< Return to Video

Biểu thị mô hình dân số bằng hàm số mũ

  • 0:01 - 0:02
    Hãy cùng nghĩ về
  • 0:02 - 0:07
    mô hình dân số và mình có vài bức hình
  • 0:07 - 0:09
    của 1 trong những người nổi tiếng nhất,
  • 0:09 - 0:11
    và quý ông ở đây
  • 0:11 - 0:15
    là người nổi tiếng nhất khi người ta nhắc đến
  • 0:15 - 0:18
    dân sô và giới hạn tăng trưởng của dân số.
  • 0:18 - 0:19
    Đây là Thomas Malthus.
  • 0:19 - 0:24
    Ông ấy là 1 giáo sĩ, nhà văn và học giả người Anh
  • 0:25 - 0:29
    vào cuối những năm 60 của thế kỷ 18,
  • 0:29 - 0:31
    đầu thế kỷ 19.
  • 0:31 - 0:33
    Ông ấy đã thay đổi khái niệm
  • 0:33 - 0:35
    rằng dân số có thể tăng trưởng không giới hạn
  • 0:35 - 0:37
    và thông qua công nghệ, chúng ta
  • 0:37 - 0:39
    có thể nuôi sống bản thân
  • 0:39 - 0:41
    và rằng môi trường cuối cùng cũng phải
  • 0:41 - 0:44
    đặt giới hạn cho mức độ
  • 0:44 - 0:46
    tăng trưởng tối đa của dân số.
  • 0:47 - 0:49
    P.F.Verhulst,
  • 0:50 - 0:51
    ...
  • 0:51 - 0:56
    1 nhà toán học người Bỉ đã đọc nghiên cứu của Malthus
  • 0:57 - 0:59
    và thử dựng thành mô hình các tính chất
  • 1:00 - 1:01
    mà Malthus đề cập
  • 1:02 - 1:04
    rằng khi không có ràng buộc bởi môi trường,
  • 1:04 - 1:07
    dân số sẽ tăng trưởng lũy tiến
  • 1:07 - 1:09
    nhưng đến khi nó tiếp cận giới hạn
  • 1:10 - 1:11
    môi trường đã đặt ra,
  • 1:11 - 1:13
    nó sẽ tiến gần đến tiệm cận
  • 1:13 - 1:17
    của 1 dân số khác.
  • 1:17 - 1:18
    Malthus thì không nghĩ
  • 1:18 - 1:20
    nó sẽ trở thành tiệm cận bằng phẳng
  • 1:20 - 1:21
    Ông ấy cho rằng dân số
  • 1:21 - 1:22
    sẽ vượt qua khỏi giới hạn
  • 1:22 - 1:24
    và sẽ có những thiên tai
  • 1:24 - 1:26
    rồi dân số sẽ hạ thẳng xuống dưới giới hạn
  • 1:26 - 1:29
    và dao động quanh đó
  • 1:29 - 1:31
    khi những thiên tai tiếp theo xảy ra.
  • 1:31 - 1:35
    Malthus là 1 người khá "lạc quan" nhỉ,
  • 1:35 - 1:37
    nhưng chúng ta hãy dùng toán học
  • 1:37 - 1:39
    và 1 ít phương trình vi phân
  • 1:39 - 1:42
    mặc dù những phương trình vi phân này
  • 1:42 - 1:44
    cũng không quá phức tạp để giải thích dân số.
  • 1:44 - 1:47
    Cách đầu tiên để nghĩ về dân số
  • 1:47 - 1:48
    là mình sẽ biểu đạt nó bằng 1 phương trình vi phân.
  • 1:48 - 1:51
    Mình sẽ đặt 1 vài biến số ở đây.
  • 1:51 - 1:53
    Gọi N là dân số,
  • 1:53 - 1:55
    vậy đó sẽ là dân số,
  • 1:57 - 2:00
    và mình sẽ giả sử N là hàm số của t.
  • 2:01 - 2:03
    N là hàm số của t
  • 2:03 - 2:05
    sẽ là phương trình ta sẽ tiếp xúc
  • 2:05 - 2:08
    trong video này và những video tiếp theo.
  • 2:09 - 2:11
    1 cách để suy nghĩ về cách dựng thành mô hình
  • 2:10 - 2:13
    phương trình này là tìm ra tốc độ biến thiên
  • 2:14 - 2:16
    của dân số phụ thuộc vào thời gian là gì?
  • 2:15 - 2:17
    Điều đó thì có liên quan gì?
  • 2:17 - 2:20
    Mình sẽ viết ra, tốc độ biến thiên
  • 2:21 - 2:23
    của dân số phụ thuộc vào thời gian là gì?
  • 2:24 - 2:26
    d thường, N in hoa, và dt.
  • 2:26 - 2:28
    1 cách để nghĩ là
  • 2:27 - 2:30
    nó sẽ tỉ lệ thuận với dân số.
  • 2:30 - 2:33
    Bạn có thể nói nó sẽ là
  • 2:33 - 2:35
    1 hệ số tỉ lệ
  • 2:35 - 2:37
    nhân cho dân số,
  • 2:36 - 2:38
    nhân cho dân số.
  • 2:39 - 2:44
    Điều này là hợp lí nếu dân số nhỏ
  • 2:44 - 2:47
    thì sẽ không có nhiều
  • 2:47 - 2:51
    sự biến thiên trên 1 đơn vị thời gian so với dân số lớn.
  • 2:51 - 2:54
    Dân số càng lớn thì
  • 2:54 - 2:57
    càng có sự tăng trưởng theo thời gian rõ rệt hơn.
  • 2:56 - 2:59
    Thật ra thì rất đơn giản để giải
  • 3:00 - 3:02
    phương trình vi phân, có thể bạn đã từng làm rồi.
  • 3:02 - 3:03
    Mình khuyên bạn nên dừng video
  • 3:03 - 3:05
    nếu bạn muốn
  • 3:05 - 3:06
    nhưng mình sẽ giải ngay bên đây
  • 3:06 - 3:11
    và bạn sẽ thấy, ta sẽ ra được 1 hàm số mũ ở đây
  • 3:11 - 3:13
    cho N, nên hãy cùng làm thôi.
  • 3:13 - 3:14
    Hãy cùng giải và chúng ta sẽ
  • 3:15 - 3:18
    tách các biến số, tách N ra khỏi t
  • 3:18 - 3:20
    mặc dù ta chỉ thấy dt ở đây
  • 3:20 - 3:21
    nhưng mình sẽ quay lại với nó sau.
  • 3:21 - 3:24
    Nếu mình chia cả 2 vế cho N,
  • 3:23 - 3:28
    mình được 1 phần N và nếu mình chia cả 2 vế cho dt,
  • 3:29 - 3:31
    hoặc nếu bạn nghĩ rằng có thể
  • 3:31 - 3:33
    nhân dt
  • 3:33 - 3:35
    thì mình sẽ nhân nó cho 2 vế
  • 3:35 - 3:36
    hoặc mình có thể chia 2 vế cho N
  • 3:36 - 3:38
    và nhân 2 vế cho dt.
  • 3:38 - 3:39
    Mình sẽ được 1 phần N,
  • 3:39 - 3:41
    dN ở vế bên trái
  • 3:41 - 3:44
    và vế bên phải mình sẽ được
  • 3:44 - 3:49
    r nhân dt... r nhân dt...
  • 3:50 - 3:52
    Chú ý là mình có dt ở vế phải
  • 3:52 - 3:53
    bằng cách cách nhân cả 2 vế cho dt
  • 3:53 - 3:55
    rồi chia cả 2 vế cho N
  • 3:55 - 3:57
    và mình có được 1 phần N bên này.
  • 3:58 - 4:03
    Điều tiếp theo ta có thể làm là lấy nguyên hàm
  • 4:03 - 4:04
    cả 2 vế.
  • 4:05 - 4:09
    Ta sẽ lấy nguyên hàm cả 2 vế
  • 4:09 - 4:11
    và bên trái ta sẽ được gì?
  • 4:11 - 4:16
    Bên này sẽ ra là log nepe (log tự nhiên)
  • 4:16 - 4:19
    của giá trị tuyệt đối của dân số
  • 4:19 - 4:21
    và mình sẽ giả sử dân số
  • 4:21 - 4:25
    sẽ luôn khác 0.
  • 4:25 - 4:27
    sau đó ta có thể bỏ dấu trị tuyệt đối
  • 4:27 - 4:28
    nhưng mình sẽ làm sau.
  • 4:29 - 4:34
    Bên này sẽ bằng r nhân t.
  • 4:37 - 4:38
    và mình có thể thêm hằng số cả 2 bên
  • 4:38 - 4:40
    nhưng mình sẽ chỉ thêm 1 phía thôi
  • 4:40 - 4:45
    Nó sẽ là r nhân t cộng c.
  • 4:46 - 4:48
    Nếu mình muốn giải ra N
  • 4:48 - 4:51
    thì mình sẽ lấy...
  • 4:51 - 4:53
    Nếu phần này bằng phần này thì e mũ phần này
  • 4:53 - 4:55
    sẽ bằng e mũ phần này.
  • 4:55 - 4:57
    hoặc 1 cách khác để nghĩ về nó là
  • 4:57 - 4:59
    log nepe của giá trị tuyệt đối của N
  • 4:59 - 5:00
    sẽ bằng bên này.
  • 5:00 - 5:02
    1 cách nói khác là e mũ
  • 5:02 - 5:03
    phần này sẽ bằng phần này,
  • 5:03 - 5:05
    Mình sẽ làm như thế này
  • 5:05 - 5:10
    Mình sẽ lấy e mũ này
  • 5:12 - 5:13
    và mũ này.
  • 5:13 - 5:14
    Nếu bên này bằng bên này thì e mũ này
  • 5:14 - 5:16
    sẽ bằng e mũ này.
  • 5:17 - 5:21
    Ta sẽ còn lại e mũ log nepe
  • 5:21 - 5:22
    của giá trị tuyệt đối của N
  • 5:22 - 5:24
    Thì sẽ là giá trị tuyệt đối của N.
  • 5:24 - 5:28
    Giả sử N dương,
  • 5:28 - 5:33
    nghĩa là dân số lớn hơn 0.
  • 5:34 - 5:39
    Thì vế bên trái
  • 5:39 - 5:41
    mình có thể rút gọn thành N
  • 5:41 - 5:43
    và vế bên phải thì sẽ là
  • 5:44 - 5:48
    Nó sẽ là e mũ rt cộng c
  • 5:48 - 5:50
    và như thế này là được rồi.
  • 5:50 - 5:52
    Bên này sẽ chính là
  • 5:53 - 5:58
    e mũ rt, e mũ r nhân t, nhân cho...
  • 6:05 - 6:07
    Để mình viết e cùng màu nhé.
  • 6:07 - 6:11
    e mũ rt nhân e mũ c.
  • 6:11 - 6:14
    nhân e mũ c
  • 6:15 - 6:17
    Mình đã lấy e mũ tổng của 2 số mũ
  • 6:17 - 6:19
    rồi tách ra là e mũ rt nhân e mũ c.
  • 6:20 - 6:21
    Bạn có thể thấy
  • 6:22 - 6:24
    đây cũng sẽ ra
  • 6:24 - 6:26
    1 hằng số nào đó thôi.
  • 6:26 - 6:28
    Vậy hãy gọi đây là c
  • 6:29 - 6:30
    Thì sẽ là e mũ rt cộng c
  • 6:30 - 6:35
    hoặc có thể nói là c nhân e mũ rt... c nân e mũ rt...
  • 6:43 - 6:45
    Chúng ta đã giải xong phương trình vi phân
  • 6:45 - 6:47
    Nhưng vẫn chưa có được
  • 6:47 - 6:50
    1 thực tại bi quan như Malthus
  • 6:50 - 6:50
    mà ta đang muốn giới hạn.
  • 6:50 - 6:52
    Vậy thì mình sẽ
  • 6:52 - 6:53
    giả sử...
  • 6:53 - 6:56
    tốc độ biến thiên của dân số phụ thuộc vào thời gian
  • 6:56 - 6:58
    sẽ tỉ lệ thuận với dân số.
  • 6:58 - 7:00
    Khi giải phương trình vi phân đó thì
  • 7:00 - 7:02
    ta sẽ được dân số là hàm số của thời gian.
  • 7:02 - 7:03
    Để mình làm rõ hơn
  • 7:03 - 7:05
    để phần này là hàm số của thời gian.
  • 7:05 - 7:09
    Để mình di chuyển N 1 tí...
  • 7:09 - 7:11
    và mình sẽ viết như thế này,
  • 7:11 - 7:16
    N của t sẽ bằng bên này
  • 7:17 - 7:21
    Đây là đáp án của phương trình vi phân này.
  • 7:21 - 7:23
    1 lần nữa, nó sẽ tăng trưởng đến vô cực
  • 7:23 - 7:24
    và nếu ta biết các điều kiện ban đầu
  • 7:24 - 7:29
    như là, ta biết N của 0
  • 7:31 - 7:32
    là khi thời gian bằng 0.
  • 7:32 - 7:33
    Nếu cho đó N 0
  • 7:34 - 7:35
    thì c sẽ là gì?
  • 7:36 - 7:41
    N của 0 thì sẽ bằng c
  • 7:42 - 7:45
    c nhân e mũ 0
  • 7:45 - 7:46
    Bạn biết là mũ 0 thì sẽ bằng 1
  • 7:46 - 7:47
    nên phần này sẽ bằng c
  • 7:47 - 7:51
    nên C sẽ bằng N 0.
  • 7:51 - 7:53
    Mình thậm chí có thể viết
  • 7:53 - 7:55
    đáp án của phần này
  • 7:55 - 8:00
    là N là hàm số của t
  • 8:00 - 8:04
    sẽ bằng c nhân...
  • 8:04 - 8:08
    Chú ý rằng, N 0 là dân số ban đầu
  • 8:08 - 8:13
    nhân cho e mũ rt.
  • 8:16 - 8:18
    Và đây lại là 1 hàm số mũ.
  • 8:18 - 8:21
    Và dân số sẽ trông như thế này.
  • 8:21 - 8:25
    Nếu vẽ thành đồ thị thì nó sẽ như thế nào?
  • 8:26 - 8:27
    Nếu đây là trục thời gian,
  • 8:27 - 8:30
    bên này là trục N.
  • 8:30 - 8:32
    Mình có thể nói là trục y bằng N
  • 8:32 - 8:36
    nhưng mà mình muốn tối giản nó.
  • 8:36 - 8:38
    Đây sẽ là N 0
  • 8:38 - 8:40
    và nó sẽ tăng trưởng lũy tiến từ đó.
  • 8:40 - 8:42
    Tốc độ của hàm số mũ này
  • 8:42 - 8:45
    sẽ phụ thuộc vào hằng số ở đây
  • 8:45 - 8:47
    nhưng nó sẽ trông như thế này
  • 8:47 - 8:49
    và nó sẽ tăng trưởng ngày càng nhanh
  • 8:49 - 8:50
    và cứ như thế đến vô cực và mãi mãi.
  • 8:50 - 8:53
    Mình đã đề cập từ đầu video,
  • 8:53 - 8:56
    Malthus không tin
  • 8:56 - 8:57
    điều này là đúng,
  • 8:57 - 9:00
    Ông ấy nghĩ ta sẽ đạt đến giới hạn của tự nhiên nào đó
  • 9:00 - 9:03
    mà sẽ ràng buộc lên dân số.
  • 9:03 - 9:05
    Suy nghĩ của ông ấy là
  • 9:06 - 9:09
    hàm số càng tự nhiên hoặc thực tế thì
  • 9:09 - 9:12
    mô hình dân số sẽ có dạng như thế này
  • 9:12 - 9:16
    và có khả năng luôn dao động
  • 9:16 - 9:19
    quanh giới hạn như thế.
  • 9:19 - 9:22
    Nội dung của video tiếp theo là ta sẽ thấy P.F. Verhulst
  • 9:22 - 9:25
    đã nghĩ ra 1 phương trình vi phân rất hay
  • 9:25 - 9:27
    và đáp án của nó
  • 9:27 - 9:32
    khi được dựng thành mô hình sẽ miêu tả rõ ràng hơn
  • 9:32 - 9:35
    thực tại mà Malthus nghĩ chúng ta đang sống trong.
Title:
Biểu thị mô hình dân số bằng hàm số mũ
Description:

Xem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/differential-equations/first-order-differential-equations/logistic-differential-equation/v/logistic-differential-equation-intuition?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=DifferentialEquations

Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/differential-equations/first-order-differential-equations/modeling-with-differential-equations/v/applying-newtons-law-of-cooling-to-warm-oatmeal?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=DifferentialEquations

Phương trình Vi phân trên Khan Academy: Phương trình vi phân, phương trình tách biến, phương trình chuẩn, lấy tích phân các nhân tử, phương trình thuần nhất.

Description about Khan Academy
Về Khan Academy: Khan Academy cung cấp những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập theo từng cá nhân nhằm cho phép người dùng độc lập về thời gian và không gian trong quá trình học tập bên ngoài lớp học. Chúng tôi tự hào mang đến các chương trình dạy về Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Các nhiệm vụ trong phần Toán học hướng dẫn học sinh trình độ Mẫu giáo sử dụng và làm quen với phép toán bằng những công nghệ tiên tiến để tìm ra được những điểm mạnh, và bù vào lỗ hổng kiến thức của các em nhỏ. Chúng tôi cũng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và học viện MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Theo dõi kênh Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
09:36

Vietnamese subtitles

Revisions Compare revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.