Выделение полного квадрата. Решение уравнений

В данном видео показано, как решить уравнение методом выделения полного квадрата.
Это видео - русская версия видео «Solving Quadratic Equations by Completing the Square» Академии Хана (http://www.khanacademy.org/video?v=bNQY0z76M5A). Перевод и дублирование выполнены командой проектов «Edukit» (http://www.edukit.org.ua) и «Study Planner» (http://www.studyplanner.org).

This video is a Russian dubbed version of the Khan Academy video "Solving Quadratic Equations by Completing the Square
" (http://www.khanacademy.org/video?v=bNQY0z76M5A). The translation and sampling are made by the "Edukit" (http://www.edukit.org.ua) and "Study Planner" team (http://www.studyplanner.org).

Наша страница на Facebook - http://www.facebook.com/KhanAcademyRussian

Здравствуйте!

На этом уроке мы рассмотрим метод выделения полного квадрата.

Давайте запишем: выделение полного квадрата.

И самое интересное то, что этот метод работает для любого квадратного уравнения

и является основой для формулы корней квадратного уравнения.

Возможно, на следующем уроке

с помощью метода выделения полного квадрата

мы докажем формулу корней квадратного уравнения.

Но перед этим, давайте разберемся,

что вообще представляет собой этот способ и в чем его суть.

Предположим у нас есть квадратное уравнение

х в квадрате минус 4х равно 5-ти.

Я неспроста оставила здесь место.

На прошлом уроке мы говорили о том, что это уравнение можно было бы легко решить,

если бы в левой части был полный квадрат.

В этом и заключается метод выделения полного квадрата.

Нам нужно прибавить что-то или отнять и как-то получить в левой части полный квадрат.

Как же нам это сделать?

Чтобы в левой части получился полный квадрат,

нам нужно, чтобы здесь был квадрат такого числа,

которое, умноженное на 2, будет равно минус 4-ем.

Это надо запомнить.

Думаю, все станет понятней после того, как мы рассмотрим несколько примеров.

Я хочу, чтобы х в квадрате минус 4х плюс еще какое-то число было равно х минус а в квадрате.

Нам нужно найти а. Мы не знаем пока, чему оно равно.

Но мы знаем кое-что другое.

Давайте возведем х минус а в квадрат.

Это будет х в квадрате минус 2а плюс а в квадрате.

Если мы посмотрим вот сюда…

Простите, здесь должно быть 2ах. Средний член должен быть равен 2ах.

А это должно быть а в квадрате.

Следовательно, это число а равно половине коэффициента перед х,

то есть половине от минус 4-ех.

а равно минус 2-ум. Правильно?

Ведь 2 умножить на минус 2 равно минус 4-ем.

а равно минус 2-ум.

Если а равно минус 2-ум, то чему тогда равно а в квадрате?

Тогда а в квадрате будет равно 4-ем.

Возможно, сейчас это кажется для вас сложным, но я привожу вам логическое объяснение.

По сути, мы смотрим на коэффициент перед х и берем его половину.

А чему равна половина от минус 4-ех? Это минус 2.

Значит, мы можем сказать, что а равно минус 2-ум.

То же самое у нас было и здесь. Теперь возводим эту половину в квадрат.

Если мы возведем в квадрат а, то получим 4.

Следовательно, вот сюда мы прибавляем 4.

С самого первого урока, на котором мы только познакомились с уравнениями,

мы раз и навсегда запомнили,

что нельзя что-то прибавить или отнять только от одной части уравнения.

Если х в квадрате минус 4х равно 5-ти,

то х в квадрате минус 4х плюс 4 уже не будет равно 5-ти.

Это будет равно 5-ти плюс 4.

Мы прибавили 4 к левой части уравнения, чтобы здесь получился полный квадрат.

Но если мы что-то прибавляем к одной части уравнения,

мы это же что-то должны прибавить и к другой части.

Теперь перед нами уравнение, подобное которому мы уже решали.

Что у нас в левой части?

Давайте, наверное, заново перепишем это выражение.

х в квадрате минус 4х плюс 4 равно 9-ти.

Мы всего лишь прибавили 4 к обеим частям уравнения.

А прибавляли мы 4 для того, чтобы в левой части получился полный квадрат.

Какое число, умноженное само на себя, равно 4-ем,

и в сумме с самим собой равно минус 4-ем?

Мы уже отвечали на этот вопрос. Это минус 2.

Значит, в левой части мы можем записать х минус 2 умножить на х минус 2.

И это равно 9-ти.

Или же мы можем сказать, что х минус 2 в квадрате равно 9-ти.

Можно было предыдущий шаг и не записывать.

Теперь, если мы извлечем корень квадратный из обеих частей,

то это будет х минус 2 равно плюс-минус 3-ем.

Прибавим 2 к обеим частям уравнения и получим: х равен 2 плюс или минус 3.

А это означает, что х может быть равен 2-ум плюс 3,

то есть 5-ти, или х может быть равен 2-ум минус 3, то есть минус 1.

Вот мы и справились с заданием.

Ну, а сейчас давайте кое-что проясним.

В принципе мы могли в этом случае и не использовать метод выделения полного квадрата.

Давайте перепишем первоначальное уравнение: х в квадрате минус 4х равно 5-ти.

Мы могли сначала отнять 5 от обеих частей уравнения.

Тогда это было бы х в квадрате минус 4х минус 5 равно 0-лю.

И если мы возьмем числа минус 5 и 1, то перемножив их, мы получим минус 5,

а сложим эти два числа – получим минус 4.

Следовательно, мы можем сказать, что это то же самое,

что и х минус 5 умножить на х плюс 1.

И, конечно же, это равно 0-лю.

Тогда х может быть равен 5-ти или х может быть равен минус 1.

В этом случае второй способ решения быстрее.

Но чем хорош первый способ, так это тем,

что его можно применять при решении абсолютно любых квадратный уравнений.

Он всегда будет работать независимо от того,

какие коэффициенты и насколько сложное само уравнение.

Давайте я вам это докажу. Решим еще одно уравнение.

Если бы мы решали его традиционным способом

(я имею в виду разложение на множители, в особенности метод группировки),

то конечно, пришлось бы хорошо попотеть…

Итак, допустим, нам нужно решить уравнение

10 х в квадрате минус 30х минус 8 равно 0-лю.

И сразу же с самого начала можно разделить обе части уравнения на 2.

Это немного упростит нам задачу.

Итак, делим обе части на 2. Мы все делим на 2.

В итоге у нас получится: 5 х в квадрате минус 15х минус 4 равно 0-лю.

Как видите, перед х в квадрате все еще коэффициент, отличный от 1.

Поэтому решить уравнение способом группировки будет довольно сложно.

Так что давайте применим метод выделения полного квадрата.

Но перед этим давайте разделим обе части уравнения еще и на 5,

чтобы в итоге перед х в квадрате получился коэффициент 1.

Вы скоро поймете, в чем превосходство этого метода перед другими.

Делим обе части на 5. Хотя мы могли еще в самом начале все разделить на 10.

Но я хотела показать, что, даже упростив выражение,

мы бы вряд ли смогли легко его решить разложением на множители.

Если мы разделим все на 5, то у нас получится:

х в квадрате минус 3х минус 4/5, и это равно 0-лю.

Вы, вероятно, скажете, что точно также мы могли разделить сразу все уравнение на 10,

тогда перед х в квадрате был бы коэффициент 1,

и могли бы спокойно решить это уравнение способом группировки.

Но обратите внимание, константа равна минус 4/5,

поэтому разложить на множители все-таки будет сложновато.

Не просто ответить на вопрос:

произведение каких двух чисел равно минус 4/5, а сумма – минус 3-ем.

Решить это уравнение разложением на множители было бы довольно трудно.

А самый лучший способ решения – применить метод выделения полного квадрата.

Давайте подумаем, как можно это выражение преобразовать в полный квадрат.

Существует два способа. Я покажу оба, но, пожалуй, не на этом уроке.

Сейчас мы рассмотрим тот метод, которым я в основном пользуюсь.

Для начала перенесем минус 4/5 в правую часть уравнения.

Для этого прибавим 4/5 к обеим частям уравнения.

Можно, конечно, и не переносить минус 4/5, но мне просто так больше нравится.

Что в итоге получится после того, как мы прибавим 4/5 к обеим частям?

В левой части будет только х в квадрате минус 3х, 4/5 уже не будет.

Оставим немного места. И это равно 4/5.

Теперь давайте выражение в левой части, также как мы делали и в предыдущем примере,

преобразуем в полный квадрат двучлена.

Как нам это сделать? Какое число, умноженное на 2, равно минус 3-ем?

Нам нужно узнать, какое число, умноженное на 2, равно минус 3-ем.

Другими словами, нам нужно просто взять минус 3 и разделить на 2.

А это равно минус 3/2.

Теперь мы возводим минус 3/2 в квадрат.

Давайте, наверное, как и в предыдущем примере запишем, что а равно минус 3/2.

А что получится, если мы минус 3/2 возведем в квадрат? Получится плюс 9/4.

Я всего лишь взяла половину коэффициента перед х, возвела ее в квадрат

и получила 9/4, число, которое нужно прибавить к левой части уравнения.

Все это мы делаем для того, чтобы здесь получился полный квадрат.

А все, что мы делаем с одной частью уравнения, мы должны проделать и с другой.

Итак, равно минус 3/2.

Если мы здесь прибавляем 9/4, то здесь мы тоже должны прибавить 9/4.

И теперь наше уравнение будет выглядеть следующим образом:

х в квадрате минус 3х плюс 9/4 равно… запишем с общим знаменателем.

4/5 – это то же самое, что и 16/20, правильно?

Мы всего лишь умножили на 4 и числитель, и знаменатель.

… плюс …в знаменателе 20.

9/4 – это то же самое, что и 45/20.

А чему равно 16 плюс 45?

Согласна, числа непростые, но, что поделаешь.

Итак, 16 плюс 45 – это 55… 61.

Значит, это равно 61/20.

Давайте перепишем уравнение:

х в квадрате минус 3х плюс 9/4 равно 61/20.

Ну, и число!

В левой части теперь полный квадрат.

Это то же самое, что и х минус 3/2 в квадрате.

Если мы умножим минус 3/2 на минус 3/2, то получим 9/4,

а сложим минус 3/2 и минус 3/2, то получим минус 3.

И этот квадрат равен 61/20.

Если мы извлечем корень квадратный из обеих частей, то получим:

х минус 3/2 равно плюс или минус корню квадратному из 61/20.

Теперь прибавим 3/2 к обеим частям уравнения.

И в результате х будет равен 3/2 плюс или минус

корень квадратный из 61/20.

Как видите, не простое число получилось.

И если бы мы решали уравнение методом разложения на множители,

то вряд ли бы удалось его найти, по крайней мере, мне.

Если же вы хотите узнать приблизительные значения х,

то можете воспользоваться калькулятором.

Все это мы удаляем. Сначала найдем значение с плюсом.

Итак, 3/2 плюс корень квадратный из 61/20

равно 3,2464.

Округлим и запишем 3,246.

Значит, х может быть равен приблизительно 3,246
или…

мы вычислили только первое значение с плюсом, теперь давайте вычислим значение с минусом.

Мы просто поменяем знак с плюса на минус вот здесь.

И что получается? Получается минус 0,246.

Значит, или минус 0,246.

Вы можете проверить, на самом ли деле эти два значения удовлетворяют первоначальному уравнению.

Первоначальное уравнение было у нас вот здесь.

Мы проверим только одно решение. Возьмем второе.

Вместо того, чтобы полностью вводить второе значение,

мы запишем ans в квадрате («ans» от «answer», что означает «ответ»).

Значит, ans в квадрате минус 3 умножить на ans минус 4/5 равно…

Я сейчас объясню, почему получился такой ответ.

Вот это у нас число не полностью, там еще много цифр после запятой.

И если мы подставляем число вот в таком сокращенном виде,

то получается 1 умножить на 10 в минус 14 степени, а это 0 целых 13 нулей и 1.

Ноль, запятая, 13 нулей и 1. Можно сказать, почти 0.

Конечно же, если мы подставим число полностью со всеми цифрами после запятой,

то в результате мы на самом деле получим 0.

Надеюсь, теперь вы тоже считаете метод выделения полного квадрата очень полезным.

Мы можем применять его при решении абсолютно любых квадратных уравнений.

И как я уже говорила, на этом методе основывается формула корней квадратного уравнения.

Наше занятие подошло к концу. До скорых встреч!