WEBVTT

00:00:00.383 --> 00:00:01.137
Здравствуйте!

00:00:01.137 --> 00:00:04.519
На этом уроке мы рассмотрим метод выделения полного квадрата.

00:00:04.519 --> 00:00:07.783
Давайте запишем: выделение полного квадрата.

00:00:07.783 --> 00:00:12.248
И самое интересное то, что этот метод работает для любого квадратного уравнения

00:00:12.248 --> 00:00:16.371
и является основой для формулы корней квадратного уравнения.

00:00:16.371 --> 00:00:17.373
Возможно, на следующем уроке

00:00:17.373 --> 00:00:19.903
с помощью метода выделения полного квадрата

00:00:19.903 --> 00:00:23.255
мы докажем формулу корней квадратного уравнения.

00:00:23.255 --> 00:00:24.939
Но перед этим, давайте разберемся,

00:00:24.939 --> 00:00:29.496
что вообще представляет собой этот способ и в чем его суть.

00:00:29.496 --> 00:00:31.990
Предположим у нас есть квадратное уравнение

00:00:31.990 --> 00:00:35.288
х в квадрате минус 4х равно 5-ти.

00:00:35.288 --> 00:00:37.148
Я неспроста оставила здесь место.

00:00:37.148 --> 00:00:41.614
На прошлом уроке мы говорили о том, что это уравнение можно было бы легко решить,

00:00:41.614 --> 00:00:44.779
если бы в левой части был полный квадрат.

00:00:44.779 --> 00:00:48.042
В этом и заключается метод выделения полного квадрата.

00:00:48.042 --> 00:00:52.974
Нам нужно прибавить что-то или отнять и как-то получить в левой части полный квадрат.

00:00:52.974 --> 00:00:54.441
Как же нам это сделать?

00:00:54.441 --> 00:00:56.968
Чтобы в левой части получился полный квадрат,

00:00:56.968 --> 00:01:00.057
нам нужно, чтобы здесь был квадрат такого числа,

00:01:00.057 --> 00:01:02.893
которое, умноженное на 2, будет равно минус 4-ем.

00:01:02.893 --> 00:01:04.239
Это надо запомнить.

00:01:04.239 --> 00:01:08.503
Думаю, все станет понятней после того, как мы рассмотрим несколько примеров.

00:01:08.503 --> 00:01:15.758
Я хочу, чтобы х в квадрате минус 4х плюс еще какое-то число было равно х минус а в квадрате.

00:01:15.758 --> 00:01:19.093
Нам нужно найти а. Мы не знаем пока, чему оно равно.

00:01:19.093 --> 00:01:21.194
Но мы знаем кое-что другое.

00:01:21.194 --> 00:01:24.079
Давайте возведем х минус а в квадрат.

00:01:24.079 --> 00:01:28.820
Это будет х в квадрате минус 2а плюс а в квадрате.

00:01:28.820 --> 00:01:31.126
Если мы посмотрим вот сюда…

00:01:31.126 --> 00:01:37.485
Простите, здесь должно быть 2ах. Средний член должен быть равен 2ах.

00:01:37.485 --> 00:01:40.369
А это должно быть а в квадрате.

00:01:40.369 --> 00:01:44.566
Следовательно, это число а равно половине коэффициента перед х,

00:01:44.566 --> 00:01:46.729
то есть половине от минус 4-ех.

00:01:46.729 --> 00:01:49.134
а равно минус 2-ум. Правильно?

00:01:49.134 --> 00:01:52.564
Ведь 2 умножить на минус 2 равно минус 4-ем.

00:01:52.564 --> 00:01:54.164
а равно минус 2-ум.

00:01:54.164 --> 00:01:58.799
Если а равно минус 2-ум, то чему тогда равно а в квадрате?

00:01:58.799 --> 00:02:01.373
Тогда а в квадрате будет равно 4-ем.

00:02:01.373 --> 00:02:06.369
Возможно, сейчас это кажется для вас сложным, но я привожу вам логическое объяснение.

00:02:06.369 --> 00:02:10.251
По сути, мы смотрим на коэффициент перед х и берем его половину.

00:02:10.251 --> 00:02:13.873
А чему равна половина от минус 4-ех? Это минус 2.

00:02:13.873 --> 00:02:17.348
Значит, мы можем сказать, что а равно минус 2-ум.

00:02:17.348 --> 00:02:21.633
То же самое у нас было и здесь. Теперь возводим эту половину в квадрат.

00:02:21.633 --> 00:02:25.064
Если мы возведем в квадрат а, то получим 4.

00:02:25.064 --> 00:02:28.301
Следовательно, вот сюда мы прибавляем 4.

00:02:28.301 --> 00:02:32.177
С самого первого урока, на котором мы только познакомились с уравнениями,

00:02:32.177 --> 00:02:33.949
мы раз и навсегда запомнили,

00:02:33.949 --> 00:02:38.084
что нельзя что-то прибавить или отнять только от одной части уравнения.

00:02:38.084 --> 00:02:41.889
Если х в квадрате минус 4х равно 5-ти,

00:02:41.889 --> 00:02:46.646
то х в квадрате минус 4х плюс 4 уже не будет равно 5-ти.

00:02:46.646 --> 00:02:49.600
Это будет равно 5-ти плюс 4.

00:02:49.600 --> 00:02:53.933
Мы прибавили 4 к левой части уравнения, чтобы здесь получился полный квадрат.

00:02:53.933 --> 00:02:57.062
Но если мы что-то прибавляем к одной части уравнения,

00:02:57.062 --> 00:03:01.777
мы это же что-то должны прибавить и к другой части.

00:03:01.777 --> 00:03:05.066
Теперь перед нами уравнение, подобное которому мы уже решали.

00:03:05.066 --> 00:03:07.457
Что у нас в левой части?

00:03:07.457 --> 00:03:10.189
Давайте, наверное, заново перепишем это выражение.

00:03:10.189 --> 00:03:14.293
х в квадрате минус 4х плюс 4 равно 9-ти.

00:03:14.293 --> 00:03:17.434
Мы всего лишь прибавили 4 к обеим частям уравнения.

00:03:17.434 --> 00:03:23.106
А прибавляли мы 4 для того, чтобы в левой части получился полный квадрат.

00:03:23.106 --> 00:03:26.608
Какое число, умноженное само на себя, равно 4-ем,

00:03:26.608 --> 00:03:29.592
и в сумме с самим собой равно минус 4-ем?

00:03:29.592 --> 00:03:32.621
Мы уже отвечали на этот вопрос. Это минус 2.

00:03:32.621 --> 00:03:38.192
Значит, в левой части мы можем записать х минус 2 умножить на х минус 2.

00:03:38.192 --> 00:03:39.490
И это равно 9-ти.

00:03:39.490 --> 00:03:44.157
Или же мы можем сказать, что х минус 2 в квадрате равно 9-ти.

00:03:44.157 --> 00:03:46.453
Можно было предыдущий шаг и не записывать.

00:03:46.453 --> 00:03:49.643
Теперь, если мы извлечем корень квадратный из обеих частей,

00:03:49.643 --> 00:03:53.369
то это будет х минус 2 равно плюс-минус 3-ем.

00:03:53.369 --> 00:03:59.223
Прибавим 2 к обеим частям уравнения и получим: х равен 2 плюс или минус 3.

00:03:59.223 --> 00:04:02.668
А это означает, что х может быть равен 2-ум плюс 3,

00:04:02.668 --> 00:04:07.752
то есть 5-ти, или х может быть равен 2-ум минус 3, то есть минус 1.

00:04:07.752 --> 00:04:09.286
Вот мы и справились с заданием.

00:04:09.286 --> 00:04:11.739
Ну, а сейчас давайте кое-что проясним.

00:04:11.739 --> 00:04:16.339
В принципе мы могли в этом случае и не использовать метод выделения полного квадрата.

00:04:16.339 --> 00:04:22.688
Давайте перепишем первоначальное уравнение: х в квадрате минус 4х равно 5-ти.

00:04:22.688 --> 00:04:25.782
Мы могли сначала отнять 5 от обеих частей уравнения.

00:04:25.782 --> 00:04:31.088
Тогда это было бы х в квадрате минус 4х минус 5 равно 0-лю.

00:04:31.088 --> 00:04:36.623
И если мы возьмем числа минус 5 и 1, то перемножив их, мы получим минус 5,

00:04:36.623 --> 00:04:39.653
а сложим эти два числа – получим минус 4.

00:04:39.653 --> 00:04:42.152
Следовательно, мы можем сказать, что это то же самое,

00:04:42.152 --> 00:04:45.347
что и х минус 5 умножить на х плюс 1.

00:04:45.347 --> 00:04:47.434
И, конечно же, это равно 0-лю.

00:04:47.434 --> 00:04:52.856
Тогда х может быть равен 5-ти или х может быть равен минус 1.

00:04:52.856 --> 00:04:55.754
В этом случае второй способ решения быстрее.

00:04:55.754 --> 00:04:57.882
Но чем хорош первый способ, так это тем,

00:04:57.882 --> 00:05:02.389
что его можно применять при решении абсолютно любых квадратный уравнений.

00:05:02.389 --> 00:05:04.609
Он всегда будет работать независимо от того,

00:05:04.609 --> 00:05:08.927
какие коэффициенты и насколько сложное само уравнение.

00:05:08.927 --> 00:05:12.483
Давайте я вам это докажу. Решим еще одно уравнение.

00:05:12.483 --> 00:05:15.115
Если бы мы решали его традиционным способом

00:05:15.115 --> 00:05:19.282
(я имею в виду разложение на множители, в особенности метод группировки),

00:05:19.282 --> 00:05:21.896
то конечно, пришлось бы хорошо попотеть…

00:05:21.896 --> 00:05:24.911
Итак, допустим, нам нужно решить уравнение

00:05:24.911 --> 00:05:29.231
10 х в квадрате минус 30х минус 8 равно 0-лю.

00:05:29.231 --> 00:05:33.829
И сразу же с самого начала можно разделить обе части уравнения на 2.

00:05:33.829 --> 00:05:35.927
Это немного упростит нам задачу.

00:05:35.927 --> 00:05:39.781
Итак, делим обе части на 2. Мы все делим на 2.

00:05:39.781 --> 00:05:45.808
В итоге у нас получится: 5 х в квадрате минус 15х минус 4 равно 0-лю.

00:05:45.808 --> 00:05:50.114
Как видите, перед х в квадрате все еще коэффициент, отличный от 1.

00:05:50.114 --> 00:05:53.899
Поэтому решить уравнение способом группировки будет довольно сложно.

00:05:53.899 --> 00:05:57.057
Так что давайте применим метод выделения полного квадрата.

00:05:57.057 --> 00:06:01.152
Но перед этим давайте разделим обе части уравнения еще и на 5,

00:06:01.152 --> 00:06:05.096
чтобы в итоге перед х в квадрате получился коэффициент 1.

00:06:05.096 --> 00:06:09.130
Вы скоро поймете, в чем превосходство этого метода перед другими.

00:06:09.130 --> 00:06:14.353
Делим обе части на 5. Хотя мы могли еще в самом начале все разделить на 10.

00:06:14.353 --> 00:06:17.147
Но я хотела показать, что, даже упростив выражение,

00:06:17.147 --> 00:06:20.979
мы бы вряд ли смогли легко его решить разложением на множители.

00:06:20.979 --> 00:06:24.035
Если мы разделим все на 5, то у нас получится:

00:06:24.035 --> 00:06:28.935
х в квадрате минус 3х минус 4/5, и это равно 0-лю.

00:06:28.935 --> 00:06:34.590
Вы, вероятно, скажете, что точно также мы могли разделить сразу все уравнение на 10,

00:06:34.590 --> 00:06:38.434
тогда перед х в квадрате был бы коэффициент 1,

00:06:38.434 --> 00:06:42.455
и могли бы спокойно решить это уравнение способом группировки.

00:06:42.455 --> 00:06:46.606
Но обратите внимание, константа равна минус 4/5,

00:06:46.606 --> 00:06:49.655
поэтому разложить на множители все-таки будет сложновато.

00:06:49.655 --> 00:06:50.954
Не просто ответить на вопрос:

00:06:50.954 --> 00:06:56.217
произведение каких двух чисел равно минус 4/5, а сумма – минус 3-ем.

00:06:56.217 --> 00:07:00.306
Решить это уравнение разложением на множители было бы довольно трудно.

00:07:00.306 --> 00:07:05.453
А самый лучший способ решения – применить метод выделения полного квадрата.

00:07:05.453 --> 00:07:09.323
Давайте подумаем, как можно это выражение преобразовать в полный квадрат.

00:07:09.323 --> 00:07:14.219
Существует два способа. Я покажу оба, но, пожалуй, не на этом уроке.

00:07:14.219 --> 00:07:17.641
Сейчас мы рассмотрим тот метод, которым я в основном пользуюсь.

00:07:17.641 --> 00:07:21.828
Для начала перенесем минус 4/5 в правую часть уравнения.

00:07:21.828 --> 00:07:25.006
Для этого прибавим 4/5 к обеим частям уравнения.

00:07:25.006 --> 00:07:30.239
Можно, конечно, и не переносить минус 4/5, но мне просто так больше нравится.

00:07:30.239 --> 00:07:34.639
Что в итоге получится после того, как мы прибавим 4/5 к обеим частям?

00:07:34.639 --> 00:07:40.935
В левой части будет только х в квадрате минус 3х, 4/5 уже не будет.

00:07:40.935 --> 00:07:44.768
Оставим немного места. И это равно 4/5.

00:07:44.768 --> 00:07:49.082
Теперь давайте выражение в левой части, также как мы делали и в предыдущем примере,

00:07:49.082 --> 00:07:51.523
преобразуем в полный квадрат двучлена.

00:07:51.523 --> 00:07:56.017
Как нам это сделать? Какое число, умноженное на 2, равно минус 3-ем?

00:07:56.017 --> 00:08:00.106
Нам нужно узнать, какое число, умноженное на 2, равно минус 3-ем.

00:08:00.106 --> 00:08:04.218
Другими словами, нам нужно просто взять минус 3 и разделить на 2.

00:08:04.218 --> 00:08:06.608
А это равно минус 3/2.

00:08:06.608 --> 00:08:09.522
Теперь мы возводим минус 3/2 в квадрат.

00:08:09.522 --> 00:08:14.751
Давайте, наверное, как и в предыдущем примере запишем, что а равно минус 3/2.

00:08:14.751 --> 00:08:21.222
А что получится, если мы минус 3/2 возведем в квадрат? Получится плюс 9/4.

00:08:21.222 --> 00:08:24.973
Я всего лишь взяла половину коэффициента перед х, возвела ее в квадрат

00:08:24.973 --> 00:08:30.137
и получила 9/4, число, которое нужно прибавить к левой части уравнения.

00:08:30.137 --> 00:08:34.184
Все это мы делаем для того, чтобы здесь получился полный квадрат.

00:08:34.184 --> 00:08:38.539
А все, что мы делаем с одной частью уравнения, мы должны проделать и с другой.

00:08:38.539 --> 00:08:41.275
Итак, равно минус 3/2.

00:08:41.275 --> 00:08:47.305
Если мы здесь прибавляем 9/4, то здесь мы тоже должны прибавить 9/4.

00:08:47.305 --> 00:08:50.409
И теперь наше уравнение будет выглядеть следующим образом:

00:08:50.409 --> 00:08:56.095
х в квадрате минус 3х плюс 9/4 равно… запишем с общим знаменателем.

00:08:56.095 --> 00:08:59.838
4/5 – это то же самое, что и 16/20, правильно?

00:08:59.838 --> 00:09:03.161
Мы всего лишь умножили на 4 и числитель, и знаменатель.

00:09:03.161 --> 00:09:04.969
… плюс …в знаменателе 20.

00:09:04.969 --> 00:09:11.648
9/4 – это то же самое, что и 45/20.

00:09:11.648 --> 00:09:14.118
А чему равно 16 плюс 45?

00:09:14.118 --> 00:09:17.001
Согласна, числа непростые, но, что поделаешь.

00:09:17.001 --> 00:09:21.495
Итак, 16 плюс 45 – это 55… 61.

00:09:21.495 --> 00:09:24.471
Значит, это равно 61/20.

00:09:24.471 --> 00:09:25.960
Давайте перепишем уравнение:

00:09:25.960 --> 00:09:31.343
х в квадрате минус 3х плюс 9/4 равно 61/20.

00:09:31.343 --> 00:09:33.841
Ну, и число!

00:09:33.841 --> 00:09:35.477
В левой части теперь полный квадрат.

00:09:35.477 --> 00:09:38.736
Это то же самое, что и х минус 3/2 в квадрате.

00:09:38.736 --> 00:09:43.403
Если мы умножим минус 3/2 на минус 3/2, то получим 9/4,

00:09:43.403 --> 00:09:47.626
а сложим минус 3/2 и минус 3/2, то получим минус 3.

00:09:47.626 --> 00:09:51.279
И этот квадрат равен 61/20.

00:09:51.279 --> 00:09:55.105
Если мы извлечем корень квадратный из обеих частей, то получим:

00:09:55.105 --> 00:10:01.078
х минус 3/2 равно плюс или минус корню квадратному из 61/20.

00:10:01.078 --> 00:10:04.214
Теперь прибавим 3/2 к обеим частям уравнения.

00:10:04.214 --> 00:10:07.924
И в результате х будет равен 3/2 плюс или минус

00:10:07.924 --> 00:10:11.091
корень квадратный из 61/20.

00:10:11.091 --> 00:10:13.542
Как видите, не простое число получилось.

00:10:13.542 --> 00:10:16.991
И если бы мы решали уравнение методом разложения на множители,

00:10:16.991 --> 00:10:20.477
то вряд ли бы удалось его найти, по крайней мере, мне.

00:10:20.477 --> 00:10:23.759
Если же вы хотите узнать приблизительные значения х,

00:10:23.759 --> 00:10:26.459
то можете воспользоваться калькулятором.

00:10:26.459 --> 00:10:30.927
Все это мы удаляем. Сначала найдем значение с плюсом.

00:10:30.927 --> 00:10:36.542
Итак, 3/2 плюс корень квадратный из 61/20

00:10:36.542 --> 00:10:42.533
равно 3,2464.

00:10:42.533 --> 00:10:46.717
Округлим и запишем 3,246.

00:10:46.717 --> 00:10:53.391
Значит, х может быть равен приблизительно 3,246 
или…

00:10:53.391 --> 00:10:58.787
мы вычислили только первое значение с плюсом, теперь давайте вычислим значение с минусом.

00:10:58.787 --> 00:11:02.242
Мы просто поменяем знак с плюса на минус вот здесь.

00:11:02.242 --> 00:11:08.014
И что получается? Получается минус 0,246.

00:11:08.014 --> 00:11:13.608
Значит, или минус 0,246.

00:11:13.608 --> 00:11:18.672
Вы можете проверить, на самом ли деле эти два значения удовлетворяют первоначальному уравнению.

00:11:18.672 --> 00:11:21.646
Первоначальное уравнение было у нас вот здесь.

00:11:21.646 --> 00:11:24.878
Мы проверим только одно решение. Возьмем второе.

00:11:24.878 --> 00:11:27.722
Вместо того, чтобы полностью вводить второе значение,

00:11:27.722 --> 00:11:33.486
мы запишем ans в квадрате («ans» от «answer», что означает «ответ»).

00:11:33.486 --> 00:11:39.680
Значит, ans в квадрате минус 3 умножить на ans минус 4/5 равно…

00:11:39.680 --> 00:11:43.093
Я сейчас объясню, почему получился такой ответ.

00:11:43.093 --> 00:11:47.334
Вот это у нас число не полностью, там еще много цифр после запятой.

00:11:47.334 --> 00:11:50.735
И если мы подставляем число вот в таком сокращенном виде,

00:11:50.735 --> 00:11:58.893
то получается 1 умножить на 10 в минус 14 степени, а это 0 целых 13 нулей и 1.

00:11:58.893 --> 00:12:03.249
Ноль, запятая, 13 нулей и 1. Можно сказать, почти 0.

00:12:03.249 --> 00:12:07.330
Конечно же, если мы подставим число полностью со всеми цифрами после запятой,

00:12:07.330 --> 00:12:10.597
то в результате мы на самом деле получим 0.

00:12:10.597 --> 00:12:15.736
Надеюсь, теперь вы тоже считаете метод выделения полного квадрата очень полезным.

00:12:15.736 --> 00:12:19.849
Мы можем применять его при решении абсолютно любых квадратных уравнений.

00:12:19.849 --> 00:12:25.450
И как я уже говорила, на этом методе основывается формула корней квадратного уравнения.

00:12:25.450 --> 00:12:28.437
Наше занятие подошло к концу. До скорых встреч!