WEBVTT

00:00:00.360 --> 00:00:08.840
이번에는 여러 가지 2차 식의 인수분해 문제들을 알아보겠습니다

00:00:08.870 --> 00:00:18.210
때때로 2차 다항식을 2차식이라고 줄여서 부르기도 하는데요

00:00:18.300 --> 00:00:23.060
2차식은 식을 구성하는 변수에서
최대 차수가 2차인 식을 말합니다

00:00:23.090 --> 00:00:26.460
오늘 다룰 문제들은 변수로 x를 이용하겠습니다

00:00:26.460 --> 00:00:35.240
먼저 2차 다항식 x^2+10x+9을 봅시다

00:00:35.280 --> 00:00:39.870
이 식을 2개의 2항식의 곱으로 인수분해 하려면

00:00:39.870 --> 00:00:41.520
어떻게 할까요

00:00:41.520 --> 00:00:51.610
우선 (x+a)와 (x+b)를 곱하면 
어떤 식이 나오는 지 봅시다

00:00:51.690 --> 00:00:55.050
두 식을 곱하면 어떻게 될까요

00:00:55.050 --> 00:00:57.090
그럼 시작해 봅시다

00:00:57.090 --> 00:01:04.970
우선 x에 x를 곱해서 x^2이 나오고, x에 b를 곱한 bx와

00:01:04.970 --> 00:01:12.690
x에 a를 곱한 ax, 그리고 마지막으로 a에 b를 곱한 ab가 나옵니다

00:01:12.690 --> 00:01:15.800
ax와 bx는 똑같이 계수가 x이니

00:01:15.800 --> 00:01:18.890
더해서 하나로 묶을 수 있습니다

00:01:18.890 --> 00:01:21.882
모두 정리하면 우리는 (x+a)(x+b)를

00:01:21.882 --> 00:01:29.700
x^2 + (a+b)x + ab라 쓸 수 있습니다

00:01:29.700 --> 00:01:34.390
이 결과를 통해서 우리는 앞의 2차식이 2개의 2항식의 곱이라면

00:01:34.390 --> 00:01:48.995
이 식의 1차항, 다른 말로는 x항의 계수가 
앞의 계산에서 a+b에 해당하며

00:01:49.040 --> 00:01:52.480
상수항은 ab에 해당한다는 것을 알 수 있습니다

00:01:52.520 --> 00:01:57.290
10은 a+b에

00:01:57.290 --> 00:01:58.790
9는 ab에 대응되는 겁니다

00:01:58.790 --> 00:02:02.600
그리고 당연히 x^2도 서로 대응됩니다

00:02:02.600 --> 00:02:05.590
이 대응 관계를 조합해보면

00:02:05.590 --> 00:02:14.060
a+b 는 10 이면서

00:02:14.060 --> 00:02:22.070
ab 는 9인 a와 b를 찾아야겠네요

00:02:22.070 --> 00:02:23.850
잠시 생각해 볼까요

00:02:23.850 --> 00:02:25.470
9의 약수들을 생각했을 때

00:02:25.470 --> 00:02:27.770
약수 중 a와 b가 될 수 있는 것을 찾아 봅시다

00:02:27.770 --> 00:02:30.130
이 과정에서 우리는 a와 b는 모두 정수라고 가정합니다

00:02:30.130 --> 00:02:35.560
일반적으로 약수를 이용한 인수분는 정수로 
이루어진 식 만을 다룬다는 점을 참고하세요

00:02:35.580 --> 00:02:37.080
다시 돌아와서 9의 약수는 무엇이 있나요

00:02:37.080 --> 00:02:40.730
1, 3, 그리고 9가 있습니다

00:02:40.730 --> 00:02:45.000
그러니 a와 b는 3과 3 또는 1과 9가 될 것입니다

00:02:45.000 --> 00:02:49.880
만약에 a=3이고 b=3이면 
a+b인 3+3은 10이 아니므로 모순입니다

00:02:49.880 --> 00:02:53.760
하지만 a=1이고 b=9이면
ab = 1*9 = 9이고

00:02:53.760 --> 00:02:56.670
a+b = 1+9 = 10이니

00:02:56.670 --> 00:02:57.570
성립합니다

00:02:57.570 --> 00:03:04.190
그래서 a=1이고 b=9입니다

00:03:04.190 --> 00:03:14.320
그러니 x^2 + 10x +9는
(x+1)(x+9)로 인수분해 됩니다

00:03:14.320 --> 00:03:22.880
실제로 (x+1)(x+9)를 전개해도
x^2 + 10x + 9가 나온다는 것을 알 수 있습니다

00:03:22.880 --> 00:03:24.750
지금까지의 결과를 활용하면

00:03:24.750 --> 00:03:30.130
2차식의 x^2항의 계수가 1일때

00:03:30.130 --> 00:03:36.530
단순히 더해서 x항의 계수가 되면서 동시에

00:03:36.530 --> 00:03:41.650
곱하면 상수항인 9가 되는 두 숫자들을
찾으면 인수분해가 끝납니다

00:03:41.660 --> 00:03:43.920
이 방법은 원래 식이
표준형이여야 하며지만

00:03:43.920 --> 00:03:46.520
표준형이 아니라도
표준형으로 만들면 성립해서

00:03:46.550 --> 00:03:52.280
원래 식이 어떻든 표준형에서
1차항의 계수는 a+b에

00:03:52.300 --> 00:03:56.340
상수항은 ab에 해당합니다

00:03:56.370 --> 00:03:58.150
몇 가지 문제를 더 다뤄서

00:03:58.150 --> 00:04:02.590
인수분해를 연습해봅시다

00:04:02.630 --> 00:04:17.410
이번에는 x^2+15x+50을 인수분해 해 봅시다

00:04:17.470 --> 00:04:20.339
같은 방식으로 하자면

00:04:20.339 --> 00:04:22.600
2차항의 계수가 1이니

00:04:22.600 --> 00:04:26.130
여기 1차항의 계수는

00:04:26.130 --> 00:04:27.960
두 숫자 a와 b의 합에 해당할 겁니다

00:04:27.960 --> 00:04:30.620
그리고 상수항은

00:04:30.620 --> 00:04:32.870
두 숫자 a와 b의 곱이 될 겁니다

00:04:32.870 --> 00:04:39.340
곱해서 50이고 더하면 15인 두 수를 생각해 봅시다

00:04:39.340 --> 00:04:42.690
아까와 같은 방식으로 하면 되고

00:04:42.690 --> 00:04:45.730
연습을 여러 번 하면 점점 더 익숙 해 질 겁니다

00:04:45.730 --> 00:04:47.330
자 그럼 a와b는 무엇일까요

00:04:47.330 --> 00:04:48.975
50의 약수를 한번 생각해 봅시다

00:04:48.975 --> 00:04:52.230
50 은 1*50이나

00:04:52.230 --> 00:04:55.072
2*25이거나

00:04:55.072 --> 00:04:57.520
4는 아니고

00:04:57.520 --> 00:05:03.540
5*10이 가능하네요

00:05:03.580 --> 00:05:07.290
이제 곱해서 50인 약수의 쌍 중에서 
합이 15인 쌍을 찾아 봅시다

00:05:07.310 --> 00:05:12.630
1+50은 15가 아니고

00:05:12.630 --> 00:05:16.160
2+25도 15가 아닙니다

00:05:16.160 --> 00:05:19.260
하지만 5+10은 15네요

00:05:19.260 --> 00:05:24.280
5와 10은 더하면 15고 곱하면 50이니

00:05:24.280 --> 00:05:32.540
식을 인수분해 한다면
(x+5)(x+10)이 되겠네요

00:05:32.630 --> 00:05:36.450
(x+5)(x+10)을 전개해서

00:05:36.450 --> 00:05:40.900
실제로 x^2+15x+10이 되는지도 확인해 볼까요

00:05:40.900 --> 00:05:42.960
x곱하기 x인 x^2과

00:05:42.960 --> 00:05:48.600
x곱하기 10인 +10x와
5곱하기 x인 +5x

00:05:48.600 --> 00:05:54.750
그리고 5 곱하기 10인 50이 나오고

00:05:54.750 --> 00:06:00.055
같은 차수인 5x와 10x를 더하면 15x가 되서

00:06:00.055 --> 00:06:06.415
(x+5)(x+10)은
x^2+15x+50과 같다는 것을 확인했습니다

00:06:06.560 --> 00:06:10.980
이제는 계수가 음수인 경우를 생각해봅시다

00:06:11.040 --> 00:06:18.890
예를 들어 x^2-11x+24가 있다고 칩시다

00:06:18.890 --> 00:06:21.610
아까와 똑같은 방식을 적용할 겁니다

00:06:21.610 --> 00:06:30.020
이 식에서 a+b는 -11이 되어야 하고

00:06:30.150 --> 00:06:37.900
그리고 ab는 24여야 합니다

00:06:37.900 --> 00:06:41.290
잠시 생각해보면

00:06:41.290 --> 00:06:45.040
두 숫자 a와 b를 곱했을 때는 양수인

00:06:45.080 --> 00:06:46.960
24가 나옵니다

00:06:46.960 --> 00:06:51.370
곱하면 양수이니 a와 b는 모두 양수이거나
모두 음수여야 합니다

00:06:51.380 --> 00:06:55.050
그래야만 곱이 양수가 됩니다

00:06:55.050 --> 00:06:58.290
그런데 더하면 음수인 -11이고

00:06:58.290 --> 00:07:02.030
양수끼리 더하면 음수가 되지는 않으니

00:07:02.030 --> 00:07:06.970
결국 a+b가 음수라는 점과
ab가 양수라는 점을 조합하면

00:07:06.970 --> 00:07:13.200
a와 b는 모두 음수여야 합니다

00:07:13.200 --> 00:07:15.730
다시 말하자면 a와 b곱이 양수이니

00:07:15.730 --> 00:07:18.710
a와 b의 부호는 같아야 하는데

00:07:18.710 --> 00:07:22.687
또 a와 b의 합이 음수이니

00:07:22.687 --> 00:07:24.520
결국 a와 b는 모두 음수가 되는 거지요

00:07:24.520 --> 00:07:27.500
그러면 무엇이 a와b일지 생각해봅시다

00:07:27.500 --> 00:07:28.990
두 음수라는 걸 고려하고

00:07:28.990 --> 00:07:31.260
우선 24의 약수에 대해서 생각해봅시다

00:07:31.260 --> 00:07:33.500
그리고 이 경우 음수인 약수들을 생각해야 합니다

00:07:33.500 --> 00:07:47.930
곱해서 24려면 
1과 24, 2와 12, 3과 8 아니면 4와 6이겠네요

00:07:48.070 --> 00:07:55.810
여기 있는 모든 쌍들은 곱하면 24가 되는 것들입니다

00:07:59.790 --> 00:08:03.090
이 곱이 24인 쌍들 중에서

00:08:03.090 --> 00:08:08.760
어떤 쌍이 더해야 11이 될까요

00:08:08.790 --> 00:08:11.420
물론 여기서 음수라는 점도 고려해야 합니다

00:08:11.450 --> 00:08:15.470
쌍들 중에서 3과 8의 쌍은

00:08:15.470 --> 00:08:19.150
곱하면 24이고

00:08:19.150 --> 00:08:22.810
더하면 11을 만족합니다

00:08:22.810 --> 00:08:24.680
하지만 3과 8이 답은 아닙니다

00:08:24.680 --> 00:08:26.510
합이 11이 아닌 -11이기 때문이지요

00:08:26.510 --> 00:08:29.690
그렇다면 -3과 -8은 어떨까요

00:08:29.690 --> 00:08:36.929
-3곱하기 -8은 +24

00:08:36.929 --> 00:08:43.580
-3더하기 -8은 -11

00:08:43.580 --> 00:08:46.600
이니 -3과 -8은 조건을 만족합니다

00:08:46.600 --> 00:09:02.910
그러니 x^2 -11x +24를 인수분해하면 
(x-3)(x-8) 이 됩니다

00:09:02.940 --> 00:09:06.270
비슷한 문제를 하나 더 해봅시다

00:09:06.270 --> 00:09:08.330
조금 다른 형식으로 해서

00:09:08.330 --> 00:09:19.810
이번에는 x^2 + 5x -14를 인수분해 합시다

00:09:19.810 --> 00:09:21.770
이전과는 약간 다른 상황입니다

00:09:21.770 --> 00:09:28.160
상수항이 음수여서 a 곱하기 b 는 -14입니다.

00:09:28.190 --> 00:09:29.920
즉, 곱이 음수인 경우입니다

00:09:29.920 --> 00:09:33.820
이 경우 a와 b 중 하나는 양수,
다른 하나는 음수여야 합니다

00:09:33.910 --> 00:09:39.200
또 a 와 b를 더하면 5가 나와야 합니다

00:09:39.200 --> 00:09:41.360
이제 14의 약수를 생각해 봅시다

00:09:41.360 --> 00:09:49.660
약수 중 어떤 양수와 음수의 조합이 
더해서 5가 나오게 할까요

00:09:49.780 --> 00:09:51.310
하나하나 다 시도해봅시다

00:09:51.310 --> 00:10:03.790
우선 1과 14의 경우 -1더하기 14는 +13이고

00:10:04.260 --> 00:10:09.060
가능한 조합을 쓰면서 하자면

00:10:09.440 --> 00:10:16.490
우선 -1더하기 14인 13과

00:10:16.490 --> 00:10:20.460
1더하기 -14인 -13이 가능합니다

00:10:20.540 --> 00:10:22.950
이 경우는 5가 안 나오니 안 되겠네요

00:10:22.950 --> 00:10:27.520
그러면 2랑 7은 어떨까요

00:10:27.520 --> 00:10:29.600
다른 색으로 하자면

00:10:29.600 --> 00:10:35.290
-2더하기 7을 하면 5입니다

00:10:35.290 --> 00:10:36.660
끝났네요

00:10:36.670 --> 00:10:41.070
2더하기 -7은 해도 -5가 나와서 안 되지만

00:10:41.070 --> 00:10:42.960
하지만 -2와 7은 더하면 5가 됩니다

00:10:42.960 --> 00:10:46.590
그리고 -2곱하기 7은 -14 입니다

00:10:46.590 --> 00:10:47.600
a와 b를 찾았네요

00:10:47.600 --> 00:10:53.210
이제 인수분해하면 
(x-2)(x+7)가 됩니다

00:10:53.210 --> 00:10:54.330
꽤 깔끔하네요

00:10:54.330 --> 00:10:56.950
-2곱하기 7은 -14이고

00:10:56.950 --> 00:11:02.100
-2더하기 7은 5입니다

00:11:02.100 --> 00:11:09.470
인수분해 연습을 조금 더 해봅시다

00:11:09.520 --> 00:11:16.360
이번에는 x^2-x-56을 인수분해 합시다

00:11:16.360 --> 00:11:21.600
두 수의 곱은 -56이 되어야 합니다

00:11:21.620 --> 00:11:26.200
또 곱이 음수이니 두 수의 부호는 다르겠네요

00:11:26.280 --> 00:11:28.350
그리고 두 수의 합은 -1이 되어야 합니다

00:11:28.350 --> 00:11:30.660
직관적으로 가능한 두 수를 생각할 수 있겠나요

00:11:30.660 --> 00:11:33.390
여러분도 가능할지는 모르겠지만

00:11:33.390 --> 00:11:36.440
56은 8곱하기 7입니다

00:11:36.480 --> 00:11:37.920
물론 다른 쌍도 있습니다

00:11:37.920 --> 00:11:39.950
28곱하기 2도 되고

00:11:39.950 --> 00:11:41.140
다른 쌍도 존재합니다

00:11:41.140 --> 00:11:44.300
하지만 8곱하기 7이 생각난 이유는

00:11:44.300 --> 00:11:45.470
두 수가 매우 가깝기 때문입니다

00:11:45.470 --> 00:11:47.530
합이 -1인

00:11:47.530 --> 00:11:50.430
양수 한 개와 음수 한 개가 필요하니

00:11:50.430 --> 00:11:51.810
두 수의 절댓값의 차가 작아야겠지요

00:11:51.810 --> 00:11:58.380
합이 음수이니 8과 7 중 
절댓값이 큰 수가 음수가 될 것입니다.

00:11:58.460 --> 00:12:03.230
-8곱하기 7을 하면 -56이 되고요

00:12:03.320 --> 00:12:11.990
-8더하기 7을 하면 -1이 나옵니다

00:12:12.100 --> 00:12:18.640
그러니 인수분해 하면 
(x-8)(x+7)이 나옵니다

00:12:18.690 --> 00:12:23.985
사실 인수분해는 대수를 배울 때 
사람들이 가장 어려워 하는 것 중 하나입니다

00:12:23.985 --> 00:12:26.930
상수항의 가능한 모든 약수를 고려해야 하고

00:12:26.930 --> 00:12:29.500
부호도 생각해야 하고

00:12:29.500 --> 00:12:33.550
더했을 때 x항의 계수인지도 확인해야 합니다

00:12:33.590 --> 00:12:35.860
하지만 연습을 계속 한다면

00:12:35.860 --> 00:12:39.280
인수분해는 쉬워질 겁니다

00:12:39.280 --> 00:12:43.150
이제 문제 난이도를 조금 높여봅시다

00:12:45.540 --> 00:12:50.670
지금까지는 x^2의 계수가 1이였지만

00:12:50.690 --> 00:12:54.290
이번에는 계수가 1이 아닌 식

00:12:54.290 --> 00:12:59.440
-x^2-5x +24를 인수분해 합시다

00:12:59.440 --> 00:13:00.910
어떻게 할까요

00:13:00.910 --> 00:13:03.420
쉽게 접근하기 위해

00:13:03.420 --> 00:13:05.670
-1를 인수로 빼면

00:13:05.670 --> 00:13:07.260
앞에서 한 문제와 같이
2차항의 계수가 1이 됩니다

00:13:07.260 --> 00:13:16.240
즉 -1 곱하기 x^2+5x-24로 생각할 수 있습니다

00:13:16.300 --> 00:13:18.080
단순히 -1을 인수로 빼낸 겁니다

00:13:18.080 --> 00:13:20.180
다시 여기에 -1을 곱하면

00:13:20.180 --> 00:13:21.690
원래 식과 같지요

00:13:21.690 --> 00:13:23.555
아니면 -1을 인수로 빼내고

00:13:23.555 --> 00:13:25.000
양변을 -1로 모두 나누어도

00:13:25.000 --> 00:13:26.760
같다는 걸 확인할 수 있습니다

00:13:26.760 --> 00:13:29.360
이제부터는 아까와 같은 방식이 적용됩니다

00:13:29.360 --> 00:13:34.660
곱해서 -24가 나오는 두 숫자가 필요하니

00:13:34.690 --> 00:13:37.465
하나는 양수, 하나는 음수가 되고

00:13:37.465 --> 00:13:43.770
두 수를 더하면 5가 되야 할 겁니다

00:13:43.770 --> 00:13:48.850
먼저 1과 24를 생각해 봅시다

00:13:48.850 --> 00:13:55.750
-1과 24라면 합이 23이 됩니다

00:13:55.750 --> 00:13:57.540
부호를 바꿔서 하면 -23이 되겠네요

00:13:57.540 --> 00:13:58.500
우리가 찾는 쌍이 아닙니다

00:13:58.500 --> 00:14:01.750
그러면 2와 12는 어떨까요

00:14:01.750 --> 00:14:07.570
만일 2가 음수라면 두수의 합이 10이고

00:14:07.570 --> 00:14:09.750
만일 12가 음수라면 두수의 합이 -10입니다

00:14:09.750 --> 00:14:11.300
이 경우도 아니네요

00:14:11.300 --> 00:14:13.290
3과 8의 경우

00:14:13.290 --> 00:14:16.850
3이 음수라면 합이 5입니다.

00:14:16.850 --> 00:14:17.910
끝났네요

00:14:17.910 --> 00:14:24.620
-3과 8이 우리가 찾는 두 수 였습니다

00:14:24.620 --> 00:14:26.630
-3 더하기 8은 5이고

00:14:26.630 --> 00:14:29.510
-3곱하기 8은 -24이니 말이죠

00:14:29.510 --> 00:14:31.640
그러니 인수분해하면

00:14:31.640 --> 00:14:35.230
인수로 빼낸 -1을 포함시켰을 때

00:14:35.230 --> 00:14:42.990
-1 * (x-3)(x+8) 입니다

00:14:42.990 --> 00:14:44.800
그리고 만일 원한다면

00:14:44.800 --> 00:14:46.450
-1을 x-3에 곱해서

00:14:46.450 --> 00:14:47.760
(3-x)을 만들어도 됩니다

00:14:47.760 --> 00:14:49.140
물론 꼭 그러지 않아도 됩니다

00:14:49.150 --> 00:14:53.220
이런 문제를 하나 더 해봅시다.

00:14:53.220 --> 00:14:56.060
연습은 많이 할수록 더 좋으니 말이죠

00:14:56.060 --> 00:14:57.880
이번에는

00:14:57.880 --> 00:15:06.690
–x^2+18x-72를 해봅시다

00:15:06.690 --> 00:15:09.320
마찬가지로 -1을 인수로 빼내면

00:15:09.320 --> 00:15:11.980
-1곱하기

00:15:11.980 --> 00:15:16.910
x^2-18x+72가 됩니다

00:15:16.910 --> 00:15:22.190
이번에는 곱해서 72인 두 수를 생각해봅시다

00:15:22.190 --> 00:15:24.480
곱이 양수이니 두 수는 부호가 같아야 합니다

00:15:24.480 --> 00:15:26.930
이 경우 조금은 문제가 쉬워집니다

00:15:26.930 --> 00:15:29.260
두 수를 곱하면 72이고

00:15:29.260 --> 00:15:32.040
두 수를 더하면 -18이 되며

00:15:32.040 --> 00:15:34.410
두 수의 부호는 같고 더하면 음수가 나오니

00:15:34.410 --> 00:15:40.800
두 수는 모두 음수여야겠네요

00:15:41.470 --> 00:15:43.790
이제 72의 약수들을 생각해 봅시다

00:15:43.790 --> 00:15:48.510
우선 8곱하기 9를 생각해볼까요

00:15:48.610 --> 00:15:54.870
8더하기 9는 17이니

00:15:54.870 --> 00:15:58.860
상당히 가깝지만 답은 아닙니다

00:15:59.000 --> 00:16:04.400
-9더하기-8은 -17이니

00:16:04.400 --> 00:16:06.140
아쉽게도 답은 아닙니다

00:16:06.140 --> 00:16:07.340
다른 쌍은 무엇이 있을까요

00:16:07.340 --> 00:16:09.525
6과 12로 해 볼까요

00:16:09.705 --> 00:16:13.710
-6더하기-12를 한다면

00:16:13.710 --> 00:16:15.360
-18이 됩니다

00:16:15.360 --> 00:16:16.590
우리가 찾는 쌍이네요

00:16:16.590 --> 00:16:18.810
이제 인수분해를 마저 끝내자면

00:16:18.810 --> 00:16:22.360
-x^2 + 18x - 72는

00:16:22.360 --> 00:16:29.440
-1*(x-6)(x-12)가 되겠네요