01:02,841 --> 00:01:05,868
이번에도 유한한 양의 시간이 걸리죠.

25
00:01:05,868 --> 00:01:08,140
거기까지 가면, 남은 거리의

26
00:01:08,140 --> 00:01:09,882
반을 더 가야합니다.

27
00:01:09,882 --> 00:01:12,371
이것 또한 유한한 양의 시간이 필요하죠.

28
00:01:12,371 --> 00:01:15,522
이런 일이 계속 반복됩니다.

29
00:01:15,522 --> 00:01:18,195
남은 거리가 얼마 이건 간에

30
00:01:18,195 --> 00:01:19,857
더 작은 구간으로 계속 나누다 보면

31
00:01:19,857 --> 00:01:21,772
이런 방식으로 영원히 갈 수 있다는 것을 
알 수 있을 것 입니다.

32
00:01:21,772 --> 00:01:25,278
이 각각의 작은 구간을 지나는 데에는
유한한 시간이 걸립니다.

33
00:01:25,278 --> 00:01:27,958
그러면 제노가 공원에 도달하기 위해서는 
모두 얼마의 시간이 걸릴까요?

34
00:01:27,958 --> 00:01:30,317
그것을 알아내기 위해서,

35
00:01:30,317 --> 00:01:32,284
각각의 짧은 구간에서 걸린 시간들을 
모두 더해야 합니다.

36
00:01:32,284 --> 00:01:36,616
문제는 이런 유한한 시간들의 조각들이 
무한히 많이 있다는 점이에요.

37
00:01:36,616 --> 00:01:39,750
그러면 시간의 전체 합은
무한대가 되어야하지 않을까요?

38
00:01:39,750 --> 00:01:42,548
그런데 이런 논제는
아주 일반적인 것이에요.

39
00:01:42,548 --> 00:01:45,092
한 지점에서 다른 지점까지 움직이는 데에는

40
00:01:45,092 --> 00:01:47,254
무한히 긴 시간이 걸린다는 것이지요.

41
00:01:47,254 --> 00:01:51,006
바꿔 말하면, 어떤 움직임도
불가능하다는 것이죠.

42
00:01:51,006 --> 00:01:52,785
이런 결론은 정말 말도 안되는 것이지만

43
00:01:52,785 --> 00:01:54,784
이 논리에 어떤 결함이 있는걸까요?

44
00:01:54,784 --> 00:01:55,966
이 역설을 풀기 위해서

45
00:01:55,966 --> 00:01:58,731
이야기를 수학 문제로 바꾸면 도움이 됩니다.

46
00:01:58,731 --> 00:02:01,618
제노의 집이 공원에서 1 마일 
떨어져 있다고 가정해 보죠.

47
00:02:01,618 --> 00:02:04,341
그리고 제노는 시간당 1마일을 걷습니다.

48
00:02:04,341 --> 00:02:06,692
전체 이동 시간이 한 시간이라는 것을

49
00:02:06,692 --> 00:02:08,205
상식적으로 알 수 있습니다.

50
00:02:08,205 --> 00:02:10,866
하지만 이 상황을 제노의 관점에서

51
00:02:10,866 --> 00:02:13,196
전체 여정을 작은 구간으로 
나누어 봅시다.

52
00:02:13,196 --> 00:02:15,656
그 여정의 처음 반은 30분 걸리고,

53
00:02:15,656 --> 00:02:17,782
그 다음은 15분이 걸리고,

54
00:02:17,782 --> 00:02:20,064
그 나머지 반은 7.5분이 걸립니다.

55
00:02:20,064 --> 00:02:20,969
이런식으로 계속되는 것이죠,

56
00:02:20,969 --> 00:02:22,266
이 각각의 시간들을 모두 더하면

57
00:02:22,266 --> 00:02:24,372
이런 모습의 "급수(series)"가 만들어집니다.

58
00:02:24,372 --> 00:02:25,624
제노가 말합니다.

59
00:02:25,624 --> 00:02:27,964
" 이제 이 식의 오른쪽에

60
00:02:27,964 --> 00:02:29,621
무한히 많은 수가 있고

61
00:02:29,621 --> 00:02:31,883
각 항은 유한하니까

62
00:02:31,883 --> 00:02:34,518
그 총합은 무한대겠지?"

63
00:02:34,518 --> 00:02:36,670
이것이 바로 제노의 논증에서
문제가 되는 부분입니다.

64
00:02:36,670 --> 00:02:38,855
그 후에 수학자들이 알아냈 듯이

65
00:02:38,855 --> 00:02:42,618
유한한 크기의 항을 무한히 더해도

66
00:02:42,618 --> 00:02:44,814
그 값은 유한한 값이 될 수 있습니다.

67
00:02:44,814 --> 00:02:45,989
"어떻게"라고 물으시겠죠.

68
00:02:45,989 --> 00:02:47,486
자, 이렇게 생각해 봅시다.

69
00:02:47,486 --> 00:02:50,390
넓이가 1 인 정사각형을 생각해보죠.

70
00:02:50,390 --> 00:02:52,528
이제 그 사각형을 반으로 잘라내고

71
00:02:52,528 --> 00:02:54,909
그 남은 반을 다시 반으로 자르기를

72
00:02:54,909 --> 00:02:56,172
반복합니다.

73
00:02:56,172 --> 00:02:57,239
이렇게 하면서

74
00:02:57,239 --> 00:03:00,380
각 단계에서 남은 넓이를 생각해보죠.

75
00:03:00,380 --> 00:03:02,169
첫번째 조각은 둘로 나뉘니까

76
00:03:02,169 --> 00:03:04,028
각각은 넓이가 1/2이 됩니다.

77
00:03:04,028 --> 00:03:06,545
그 한 조각을 반으로 나누면
반의 반이 되고,

78
00:03:06,545 --> 00:03:07,796
이걸 반복하는 겁니다.

79
00:03:07,796 --> 00:03:10,227
하지만 그 사각형을
아무리 여러번 조각내더라도

80
00:03:10,227 --> 00:03:14,814
전체 넓이는 여전히
작은 조각들의 넓이의 합과 같습니다.

81
00:03:14,814 --> 00:03:17,442
아마 이제 여러분들은
우리가 왜 하필 정사각형을

82
00:03:17,442 --> 00:03:18,971
이렇게 잘랐는지 알게 될 것입니다.

83
00:03:18,971 --> 00:03:20,888
이렇게 해서 얻은 무한 급수는

84
00:03:20,888 --> 00:03:23,356
제노의 여정에서 나온 급수와 똑같아요.

85
00:03:23,356 --> 00:03:25,791
파란색 조각을 계속해서 많이 만들고,

86
00:03:25,791 --> 00:03:27,314
수학적 용어를 사용합니다.

87
00:03:27,314 --> 00:03:30,742
n 이 무한대로 가는 극한을 취하면

88
00:03:30,742 --> 00:03:33,356
전체 사각형은 파란색으로 뒤덮이게 되죠.

89
00:03:33,356 --> 00:03:35,427
하지만 사각형의 넓이는 정확하게 1 이니까

90
00:03:35,427 --> 00:03:38,700
무한 합은 1 이어야만 하죠.

91
00:03:38,700 --> 00:03:39,754
제노의 여정으로 돌아가면,

92
00:03:39,754 --> 00:03:42,370
우리는 제노의 역설이 어떻게 해결되는지 
알 수 있습니다.

93
00:03:42,370 --> 00:03:45,713
무한 급수의 합이 유한한 값일 뿐만 아니라

94
00:03:45,713 --> 00:03:47,745
그 유한의 답은 우리가
상식적으로 생각하는 그 값과

95
00:03:47,745 --> 00:03:50,172
일치한다는 것 입니다.

96
00:03:50,172 --> 00:03:52,877
제노의 여정은 1시간이 걸리죠.