Kwadratische vergelijkingen ontbinden

Het ontbinden van kwadratische vergelijkingen

In deze video wil ik een aantal voorbeelden

laten zien van het ontbinden van een

tweedegraads polynoom, wat vaak een

kwadraat wordt genoemd.

Soms wordt het een kwadratisch polynoom,

kwadraat of een kwadratische vergelijking

genoemd maar het betekent allemaal een

tweedegraads polynoom.

Dat is dus iets dat een variabele heeft die

tot de macht 2 is verheven.

In dit geval, bij alle voorbeelden,

is x deze variabele.

Laten we zeggen dat ik de kwadratische

vergelijking x^2 + 10x + 9 heb.

Dit wil ik ontbinden naar het product van

2 tweetermen. Hoe doen we dat?

Laten we eerst nadenken over wat er gebeurt

als we x+a nemen en dat vermenigvuldigen

met x+b.

Als we deze twee met elkaar vermenigvuldigen,

wat gebeurt er dan?

We hebben al wat ervaring hiermee.

Dit wordt x*x, wat x^2 is,

plus x*b, wat bx is,

plus a*x,

plus a*b.

We kunnen deze twee waardes in het midden

bij elkaar op willen tellen, want het zijn

allebei coëfficiënten van x.

Dit kunnen we schrijven als x^2 plus--

ik kan het schrijven als (b+a)x of (a+b)x,

plus ab.

Over het algemeen is het zo dat als we er

vanuit gaan dat dit het product is van twee

tweetermen, we kunnen zien dat deze middelste

coëfficiënt bij de x variabele, in andere woorden

de eerstegraads coëfficiënt, de som is van

onze a en b.

En de constante term wordt het product van

van onze a en b.

Let op: dit komt overeen met dat,

en dit komt overeen met dat.

En dit is natuurlijk hetzelfde als dat.

Dus kunnen we op de een of andere manier

dit koppelen aan dat?

Is er een combinatie van a en b waarbij

a + b 10 is en a * b 9 is?

Laten we hier even over nadenken.

Wat zijn de factoren van 9?

Wat zijn de waardes die a en b aan kunnen nemen?

We gaan er vanuit dat alles een geheel getal is.

Normaal gesproken wanneer we gaan ontbinden,

vooral in het begin, hebben we te maken met

gehele getallen.

Dus wat zijn de factoren van 9?

Het zijn 1, 3 en 9.

Dus het zou 3 en 3 of 1 en 9 kunnen zijn.

Als we 3 en 3 bij elkaar optellen krijgen we 9,

dat is niet gelijk aan 10.

9*1 = 9 en 1 + 9 = 10 dus 1 en 9 zou kunnen.

Dus a zou 1 kunnen zijn en b 9.

We kunnen dit dus ontbinden als (x + 1) * (x + 9).

En als je deze 2 met elkaar vermenigvuldigd,

gebruik makend van de vaardigheden die we in

de afgelopen paar video's hebben geleerd,

dan zal je zien dat er inderdaad x^2 + 10x + 9 uitkomt.

Dus als je iets als dit ziet, wanneer de coëfficiënt van

de x^2 term, of de leidende coëfficiënt van dit

kwadrant 1 is, kan je je simpelweg afvragen

welke twee nummers zijn opgesomd gelijk aan

deze coëfficiënt hier.

En als je deze twee nummers met elkaar

vermenigvuldigd moet er 9 uitkomen.

En dit moet natuurlijk in de standaardvorm zijn.

Of, als het niet in de standaardvorm staat,

kan je het beter naar deze vorm omzetten zodat

je altijd kan zeggen "ok, wat er ook in mijn eerstegraads

coëfficiënt staat, a en b moeten hier opgeteld gelijk

aan zijn.

En wat mijn constante term ook is,

a en b met elkaar vermenigvuldigd moet hier

gelijk aan zijn."

Laten we wat meer voorbeelden behandelen.

Hoe meer voorbeelden we behandelen,

hoe duidelijker het wordt.

Stel je voor dat we x^2 + 10x --

wacht, 10x heb ik al gebruikt, laten we een

ander nummer gebruiken -- x^2 + 15x + 50 hebben.

Dit willen we ontbinden. Het is dezelfde procedure.

We hebben een x^2 term.

We hebben een eerstegraads term.

Dit hier zou de som van 2 nummers moeten zijn.

En deze term hier, de constante term hier,

moet het product van 2 nummers zijn.

We moeten dus 2 nummer vinden die met elkaar

vermenigvuldigd 50 zijn en opgeteld 15.

Dit is een vaardigheid die je moet ontwikkelen maar

als je veel oefent zul je zien dat het vanzelf gaat.

Dus wat zouden a en b kunnen zijn?

Laten we nadenken over de factoren van 50.

Het zou 1 * 50 kunnen zijn.

2 * 25.

4 past niet in 50.

Het zou 5 * 10 kunnen zijn.

Ik denk dat dat alle mogelijke combinaties zijn.

Laten we al deze nummers uitproberen en kijken

of een van de combinaties opgeteld 15 is.

1 + 50 is opgeteld niet 50.

2 + 25 is opgeteld niet 15.

Maar 5 + 10 = 15.

Dus dit kan 5 + 10 zijn, en dit 5 * 10.

Dus als we dit zouden ontbinden zou dit gelijk

zijn aan (x + 5) * (x + 10).

Ik daag je uit om dit zelf uit te vermenigvuldigen

zodat je kan zien dat dit inderdaad x^2 + 15x + 50 is.

Laten we dat nu doen. x * x = x^2.

x * 10 = + 10x.

5 * x = + 5x.

5 * 10 = + 50.

Let op, de 5 * 10 gaf ons de 50.

De 5x + de 10x geeft ons de 15x in het midden.

Dus het is x^2 + 15x + 50.

Laten we er wat meer uitdaging in brengen

door wat negatieve nummers toe te voegen.

Laten we zeggen dat we x^2 - 11x + 24 hebben.

Het is precies hetzelfde principe.

Ik moet op 2 nummers komen die, wanneer ik ze

bij elkaar optel, -11 zijn.

a + b moet gelijk zijn aan -11.

En a * b moet gelijk zijn aan 24.

Er is iets waar je over na moet denken.

Als ik deze nummers met elkaar vermenigvuldig

krijg ik een positief getal.

Ik krijg 24.

Dat betekent dat beide nummers positief

of negatief moeten zijn.

Dat is de enige manier waarop ik hier

een positief nummer krijg.

Als ik de nummers opsom krijg ik een

negatief nummer. Als de nummers allebei positief

waren was het niet mogelijk om opgeteld een

negatief nummer te krijgen. Dus het feit dat

de som negatief is en het product positief

vertelt me dat zowel a als b negatieve nummers zijn.

Onthoud: het kan niet dat het ene nummer positief is

en het andere negatief want dan zou het product

negatief zijn.

Ze kunnen ook niet allebei positief zijn want als je

ze dan op zou tellen komt er een positief nummer uit.

Laten we nadenken over wat a en b zouden kunnen zijn.

Dus twee negatieve nummers.

Laten we nadenken over de factoren van 24.

En we moeten eigenlijk ook nadenken over

de negatieve factoren.

Maar laat me eens zien. Het zou 1 * 24,

2 * 12,

3 * 8 of

6 * 4 kunnen zijn.

1 * 24 is 24,

2 * 12 is 24.

We weten dat de producten van

al deze combinaties 24 zijn.

Maar bij welke combinatie is de som 11?

En dan nemen we de negatieve versie van deze nummers.

Dus als je naar de combinaties kijkt

springen 3 en 8 eruit.

3 * 8 = 24.

3 + 8 = 11.

Maar dat werkt niet, toch?

Want we hebben een -11 hier.

Wat nou als we -3 en -8 probeerden?

-3 * -8 = 24.

-3 + -8 = -11.

Dus -3 en -8 klopt.

Als we dit ontbinden, x^2 - 11x + 24,

wordt dit (x-3) * (x-8).

Laten we nog een voorbeeld als dit doen.

Ik heb hier x^2 + 5x - 14.

We hebben hier dus een andere situatie.

Het product van mijn twee nummers

is negatief, toch? a * b = -14.

Mijn product is negatief.

Dat vertelt me dat een van de nummers positief

is en de andere negatief.

En als ik de twee bij elkaar optel

krijg ik a + b = 5.

Laten we nadenken over de factoren van 14.

En over welke combinaties, als ik ze bij elkaar

optel en 1 nummer is positief en de andere negatief,

of ik neem eigenlijk het verschil tussen de twee,

opsommen tot 5.

Als ik 1 en 14 neem -- ik probeer maar wat --

1 en 14, -1 + 14 = 13 en 1 + -14 = -13.

Laat me alle mogelijke combinaties opschrijven.

Op een gegeven moment doet je brein het vanzelf.

Dus je hebt -1 + 14 = 13 en 1 + -14 = -13.

Dus deze combinaties werken niet.

Ze zijn niet gelijk aan 5.

En 2 en 7 dan?

Als ik -2 + 7 doe krijg ik 5.

We zijn klaar, dat werkte!

Ik bedoel, we hadden ook 2 + -7 kunnen

uitproberen maar dat is gelijk aan -5

dus dat had niet gewerkt.

Maar -2 + 7 werkt wel.

En -2 * 7 = -14.

Dus hier hebben we het antwoord.

We weten dat het (x-2) * (x+7) is.

Dat is best gaaf.

-2 * 7 = -14.

-2 + 7 = 5.

Laten we nog een aantal voorbeelden doen.

zodat we goed vertrouwd raken hiermee.

We hebben x^2 - 5 - 56.

Dus het product van de twee nummers

moet -56 zijn.

En hun verschil -- een van de nummers

is positief en de andere negatief, toch?

Hun verschil moet -1 zijn.

De nummers die meteen in mij opkomen

-- en ik weet niet of ze ook in jouw hoofd opkomen,

ik heb dit geleerd van het

vermenigvuldigingstabel --

56 is 8*7.

Ik bedoel, er zijn andere nummers.

28 * 2 is ook 56.

Er zijn meerdere combinaties mogelijk.

Maar 8 * 7 kwam als eerste in me op

omdat ze heel dicht bij elkaar in de buurt zitten.

En we hebben nummers nodig die

bij elkaar in de buurt zitten.

En een van deze nummers moet positief zijn

en de andere moet negatief zijn.

Het feit dat de som van de nummers negatief is

vertelt me dat de grootste van de twee nummers

waarschijnlijk negatief moet zijn.

Dus als we -8 * 7 uitrekenen zien we dat dit -56 is.

En als we -8 + 7 uitrekenen zien we dat dit -1 is,

wat precies de coëfficiënt hier is.

Als ik dit ontbind, wordt dit (x-8) * (x+7).

Dit is een van de moeilijkste concepten die

mensen leren in algebra omdat het een

soort van kunst is.

Je moet kijken naar alle factoren hier, een beetje

spelen met de positieve en negatieve symbolen,

kijken welke van deze factoren, als er een positief

is en een negatief, samen opsommen tot de

coëfficiënt van de x-term.

Maar als je meer en meer oefent zul je zien dat het

steeds meer vanzelf gaat.

Laten we nu nog wat meer uitdaging toevoegen.

We hebben -x^2 -- alle vergelijkingen die we tot nu

toe hebben behandeld hadden een positieve

coëfficiënt, een positieve 1 bij de x^2 term.

Maar laten we zeggen dat we -x^2 - 5x + 24 hebben.

Hoe doen we dit?

De makkelijkste manier die ik me kan bedenken is

om een -1 buiten de haakjes te halen.

Dan wordt hetzelfde als eerst.

Dus dit is hetzelfde als -1 * (x^2 + 5x - 24).

Toch?

Ik heb alleen een -1 buiten haakjes gehaald.

Je kan -1 vermenigvuldigen met dit allemaal

en je zult zien dat het dat wordt.

Of je kan de -1 buiten haakjes halen en dit allemaal

door -1 delen.

En dan krijg je dit hier.

Nu is het hetzelfde als eerst.

Ik heb twee nummers nodig,

waarvan het product -24 is.

Dus een nummer is positief en het andere

nummer is negatief.

Als ik de nummers opsom krijg ik 5.

Laten we nadenken over 24. 1 en 24.

Laten we eens kijken, als dit -1 en 24 is

somt dit op tot 23. Als we het omdraaien

is de som -23.

Dit werkt niet.

En 2 en 12?

Als dit negatief is -- onthoud, een van de nummers

moet negatief zijn.

Als de 2 negatief is, wordt de som 10.

Als de 12 negatief is, is de som -10.

Dit werkt ook niet.

3 en 8.

Als 3 negatief is, wordt de som 5.

Dus het werkt!

Dus we kiezen -3 en 8, -3 en 8 werkt.

-3 + 8 = 5.

-3 * 8 = -24.

Dus dit staat gelijk aan -- ik moet niet

de -1 aan het begin vergeten, en dan

ontbinden we de binnenkant.

-1(x-3)(x+8).

En als je had gewild, had je de -1 kunnen

vermenigvuldigen met dit.

Dan had je 3 - x gekregen.

Maar dit hoeft niet.

Laten we nog zo'n opgave behandelen.

Hoe meer oefening, hoe beter.

Ik heb -x^2 + 18x - 72.

Nogmaals, ik haal de -1 buiten haakjes.

Dus dit is gelijk aan -1*(x^2 - 18x + 72).

Nu moeten we twee nummers bedenken waarvan

het product 72 is.

Dus ze moeten allebei positief of allebei

negatief zijn.

Dat maakt het makkelijker voor ons,

in ieder geval voor mij.

Als ik ze vermenigvuldig krijg ik 72.

Als ik ze bij elkaar optel krijg ik -18.

Dus ze zijn allebei positief of allebei negatief,

en de som is negatief.

De nummers moeten dus allebei negatief zijn.

We kunnen alle factoren van 72 langsgaan,

maar de combinatie die bij mij als eerste

naar boven komt is 8 en 9.

Maar 8 * 9, of -8 - 9, of -8 + -9 werkt niet.

Dat somt op tot 17.

Dat is het net niet.

Dat zal ik je laten zien.

-9 + -8 is gelijk aan -17.

Dat is net niet wat we zoeken.

Wat voor combinaties zijn er nog meer?

We hebben 6 en 12.

Dat lijkt veelbelovend.

Als we -6 + -12 hebben wordt dat -18.

Let op, het is eigenlijk een kunst.

Je moet de verschillende factoren proberen.

Dus dit wordt -1 -- dit moet ik niet vergeten -- (x-6)*(x-12).