ما هي متناقضة زينون للانقسام؟ - كولم كيليهر

هذا هو زينون من إيليا،

الفيلسوف الإغريقي القديم

المشهور باختراعه لعدد من المتناقضات،

لبراهين كانت تبدو منطقية،

لكن استنتاجاته كانت سخيفة أو متناقضة.

لأزيد من 2000 سنة،

ألهمت ألغاز زينون المحيرة

الرياضياتيين والفلاسفة

لفهم الطبيعة اللانهاية بشكل أفضل.

والتي تعني، "متناقضة التقسيم إلى اثنين"
في اليونان القديمة.

أحد أشهر مسائل زينون

تدعى متناقضة الانقسام،

وهي كالتالي:

بعد يوم طويل من الجلوس والتفكير

قرر زينون أن يسير من بيته إلى الحديقة.

يصفي الهواء النقي ذهنه

ويساعده على التفكير بشكل أفضل.

ومن أجل الوصول إلى الحديقة،

عليه أولا أن يقطع نصف الطريق إلى الحديقة.

هذا الجزء من رحلته

يستغرق وقتا محددا.

بمجرد وصوله إلى نقطة المنتصف،

سيتعين عليه المشي لنفس المسافة المتبقية.

وهذا، مجددا، يستغرق وقتا معينا.

وبمجرد وصوله هناك، سيتعين عليه المشي

لنصف المسافة المتبقية،

وهو ما سيستغرقه قدرا معينا آخر من الوقت.

وهذا يحصل مرارا وتكرارا.

وسترون أنه بإمكاننا أن نستمر
في الأمر إلى ما لا نهاية،

مقسمين أي مسافة متبقية

إلى قطع أصغر فأصغر،

كل منها تستغرق وقتا محددا لقطعها.

إذن، فكم سيستغرقه زينون للوصول للحديقة؟

حسنا، للحصول على النتيجة،
سيتعين عليك جمع المدد الزمنية

لكل جزء من أجزاء رحلته.

والمشكل هو أنه هناك ما لا نهاية له
من هذه الأجزاء المتناهية.

إذن، ألا يجدر بالوقت الإجمالي أن يكون لا متناهيا؟

هذا البرهان، بالمناسبة، عام تماما.

يقول بأن الانتقال من مكان لآخر

يجب أن يستغرق وقتا لا متنهايا.

بعبارة أخرى، يقول بأن
كل أنواع الحركة مستحيلة.

فالنتيجة بشكل واضح غير معقولة،

فأين يكمن الخلل في هذا المنطق؟

لحل هذه المتناقضة،

سيكون من المجدي أن نحول القصة
إلى مسألة رياضيات.

فلنفترض أن منزل زينون يبعد
بمسافة ميل عن الحديقة

وأن زينون يمشي بسرعة ميل في الساعة.

الفطرة السليمة تخبرنا بأن مدة الرحلة

يجب أن تكون ساعة.

لكن، دعنا نأخذ الأمور من منظور زينون

ونقسم الرحلة إلى أجزاء.

النصف الأول من الرحلة
سيستغرق نصف ساعة،

والجزء الموالي سيستغرق ربع ساعة،

والثالث سيستغرق ثمن ساعة،

وهكذا دواليك.

بجمع كل هذه المدد،

نحصل على متتالية تبدو هكذا.

وقد يقول زينون، "الآن،

بما أنه هناك عدد لا نهائي من الأطراف

في الجهة اليمنى من المعادلة،

وكل طرف منها محدد،

فإن المجموع يجب أن يساوي
اللانهاية، صحيح؟"

وهذا هو مكمن الخلل في حِجاج زينون.

وكما قد أدرك الرياضياتيون لاحقا،

فإنه من الممكن جمع عدد لا نهائي
من الأطراف محددة القدر

والحصول في النهاية على جواب محدد القدر.

قد تتساءل "كيف ذلك؟"

حسنا، دعنا نفكر في الأمر بهذه الطريقة.

دعونا نبدأ بمربع مساحته متر.

الآن، دعونا نقسمه للنصف،

ثم نقسم ما تبقى للنصف،

وهكذا دواليك.

ونحن نقوم بهذا،

فلنتتبع كل مساحات القطع.

التقطيع الأولى ينتج قطعتين،

كل منها بمساحة النصف

والتقطيعة الموالية تقسم أحد النصفين إلى النصف،

وهكذا.

لكن، مهما كان عدد المرات
التي قسمنا إليها المربعات،

فإن المساحة الإجمالية لا تزال
هي مجموع مساحات كل القطع.

يمكنكم الآن أن تروا سبب اختيارنا لهذه الطريقة

لتقسيم مربع.

حصلنا عى نفس المتتالية اللامتناهية

كما في مدة رحلة زينون.

ونحن نشكل المزيد والمزيد
من هذه القطع الزرقاء،

وباستخدام المصطلحات الرياضياتية،

ونحن نأخذ النهاية باقتراب n من اللانهاية،

يصبح المربع بأكمله مغطى بالأزرق,

لكن مساحة المربع هي وحدة واحدة فقط،

وهكذا، فإن المجموع اللانهائي،
يجب أن يساوي واحدا.

وبالعودة إلى رحلة زينون،

نستطيع أن نرى كيف يمكن حل المتناقضة.

ليس فقط أن المتتالية اللامتناهية لها مجموع مقدّر،

لكن كذلك أن ذلك الجواب هو نفس

ما تقول الفطرة السليمة أنه صحيح.

تستغرق رحلة زينون ساعة واحدة.