0:00:00.515,0:00:01.976
Hãy cùng nghĩ về

0:00:01.976,0:00:06.961
mô hình dân số và mình có vài bức hình

0:00:06.961,0:00:09.013
của 1 trong những người nổi tiếng nhất,

0:00:09.013,0:00:10.785
và quý ông ở đây

0:00:10.785,0:00:14.527
là người nổi tiếng nhất khi người ta nhắc đến

0:00:14.527,0:00:17.540
dân sô và giới hạn tăng trưởng của dân số.

0:00:17.657,0:00:19.439
Đây là Thomas Malthus.

0:00:19.439,0:00:24.439
Ông ấy là 1 giáo sĩ, nhà văn và học giả người Anh

0:00:25.065,0:00:28.772
vào cuối những năm 60 của thế kỷ 18,

0:00:29.357,0:00:31.002
đầu thế kỷ 19.

0:00:31.002,0:00:32.585
Ông ấy đã thay đổi khái niệm

0:00:32.585,0:00:34.673
rằng dân số có thể tăng trưởng không giới hạn

0:00:35.465,0:00:37.479
và thông qua công nghệ, chúng ta

0:00:37.479,0:00:38.901
có thể nuôi sống bản thân

0:00:38.901,0:00:40.972
và rằng môi trường cuối cùng cũng phải

0:00:40.972,0:00:44.285
đặt giới hạn cho mức độ

0:00:44.285,0:00:46.307
tăng trưởng tối đa của dân số.

0:00:47.055,0:00:49.191
P.F.Verhulst,

0:00:49.686,0:00:51.489
...

0:00:51.489,0:00:56.489
1 nhà toán học người Bỉ đã đọc nghiên cứu của Malthus

0:00:57.032,0:00:59.038
và thử dựng thành mô hình các tính chất

0:00:59.632,0:01:00.730
mà Malthus đề cập

0:01:01.612,0:01:04.193
rằng khi không có ràng buộc bởi môi trường,

0:01:04.193,0:01:06.922
dân số sẽ tăng trưởng lũy tiến

0:01:06.922,0:01:09.018
nhưng đến khi nó tiếp cận giới hạn

0:01:09.882,0:01:11.386
môi trường đã đặt ra,

0:01:11.386,0:01:13.143
nó sẽ tiến gần đến tiệm cận

0:01:13.143,0:01:16.518
của 1 dân số khác.

0:01:16.518,0:01:18.403
Malthus thì không nghĩ

0:01:18.403,0:01:19.981
nó sẽ trở thành tiệm cận bằng phẳng

0:01:19.981,0:01:21.288
Ông ấy cho rằng dân số

0:01:21.288,0:01:22.494
sẽ vượt qua khỏi giới hạn

0:01:22.494,0:01:23.829
và sẽ có những thiên tai

0:01:23.829,0:01:25.556
rồi dân số sẽ hạ thẳng xuống dưới giới hạn

0:01:25.556,0:01:28.632
và dao động quanh đó

0:01:28.632,0:01:30.757
khi những thiên tai tiếp theo xảy ra.

0:01:30.757,0:01:34.536
Malthus là 1 người khá "lạc quan" nhỉ,

0:01:34.536,0:01:36.704
nhưng chúng ta hãy dùng toán học

0:01:36.704,0:01:38.936
và 1 ít phương trình vi phân

0:01:38.936,0:01:41.822
mặc dù những phương trình vi phân này

0:01:41.822,0:01:43.800
cũng không quá phức tạp để giải thích dân số.

0:01:44.492,0:01:46.525
Cách đầu tiên để nghĩ về dân số

0:01:46.525,0:01:48.479
là mình sẽ biểu đạt nó bằng 1 phương trình vi phân.

0:01:48.479,0:01:50.973
Mình sẽ đặt 1 vài biến số ở đây.

0:01:50.973,0:01:53.241
Gọi N là dân số,

0:01:53.241,0:01:55.445
vậy đó sẽ là dân số,

0:01:56.691,0:02:00.139
và mình sẽ giả sử N là hàm số của t.

0:02:01.000,0:02:03.113
N là hàm số của t

0:02:03.113,0:02:05.185
sẽ là phương trình ta sẽ tiếp xúc

0:02:05.185,0:02:07.659
trong video này và những video tiếp theo.

0:02:08.643,0:02:10.889
1 cách để suy nghĩ về cách dựng thành mô hình

0:02:10.089,0:02:13.045
phương trình này là tìm ra tốc độ biến thiên

0:02:13.846,0:02:15.590
của dân số phụ thuộc vào thời gian là gì?

0:02:15.059,0:02:16.553
Điều đó thì có liên quan gì?

0:02:17.096,0:02:19.851
Mình sẽ viết ra, tốc độ biến thiên

0:02:20.715,0:02:22.739
của dân số phụ thuộc vào thời gian là gì?

0:02:23.908,0:02:25.903
d thường, N in hoa, và dt.

0:02:25.903,0:02:27.570
1 cách để nghĩ là

0:02:27.057,0:02:29.568
nó sẽ tỉ lệ thuận với dân số.

0:02:30.081,0:02:32.633
Bạn có thể nói nó sẽ là

0:02:33.125,0:02:34.992
1 hệ số tỉ lệ

0:02:34.992,0:02:36.700
nhân cho dân số,

0:02:36.007,0:02:38.328
nhân cho dân số.

0:02:39.021,0:02:43.772
Điều này là hợp lí nếu dân số nhỏ

0:02:43.772,0:02:47.085
thì sẽ không có nhiều

0:02:47.085,0:02:50.976
sự biến thiên trên 1 đơn vị thời gian so với dân số lớn.

0:02:50.976,0:02:54.159
Dân số càng lớn thì

0:02:54.159,0:02:56.850
càng có sự tăng trưởng theo thời gian rõ rệt hơn.

0:02:56.085,0:02:59.332
Thật ra thì rất đơn giản để giải

0:03:00.097,0:03:02.085
phương trình vi phân, có thể bạn đã từng làm rồi.

0:03:02.085,0:03:03.428
Mình khuyên bạn nên dừng video

0:03:03.428,0:03:04.964
nếu bạn muốn

0:03:04.964,0:03:06.226
nhưng mình sẽ giải ngay bên đây

0:03:06.226,0:03:11.187
và bạn sẽ thấy, ta sẽ ra được 1 hàm số mũ ở đây

0:03:11.187,0:03:12.922
cho N, nên hãy cùng làm thôi.

0:03:12.922,0:03:14.011
Hãy cùng giải và chúng ta sẽ

0:03:14.812,0:03:18.034
tách các biến số, tách N ra khỏi t

0:03:18.034,0:03:19.975
mặc dù ta chỉ thấy dt ở đây

0:03:19.975,0:03:21.043
nhưng mình sẽ quay lại với nó sau.

0:03:21.043,0:03:23.680
Nếu mình chia cả 2 vế cho N,

0:03:23.068,0:03:28.068
mình được 1 phần N và nếu mình chia cả 2 vế cho dt,

0:03:29.413,0:03:31.186
hoặc nếu bạn nghĩ rằng có thể

0:03:31.186,0:03:32.517
nhân dt

0:03:33.363,0:03:34.832
thì mình sẽ nhân nó cho 2 vế

0:03:34.832,0:03:35.953
hoặc mình có thể chia 2 vế cho N

0:03:35.953,0:03:38.038
và nhân 2 vế cho dt.

0:03:38.038,0:03:39.377
Mình sẽ được 1 phần N,

0:03:39.377,0:03:41.328
dN ở vế bên trái

0:03:41.328,0:03:43.589
và vế bên phải mình sẽ được

0:03:43.589,0:03:48.589
r nhân dt... r nhân dt...

0:03:50.002,0:03:51.801
Chú ý là mình có dt ở vế phải

0:03:51.819,0:03:53.334
bằng cách cách nhân cả 2 vế cho dt

0:03:53.349,0:03:55.338
rồi chia cả 2 vế cho N

0:03:55.338,0:03:57.012
và mình có được 1 phần N bên này.

0:03:57.842,0:04:02.842
Điều tiếp theo ta có thể làm là lấy nguyên hàm

0:04:03.002,0:04:04.461
cả 2 vế.

0:04:05.072,0:04:08.828
Ta sẽ lấy nguyên hàm cả 2 vế

0:04:09.476,0:04:11.357
và bên trái ta sẽ được gì?

0:04:11.357,0:04:15.692
Bên này sẽ ra là log nepe (log tự nhiên)

0:04:15.692,0:04:19.442
của giá trị tuyệt đối của dân số

0:04:19.442,0:04:21.457
và mình sẽ giả sử dân số

0:04:21.457,0:04:24.605
sẽ luôn khác 0.

0:04:24.605,0:04:26.683
sau đó ta có thể bỏ dấu trị tuyệt đối

0:04:27.385,0:04:28.417
nhưng mình sẽ làm sau.

0:04:28.705,0:04:33.705
Bên này sẽ bằng r nhân t.

0:04:36.556,0:04:38.107
và mình có thể thêm hằng số cả 2 bên

0:04:38.107,0:04:39.628
nhưng mình sẽ chỉ thêm 1 phía thôi

0:04:39.628,0:04:44.628
Nó sẽ là r nhân t cộng c.

0:04:45.581,0:04:48.192
Nếu mình muốn giải ra N

0:04:48.192,0:04:50.515
thì mình sẽ lấy...

0:04:50.515,0:04:52.668
Nếu phần này bằng phần này thì e mũ phần này

0:04:52.668,0:04:55.303
sẽ bằng e mũ phần này.

0:04:55.303,0:04:56.879
hoặc 1 cách khác để nghĩ về nó là

0:04:56.879,0:04:59.356
log nepe của giá trị tuyệt đối của N

0:04:59.356,0:04:59.868
sẽ bằng bên này.

0:04:59.868,0:05:01.714
1 cách nói khác là e mũ

0:05:01.714,0:05:02.991
phần này sẽ bằng phần này,

0:05:02.991,0:05:04.593
Mình sẽ làm như thế này

0:05:04.593,0:05:09.593
Mình sẽ lấy e mũ này

0:05:12.035,0:05:12.908
và mũ này.

0:05:12.908,0:05:14.271
Nếu bên này bằng bên này thì e mũ này

0:05:14.271,0:05:15.864
sẽ bằng e mũ này.

0:05:16.617,0:05:20.691
Ta sẽ còn lại e mũ log nepe

0:05:21.357,0:05:22.293
của giá trị tuyệt đối của N

0:05:22.293,0:05:24.346
Thì sẽ là giá trị tuyệt đối của N.

0:05:24.346,0:05:27.541
Giả sử N dương,

0:05:27.541,0:05:32.541
nghĩa là dân số lớn hơn 0.

0:05:34.081,0:05:39.081
Thì vế bên trái

0:05:39.135,0:05:41.161
mình có thể rút gọn thành N

0:05:41.395,0:05:43.403
và vế bên phải thì sẽ là

0:05:44.195,0:05:47.514
Nó sẽ là e mũ rt cộng c

0:05:47.514,0:05:49.663
và như thế này là được rồi.

0:05:50.155,0:05:52.223
Bên này sẽ chính là

0:05:52.835,0:05:57.835
e mũ rt, e mũ r nhân t, nhân cho...

0:06:04.596,0:06:06.912
Để mình viết e cùng màu nhé.

0:06:06.912,0:06:11.231
e mũ rt nhân e mũ c.

0:06:11.231,0:06:14.264
nhân e mũ c

0:06:14.561,0:06:16.703
Mình đã lấy e mũ tổng của 2 số mũ

0:06:16.703,0:06:19.466
rồi tách ra là e mũ rt nhân e mũ c.

0:06:20.342,0:06:21.436
Bạn có thể thấy

0:06:22.282,0:06:23.984
đây cũng sẽ ra

0:06:23.984,0:06:25.649
1 hằng số nào đó thôi.

0:06:25.649,0:06:27.745
Vậy hãy gọi đây là c

0:06:28.609,0:06:30.086
Thì sẽ là e mũ rt cộng c

0:06:30.086,0:06:35.086
hoặc có thể nói là c nhân e mũ rt... c nân e mũ rt...

0:06:42.676,0:06:45.181
Chúng ta đã giải xong phương trình vi phân

0:06:45.181,0:06:47.443
Nhưng vẫn chưa có được

0:06:47.443,0:06:49.558
1 thực tại bi quan như Malthus

0:06:49.558,0:06:50.289
mà ta đang muốn giới hạn.

0:06:50.289,0:06:52.424
Vậy thì mình sẽ

0:06:52.424,0:06:53.325
giả sử...

0:06:53.325,0:06:55.523
tốc độ biến thiên của dân số phụ thuộc vào thời gian

0:06:55.523,0:06:57.988
sẽ tỉ lệ thuận với dân số.

0:06:57.988,0:06:59.985
Khi giải phương trình vi phân đó thì

0:06:59.985,0:07:01.794
ta sẽ được dân số là hàm số của thời gian.

0:07:01.794,0:07:03.477
Để mình làm rõ hơn

0:07:03.477,0:07:05.030
để phần này là hàm số của thời gian.

0:07:05.003,0:07:09.401
Để mình di chuyển N 1 tí...

0:07:09.428,0:07:10.864
và mình sẽ viết như thế này,

0:07:10.864,0:07:15.864
N của t sẽ bằng bên này

0:07:17.261,0:07:20.797
Đây là đáp án của phương trình vi phân này.

0:07:20.797,0:07:23.122
1 lần nữa, nó sẽ tăng trưởng đến vô cực

0:07:23.122,0:07:24.499
và nếu ta biết các điều kiện ban đầu

0:07:24.499,0:07:29.499
như là, ta biết N của 0

0:07:31.054,0:07:32.093
là khi thời gian bằng 0.

0:07:32.093,0:07:33.175
Nếu cho đó N 0

0:07:34.075,0:07:35.346
thì c sẽ là gì?

0:07:36.021,0:07:40.698
N của 0 thì sẽ bằng c

0:07:41.559,0:07:44.540
c nhân e mũ 0

0:07:44.540,0:07:45.842
Bạn biết là mũ 0 thì sẽ bằng 1

0:07:45.842,0:07:47.041
nên phần này sẽ bằng c

0:07:47.041,0:07:51.239
nên C sẽ bằng N 0.

0:07:51.239,0:07:52.606
Mình thậm chí có thể viết

0:07:52.606,0:07:55.118
đáp án của phần này

0:07:55.118,0:08:00.118
là N là hàm số của t

0:08:00.034,0:08:03.947
sẽ bằng c nhân...

0:08:04.253,0:08:08.484
Chú ý rằng, N 0 là dân số ban đầu

0:08:08.484,0:08:13.484
nhân cho e mũ rt.

0:08:15.937,0:08:18.273
Và đây lại là 1 hàm số mũ.

0:08:18.273,0:08:20.514
Và dân số sẽ trông như thế này.

0:08:20.514,0:08:24.625
Nếu vẽ thành đồ thị thì nó sẽ như thế nào?

0:08:25.563,0:08:27.116
Nếu đây là trục thời gian,

0:08:27.116,0:08:30.037
bên này là trục N.

0:08:30.037,0:08:32.453
Mình có thể nói là trục y bằng N

0:08:32.453,0:08:35.955
nhưng mà mình muốn tối giản nó.

0:08:35.955,0:08:37.538
Đây sẽ là N 0

0:08:37.538,0:08:40.443
và nó sẽ tăng trưởng lũy tiến từ đó.

0:08:40.443,0:08:41.534
Tốc độ của hàm số mũ này

0:08:42.354,0:08:45.366
sẽ phụ thuộc vào hằng số ở đây

0:08:45.366,0:08:46.674
nhưng nó sẽ trông như thế này

0:08:46.674,0:08:48.681
và nó sẽ tăng trưởng ngày càng nhanh

0:08:48.744,0:08:50.273
và cứ như thế đến vô cực và mãi mãi.

0:08:50.273,0:08:52.596
Mình đã đề cập từ đầu video,

0:08:52.596,0:08:55.988
Malthus không tin

0:08:55.988,0:08:57.141
điều này là đúng,

0:08:57.141,0:08:59.582
Ông ấy nghĩ ta sẽ đạt đến giới hạn của tự nhiên nào đó

0:08:59.582,0:09:02.651
mà sẽ ràng buộc lên dân số.

0:09:02.651,0:09:04.603
Suy nghĩ của ông ấy là

0:09:05.695,0:09:09.173
hàm số càng tự nhiên hoặc thực tế thì

0:09:09.173,0:09:12.134
mô hình dân số sẽ có dạng như thế này

0:09:12.134,0:09:15.831
và có khả năng luôn dao động

0:09:15.831,0:09:19.288
quanh giới hạn như thế.

0:09:19.288,0:09:22.180
Nội dung của video tiếp theo là ta sẽ thấy P.F. Verhulst

0:09:22.018,0:09:25.202
đã nghĩ ra 1 phương trình vi phân rất hay

0:09:25.364,0:09:27.282
và đáp án của nó

0:09:27.282,0:09:31.753
khi được dựng thành mô hình sẽ miêu tả rõ ràng hơn

0:09:31.753,0:09:34.524
thực tại mà Malthus nghĩ chúng ta đang sống trong.