이차 방정식의 인수분해

이차 방정식을 인수분해하는 법에 관하여 공부하고 그 예제를 풀어 봅시다.

이번에는 여러 가지 2차 식의 인수분해 문제들을 알아보겠습니다

때때로 2차 다항식을 2차식이라고 줄여서 부르기도 하는데요

2차식은 식을 구성하는 변수에서
최대 차수가 2차인 식을 말합니다

오늘 다룰 문제들은 변수로 x를 이용하겠습니다

먼저 2차 다항식 x^2+10x+9을 봅시다

이 식을 2개의 2항식의 곱으로 인수분해 하려면

어떻게 할까요

우선 (x+a)와 (x+b)를 곱하면
어떤 식이 나오는 지 봅시다

두 식을 곱하면 어떻게 될까요

그럼 시작해 봅시다

우선 x에 x를 곱해서 x^2이 나오고, x에 b를 곱한 bx와

x에 a를 곱한 ax, 그리고 마지막으로 a에 b를 곱한 ab가 나옵니다

ax와 bx는 똑같이 계수가 x이니

더해서 하나로 묶을 수 있습니다

모두 정리하면 우리는 (x+a)(x+b)를

x^2 + (a+b)x + ab라 쓸 수 있습니다

이 결과를 통해서 우리는 앞의 2차식이 2개의 2항식의 곱이라면

이 식의 1차항, 다른 말로는 x항의 계수가
앞의 계산에서 a+b에 해당하며

상수항은 ab에 해당한다는 것을 알 수 있습니다

10은 a+b에

9는 ab에 대응되는 겁니다

그리고 당연히 x^2도 서로 대응됩니다

이 대응 관계를 조합해보면

a+b 는 10 이면서

ab 는 9인 a와 b를 찾아야겠네요

잠시 생각해 볼까요

9의 약수들을 생각했을 때

약수 중 a와 b가 될 수 있는 것을 찾아 봅시다

이 과정에서 우리는 a와 b는 모두 정수라고 가정합니다

일반적으로 약수를 이용한 인수분는 정수로
이루어진 식 만을 다룬다는 점을 참고하세요

다시 돌아와서 9의 약수는 무엇이 있나요

1, 3, 그리고 9가 있습니다

그러니 a와 b는 3과 3 또는 1과 9가 될 것입니다

만약에 a=3이고 b=3이면
a+b인 3+3은 10이 아니므로 모순입니다

하지만 a=1이고 b=9이면
ab = 1*9 = 9이고

a+b = 1+9 = 10이니

성립합니다

그래서 a=1이고 b=9입니다

그러니 x^2 + 10x +9는
(x+1)(x+9)로 인수분해 됩니다

실제로 (x+1)(x+9)를 전개해도
x^2 + 10x + 9가 나온다는 것을 알 수 있습니다

지금까지의 결과를 활용하면

2차식의 x^2항의 계수가 1일때

단순히 더해서 x항의 계수가 되면서 동시에

곱하면 상수항인 9가 되는 두 숫자들을
찾으면 인수분해가 끝납니다

이 방법은 원래 식이
표준형이여야 하며지만

표준형이 아니라도
표준형으로 만들면 성립해서

원래 식이 어떻든 표준형에서
1차항의 계수는 a+b에

상수항은 ab에 해당합니다

몇 가지 문제를 더 다뤄서

인수분해를 연습해봅시다

이번에는 x^2+15x+50을 인수분해 해 봅시다

같은 방식으로 하자면

2차항의 계수가 1이니

여기 1차항의 계수는

두 숫자 a와 b의 합에 해당할 겁니다

그리고 상수항은

두 숫자 a와 b의 곱이 될 겁니다

곱해서 50이고 더하면 15인 두 수를 생각해 봅시다

아까와 같은 방식으로 하면 되고

연습을 여러 번 하면 점점 더 익숙 해 질 겁니다

자 그럼 a와b는 무엇일까요

50의 약수를 한번 생각해 봅시다

50 은 1*50이나

2*25이거나

4는 아니고

5*10이 가능하네요

이제 곱해서 50인 약수의 쌍 중에서
합이 15인 쌍을 찾아 봅시다

1+50은 15가 아니고

2+25도 15가 아닙니다

하지만 5+10은 15네요

5와 10은 더하면 15고 곱하면 50이니

식을 인수분해 한다면
(x+5)(x+10)이 되겠네요

(x+5)(x+10)을 전개해서

실제로 x^2+15x+10이 되는지도 확인해 볼까요

x곱하기 x인 x^2과

x곱하기 10인 +10x와
5곱하기 x인 +5x

그리고 5 곱하기 10인 50이 나오고

같은 차수인 5x와 10x를 더하면 15x가 되서

(x+5)(x+10)은
x^2+15x+50과 같다는 것을 확인했습니다

이제는 계수가 음수인 경우를 생각해봅시다

예를 들어 x^2-11x+24가 있다고 칩시다

아까와 똑같은 방식을 적용할 겁니다

이 식에서 a+b는 -11이 되어야 하고

그리고 ab는 24여야 합니다

잠시 생각해보면

두 숫자 a와 b를 곱했을 때는 양수인

24가 나옵니다

곱하면 양수이니 a와 b는 모두 양수이거나
모두 음수여야 합니다

그래야만 곱이 양수가 됩니다

그런데 더하면 음수인 -11이고

양수끼리 더하면 음수가 되지는 않으니

결국 a+b가 음수라는 점과
ab가 양수라는 점을 조합하면

a와 b는 모두 음수여야 합니다

다시 말하자면 a와 b곱이 양수이니

a와 b의 부호는 같아야 하는데

또 a와 b의 합이 음수이니

결국 a와 b는 모두 음수가 되는 거지요

그러면 무엇이 a와b일지 생각해봅시다

두 음수라는 걸 고려하고

우선 24의 약수에 대해서 생각해봅시다

그리고 이 경우 음수인 약수들을 생각해야 합니다

곱해서 24려면
1과 24, 2와 12, 3과 8 아니면 4와 6이겠네요

여기 있는 모든 쌍들은 곱하면 24가 되는 것들입니다

이 곱이 24인 쌍들 중에서

어떤 쌍이 더해야 11이 될까요

물론 여기서 음수라는 점도 고려해야 합니다

쌍들 중에서 3과 8의 쌍은

곱하면 24이고

더하면 11을 만족합니다

하지만 3과 8이 답은 아닙니다

합이 11이 아닌 -11이기 때문이지요

그렇다면 -3과 -8은 어떨까요

-3곱하기 -8은 +24

-3더하기 -8은 -11

이니 -3과 -8은 조건을 만족합니다

그러니 x^2 -11x +24를 인수분해하면
(x-3)(x-8) 이 됩니다

비슷한 문제를 하나 더 해봅시다

조금 다른 형식으로 해서

이번에는 x^2 + 5x -14를 인수분해 합시다

이전과는 약간 다른 상황입니다

상수항이 음수여서 a 곱하기 b 는 -14입니다.

즉, 곱이 음수인 경우입니다

이 경우 a와 b 중 하나는 양수,
다른 하나는 음수여야 합니다

또 a 와 b를 더하면 5가 나와야 합니다

이제 14의 약수를 생각해 봅시다

약수 중 어떤 양수와 음수의 조합이
더해서 5가 나오게 할까요

하나하나 다 시도해봅시다

우선 1과 14의 경우 -1더하기 14는 +13이고

가능한 조합을 쓰면서 하자면

우선 -1더하기 14인 13과

1더하기 -14인 -13이 가능합니다

이 경우는 5가 안 나오니 안 되겠네요

그러면 2랑 7은 어떨까요

다른 색으로 하자면

-2더하기 7을 하면 5입니다

끝났네요

2더하기 -7은 해도 -5가 나와서 안 되지만

하지만 -2와 7은 더하면 5가 됩니다

그리고 -2곱하기 7은 -14 입니다

a와 b를 찾았네요

이제 인수분해하면
(x-2)(x+7)가 됩니다

꽤 깔끔하네요

-2곱하기 7은 -14이고

-2더하기 7은 5입니다

인수분해 연습을 조금 더 해봅시다

이번에는 x^2-x-56을 인수분해 합시다

두 수의 곱은 -56이 되어야 합니다

또 곱이 음수이니 두 수의 부호는 다르겠네요

그리고 두 수의 합은 -1이 되어야 합니다

직관적으로 가능한 두 수를 생각할 수 있겠나요

여러분도 가능할지는 모르겠지만

56은 8곱하기 7입니다

물론 다른 쌍도 있습니다

28곱하기 2도 되고

다른 쌍도 존재합니다

하지만 8곱하기 7이 생각난 이유는

두 수가 매우 가깝기 때문입니다

합이 -1인

양수 한 개와 음수 한 개가 필요하니

두 수의 절댓값의 차가 작아야겠지요

합이 음수이니 8과 7 중
절댓값이 큰 수가 음수가 될 것입니다.

-8곱하기 7을 하면 -56이 되고요

-8더하기 7을 하면 -1이 나옵니다

그러니 인수분해 하면
(x-8)(x+7)이 나옵니다

사실 인수분해는 대수를 배울 때
사람들이 가장 어려워 하는 것 중 하나입니다

상수항의 가능한 모든 약수를 고려해야 하고

부호도 생각해야 하고

더했을 때 x항의 계수인지도 확인해야 합니다

하지만 연습을 계속 한다면

인수분해는 쉬워질 겁니다

이제 문제 난이도를 조금 높여봅시다

지금까지는 x^2의 계수가 1이였지만

이번에는 계수가 1이 아닌 식

-x^2-5x +24를 인수분해 합시다

어떻게 할까요

쉽게 접근하기 위해

-1를 인수로 빼면

앞에서 한 문제와 같이
2차항의 계수가 1이 됩니다

즉 -1 곱하기 x^2+5x-24로 생각할 수 있습니다

단순히 -1을 인수로 빼낸 겁니다

다시 여기에 -1을 곱하면

원래 식과 같지요

아니면 -1을 인수로 빼내고

양변을 -1로 모두 나누어도

같다는 걸 확인할 수 있습니다

이제부터는 아까와 같은 방식이 적용됩니다

곱해서 -24가 나오는 두 숫자가 필요하니

하나는 양수, 하나는 음수가 되고

두 수를 더하면 5가 되야 할 겁니다

먼저 1과 24를 생각해 봅시다

-1과 24라면 합이 23이 됩니다

부호를 바꿔서 하면 -23이 되겠네요

우리가 찾는 쌍이 아닙니다

그러면 2와 12는 어떨까요

만일 2가 음수라면 두수의 합이 10이고

만일 12가 음수라면 두수의 합이 -10입니다

이 경우도 아니네요

3과 8의 경우

3이 음수라면 합이 5입니다.

끝났네요

-3과 8이 우리가 찾는 두 수 였습니다

-3 더하기 8은 5이고

-3곱하기 8은 -24이니 말이죠

그러니 인수분해하면

인수로 빼낸 -1을 포함시켰을 때

-1 * (x-3)(x+8) 입니다

그리고 만일 원한다면

-1을 x-3에 곱해서

(3-x)을 만들어도 됩니다

물론 꼭 그러지 않아도 됩니다

이런 문제를 하나 더 해봅시다.

연습은 많이 할수록 더 좋으니 말이죠

이번에는

–x^2+18x-72를 해봅시다

마찬가지로 -1을 인수로 빼내면

-1곱하기

x^2-18x+72가 됩니다

이번에는 곱해서 72인 두 수를 생각해봅시다

곱이 양수이니 두 수는 부호가 같아야 합니다

이 경우 조금은 문제가 쉬워집니다

두 수를 곱하면 72이고

두 수를 더하면 -18이 되며

두 수의 부호는 같고 더하면 음수가 나오니

두 수는 모두 음수여야겠네요

이제 72의 약수들을 생각해 봅시다

우선 8곱하기 9를 생각해볼까요

8더하기 9는 17이니

상당히 가깝지만 답은 아닙니다

-9더하기-8은 -17이니

아쉽게도 답은 아닙니다

다른 쌍은 무엇이 있을까요

6과 12로 해 볼까요

-6더하기-12를 한다면

-18이 됩니다

우리가 찾는 쌍이네요

이제 인수분해를 마저 끝내자면

-x^2 + 18x - 72는

-1*(x-6)(x-12)가 되겠네요