Factoring Quadratic Expressions

У овом видеу желим да урадим гомилу примера растављања на чиниоце

другог степена полинома, кога

често зову квадратни.

Понекад квадратни полином, или само

на квадрат, или квадратни израз, али све ово означава

други степен полинома.

Дакле нешто што ће имати раст променљиве на

другој снази.

У овом случају, у свим примерима које ћемо урадити, биће х.

Дакле рецимо да имамо квадратни израз, х

на квадрат плус 10х, плус 9.

И желим да раставим чиниоце на производ од два бинома.

Како ћемо ово урадити?

Па, хајде да размислимо шта ће се десити ако бисмо

узели х плус a, и помножили то са х плус b.

Ако бисмо помножили ове две ствари,ште ће се догодити

Дакле, имамо мало искуства са овим.

Биће х пута х, што је х на квадрат, плус х пута b.

па је bх, плус а пута х, плус а пута b -- плус ab.

Или ако желимо да додамо ове две у средини овде,

јер су обе коефицијенти од х.

Могли би да исправимо ово као х на квадрат плус -- могу написати ово

као b плус a, или a плус b, х, плус ab.

Дакле генерално, ако саберемо ова два производа

два бинома, видимо да је средњи коефицијент на

х изразу, или могли би рећи први коефицијент степена

овде, биће збир наших a и b.

И онда константан израз ће бити производ

наших a и b.

Прометимо, ово ће бити мапа овога, а ово

мапа овога.

И, наравно, и ово је иста ствар као и ово.

Дакле можемо ли некако укалупити модел овога у ово?

Ако имамо a и b где је a плус b једнако 10?

И a пута b је једнако 9?

Па, хајде да размислимо о овоме мало више.

Колики је чинилац од 9?

Које су ствари којима a и b могу бити једнаки

И претпостављамо да је све цео број.

И нормално када расзављамо на чиниоце, посебно када

почињемо да растављамо, радимо

са целим бројевима.

Дакле који је чинилац од 9?

1, 3 и 9.

Дакле ово може бити 3 и 3, или 1 и 9.

Сада, ако је 3 и 3, имате 3 плус 3 -- ово

није једнако 10.

Али ако је 1 и 9, 1 пута 9 је 9.

1 плус 9 је 10.

Дакле ово ради.

Дакле a може бити једнак 1, а b може бити једнак 9.

Дакле можемо раставити ово као х плус 1,

пута х плус 9.

И ако помножите ове две, користећи ове вештине ми

се развијамо у последњих пар видеа, видећете да је

заиста х на квадрат плус 10х, плус 9.

Дакле када видите нешто овако, када је коефицијент на

х квадратном изразу, или водећи коефицијент на овом

квадранту 1, можете рећи , у реду, која два

броја додати овом коефицијенту овде?

И ова два иста броја, када их помножите,

морају бити једнака 9.

И наравно, ово мора бити у стандардној форми.

Или ако није у стандардној форми, требали би ставити у

тој форми, тако да можете увек рећи, ОК, шта год да је

на првом степену коефицијента, мој a и b

треба додати овоме.

Како год, мој константни услов, мој a пута b, производ мора бити

ово.

Хајде да урадимо још неколико примера.

Мислим да што више примера урадимо

више смисла ово добија.

Рецимо да имамо х на квадрат плус 10х, плус -- па, већ

имам 10х, узмимо други број -- х на квадрат

плус 15х, плус 50.

И желимо да раставимо на чиниоце ово.

Дакле, исти поступак.

Имамо х на квадрат израз.

Имамо први степен израза.

Ово овде треба да буде збир два броја.

И онда овај израз, констатни израз овде,

треба да буде производ два броја.

Дакле треба да мислимо да два броја, када их помножим

добијем 50, а када их додам, добијем 15.

И ово ће бити део вештине коју ћеш развити,

али сто више вежбате, видећете

да ће вам доћи само.

Дакле шта би a и b било?

Размислимо о растављању на чиниоце броја 50.

То може бити 1 пута 50.

2 пута 25.

Погледајмо, 4 не иде у 50.

Може бити 5 пута 10.

Мислим да је то све.

Хајде да пробамо са овим бројевима, и видимо да ли неки од ових

дају 15.

Дакле 1 плус 50 не даје 15.

2 плус 25 не даје 15.

Али 5 плус 10 даје 15.

Дакле овде може бити 5 плус 10, а овде може бити 5 пута 10.

Дакле ако смо раставили ово, било би једнако х плус 5,

пута х плус 10.

И помножимо ово.

Подстичем вас да помножите ово, и видите да је ово

заиста х на квадрат плус 15х, плус 10.

У ствари, урадимо ово, х пута х, х на квадрат. х пута 10,

плус 10х.

5 пута х, плус 5х.

5 пута 10, плус 50.

Приметимо, 5 пута 10 даје нам 50.

5х плус 10х нам даје 15х између.

Дакле то је х на квадрат плус 15х, плус 50.

Подигнимо мало улоге, унесимо мало негативних знакова

овде.

Рецимо да сам имао х на квадрат минус 11х, плус 24.

Сада, то је потпуно исти принцип.

Морам да мислим да два броја, када их додам,

мора бити једнако минус 11.

a плус b мора бити једнако минус 11.

И a пута b мора бити једнако 24.

Сада, има нешто за вас да мислите о томе.

Када помножим оба ова броја, добијам

позитиван број.

Добијам 24.

То значи да оба од ових мора бити позитивна, или оба

морају бити негативна.

То је једини начин да добијем позитиван број овде.

Сада, ако их додам, добијам негативан број, ако су ови

позитивни, нема начина да додам два позитивна броја

и добијем негативан број, дакле чињеница је да је њихов збир

негативан, и чињеница да је њихов производ позитиван,

говори ми да оба a и b су негативна.

a и b морају бити негативни.

Запамтите, један не може бити негативан а други не може

бити позитиван, јер ће производ бити негативан.

И оба не могу бити позитивна, јер када их додате

то ће дати позитиван број.

Дакле размислимо шта a и b могу бити.

Дакле два негативна броја.

Дакле размислимо о чиниоцима од 24.

И ми некако морамо да мислимо о негативним чиниоцима.

Али хајде да видимо, може бити 1 пута 24, 2 пута 11, 3 пута

8, или 4 пута 6.

Сада, који од ових када их помножим -- дакле,

очигледно када помножим 1 са 24, добијам 24.

Када имам 2 пута 11 -- опростите, ово је 2 пута 12.

Добијам 24.

Дакле знамо све ове, производ је 24.

Али која два од ових, која два чиниоца, када их додам,

треба да добијем 11?

И онда можемо рећи, узмимо

оба од њих негативна.

Дакле када их погледам, 3 и 8 ће искочити.

3 пута 8 је једнако 24.

3 плус 8 је једнако 11.

Али ово баш не иде, зар не?

Јер имамо минус 11 овде.

Али шта ако смо имали минус 3 и минус 8?

Минус 3 пута минус 8 је једнако плус 24.

Минус 3 плус минус 8 је једнако минус 11.

Дакле минус три и минус 8 раде.

Дакле ако раставимо ово, х на квадрат минус 11х, плус 24 ће бити

једнак х минус 3, пута х минус 8.

Урадимо још један овакав.

У ствари, помешајмо мало ово.

Рецимо да имам х на квадрат плус 5х, минус 14.

Дакле овде имамо различиту ситуацију.

Производ два броја је негативан, ѕар не? a пута b

је једнак минус 14.

Мој производ је негативан.

Ово нам говори да је један од њих позитиван, а један од њих

негативан.

И када их додам оба, a плус b, биће једнак 5.

Дакле хајде да размотримо чиниоце од 14.

И које њихове комбинације, када их додам, ако је један

позитиван а други негативан, или начин узимања разлике оба,

да ли добијем 5?

Дакле ако узмем 1 и 14 -- само ћу испробати ствари --

1 и 14, минус 1 плус 14 је минус 13.

Минус 1 плус 14 је 13.

Дакле дајте да напишем све комбинације које сам могао урадити.

И на крају ваш мозак ће

Дакле имате минус 1 плус 14 једнако је 13.

И 1 плус минус 14 је једнако минус 13.

Дакле ови не раде.

То није једнако 5.

Сада шта је са 2 и 7?

Ако урадим минус 2 -- дајте да урадим у другој боји -- ако

је минус 2 плус 7, то је једнако 5.

Урадили смо!

Ово ради!

Мислим, могли смо покушати 2 плус минус 7, али то би било

једнако минус 5, па ово не би радило.

Али минус 2 плус 7 ради.

И минус 2 пута 7 је минус 14.

Тако да га имамо.

Знамо да је х минус 2, пута х плус 7.

То је прилично згодно.

Минус 2 пута 7 је минус 14.

Минус 2 плус 7 је минус 5.

Урадимо још неколико ових, баш да добро

изоштримо ову вештину.

Дакле рецимо да имамо х на квадрат минус х, минус 56.

Дакле производ ова два броја мора бити минус 56,

мора бити минус 56.

И њихова разлика, јер један ће бити позитиван,

а други ће бити негативан, зар не?

Њихова разлика ће бити минус 1.

И бројеви који одмах искачу у мом мозгу --

и не знам да ли искачу у вашем мозгу,

баш смо научили ово у временским табелама --

56 је 8 пута 7.

Мислим, има других бројева.

Такође 28 пута 2.

То је све и свашта.

Али 8 пута 7 стварно ми искаче у глави, јер

су веома близу један другом.

И требају нам бројеви који су врло блиски један другом.

И један од ових мора бити позитиван, а други мора

бити негативан.

Сада, чињеница да је њихов збир негативан, говори ми да

ће већи од ова два вероватно бити негативан.

Дакле ако узмемо минус 8 пута 7, то је

једнако минус 56.

И онда ако узмемо минус 8 плус 7, то је једнако

минус 1, што је тачно овај овде коефицијент.

Па ако раставим ово, ово ће бити х минус 8,

пута х плус 7.

Ово је често један од најтежих концепата који људи уче

у алгебри, јер ово је мало вештине.

Морате погледати све факторе овде, радити са

позитивним и негативним знаковима, видети који од ових чланова

када је један позитиван, други негативан, додати коефицијенту

на х изразу.

Али како радите више и више вежби, видећете да

ће постати мало природније.

сада хајде да појачамо удео мало више

Рецимо да имамо минус х на квадрат -- све што смо урадили до сада

је имало позитиван коефицијент, плус 1

коефицијент на х квадратном изразу.

Али рецимо да имамо негативан х на квадрат

минус 5х, плус 24.

Како да урадимо ово?

Дакле, најлакши начин на који могу урадити ово је чинилац

од минус 1, и онда то постаје проблем

који смо радили раније.

Дакле ово је иста ствар као минус 1 пута плус х на квадрат,

плус 5х, минус 24.

Зар не?

Ја сам раставио минус 1.

Можете помножити минус 1 пута све ово, и видећете

да ће бити ово.

Или можете раставити минус 1 и поделити све

ово са минус 1.

И добијете ово овде.

Сада, иста игра је готова.

Требају ми два броја, која када им узмем производ добијем

минус 24.

Дакле један ће бити позитиван, а други негативан.

Када их саберем, биће 5.

Дакле видимо са 24 то је 1 и 24.

Хајде да видимо, ово је минус 1 и 24, то ће бити плус 23,

Ако је обрнуто, биће минус 23.

Не ради.

Шта је са 2 и 12?

Дакле, ако је ово негативно -- запамтите, један од ових

мора бити негативан.

Ако је 2 негативно, збир ће бити 10.

Ако је 12 негативно, њихов збир ће бити минус 10.

И даље не ради.

3 и 8.

Ако је 3 негативан, збир ће бити 5.

Дакле ово ради!

Дакле ако изаберемо минус 3 и 8, минус 3 и 8 ради.

Јер минус 3 плус 8 је 5.

Минус 3 пута 8 је минус 24.

Дакле ово ће бити једнако са -- не заборавимо ово

минус 1 испред, а онда раставимо унутрашњост.

Минус 1 пута х минус 3, пута х плус 8.

И ако заиста желите, можете помножити

минус 1 пута ово, добићете 3

минус х ако јесте.

Или не морате.

Дајте да урадим још један од ових.

Што више вежбе, то боље, мислим.

У реду, рецимо да имам минус х на квадрат

плус 18х, минус 72.

Дакле још једном, волим да рашчланим минус 1.

Дакле ово је једнако минус 1 пута х на квадрат,

минус 18х, плус 72.

Сада размислимо о два броја, да када их

помножим добијем 72.

Дакле биће исти знак.

И ово олакшава нашим главама, бар мојој глави.

Када их помножим, добијем 72.

Када их додам, добијем минус 18.

Дакле исти су знак, и њихов збир је негативан

број, оба морају бити негативна.

И можемо проћи кроз све чиниоце од 72.

Али један који извире, можда мислите 8 пута 9,

али 8 пута 9, или минус 8 минус 9, или минус 8 плус

минус 9, не ради.

Ово се претвара у 17.

Ово је било близу.

Дајте да вам покажем ово.

Минус 9 плус минус 8, то је једнако минус 17.

Близу, али није цигарета.

Дакле, који су ови други?

Имамо 6 и 12.

Ово у ствари изгледа прилично добро.

Ако имамо минус 6 плус минус 12, то је једнако

минус 18.

Приметимо, ово је део вештине.

Покушајте друге чланове овде.

Дакле ово ће бити минус 1 -- не ѕаборавимо ово

-- пута х минус 6, пута х минус 12.