2次多項式の因数分解

2次多項式の因数分解

_

このビデオでは、quadraticと呼ばれるー

2次多項式の因数分解の例を

たくさん示すよ。

呼び方は quadratic polynominal とか、単に

quadratic とか、quadratic expression とかあるけど、

どれも 2次多項式のことをいう。

つまり、変数の2乗がある

ということだ。

ここで扱う変数は、全て x としよう。

ここに x の多項式があるとする。

x2乗 + 10x + 9 だ。

これを 2項の式の積となるように因数分解したい。

どうすればいいかな？

じゃあ、仮に ( x + a ) ( x + b ) になるとしたら

どうなるかを考えてみよう。

2式を掛け算するとどうなるかな？

これは やったことがあるね。

計算すると x２乗 + bx +

+ ax + ab になる。

ここで真ん中の2項は同じ x を係数にもつので、

足すことができる。

x2乗 + ( b + a )x {または (a + b)x } + ab

でも良い。

だから、一般にこれを

2項の積 と仮定するなら、

真ん中にある x の項 (1次の項) の係数は

a と b の和になるよね。

そして、定数項は

a と b の積になる。

いいかな。こことここが対応していて、

こっちとこっちも対応しているんだ。

もちろん 2次の項は同じだね。

さて、何とかして左の式を右のような形にできるかな？

a + b = 10 となり、しかも a × b = 9 となる

a と b を探せば良いね。

少し考えてみよう。

9 の因数を求めて、

そのうち和が 10 の2数を選べば良い。

ただし、ここには整数しか出てこないと仮定しよう。

因数分解の、特に基礎では、

たいてい整数しか

扱わないんだ。

さて、9 の因数は何だろう？

1, 3, 9 だ。

a, b は 3と3 かもしれないし、 1と9 かもしれない。

3と3 を選べば、和は 3+3 になり、

10にならない。

でも 1と9 を選ぶと、 1×9 = 9 になり、

1+9 = 10 になる。

これなら つじつまが合う。

だから a=1, b=9 という組み合わせを選べば良い。

だから、因数分解の結果は (x+1)

(x+9) になるんだ。

ここで、直前の数個のビデオで学んだスキルを使うと、

この2つを掛けることができる。すると元通り

x^2 + 10x + 9 　になるね。

つまり、この式のように

2次式の最高次の項の係数が1の時、言い換えれば

xの2乗項の係数が 1 の時、君がすべき事は

和が この項の係数となり、なおかつ

_

積が 9 (定数項の数) となる 2つの数を

探せば良いんだ。

もちろん、そのためには標準系である必要がある。

もし標準系でなくても、標準形に直してしまえば

簡単だ。「よしよし、1次の項が何であっても、

aとbの和になれば良いんだ。

それから

定数項が何であっても、aとbの積になれば良いんだ。」とだけ

考えれば良い。

他の例をいくつか考えてみよう。

多くの例を考えたほうが、理解が進む

だろうからね。

ここに x^2 + 10x + …

10x だと上と同じになっちゃうな。 x^2,

+ 15x + 50 にしよう。

これを因数分解したい。

これもさっきと同じさ。

x^2 の項があって、それから

1次の項がある。

ここは 2数の和 になれば良い。

そしてこっちの定数項は、

2数の積 になれば良い。

つまり、次のような2つの数を探すんだ。

掛けると 50 になって、足すと 15 になる2数を探そう。

ちょっとコツが必要だけど、

練習するほど

自然に出来るようになるよ。

a と b は何になるだろう？

まず 50 の因数を考えよう。

1 × 50 とか、

2 × 25 、それから

4 は、50にならないな。

5 × 10,

これで全部かな。

この中で 和が15 になる数の組を

探そう。

1 + 50 は 15 ではないね。

2 + 25 も 15 ではない。しかし、

5 + 10 は 15 だ。

つまり こっちは 5+10 で、こっちは 5×10 だったんだ。

だからこれを因数分解すると、

(x+5)(x+10) になる。

これらを掛けてみよう。

掛けた結果が、元の x^2 + 15x + 10 になるのを

確認することをオススメするよ。

やってみよう。 x×x は x^2,

x × 10 は +10x,

5 × x は +5x,

5 × 10 は +50.

5 × 10 が 50 になって、

5x + 10x は合わせると 15x になるから、

元通り x^2 + 15x + 50 になった。

他の問題にも取り組んでみよう。今度は

負の数が出てくるよ。

x^2 -11x +24 を考えよう。

解き方は全く同じさ。

次を満たす 2つの数を探せば良い。

まず和が -11 になる。

a + b = -11 だ。

それから、 a × b = 24 になる。

ここで頭を働かせよう。

2つの数を掛けると、

正の数である

24 が得られる。

ここから、2つの数は どちらとも正か、どちらとも

負である事が分かる。

積が正になるなら、そうとしか考えられない。

次に、和は負の数だ。

もし2数とも正なら、和が負数になる「はずがない」。

だから、和が負である事と、

積が正である事から、

a と b はどちらとも負である事が分かる。

a と b は負になるんだ。

「片方が負で、もう片方が正」と仮定すると、

積が負になって矛盾する。

それから、「両方とも正」と仮定すると、

和が正になって矛盾する。

a も b も負であることが分かったので、

次は数字を考えよう。

まずは 24 の因数を挙げよう。

負の引数を考えれば良い。

ええと, 1 × 24 , 2 × 11 , 3 ×

8 , それから 4 × 6.

このうち、掛けて 24 になるのは、

明らかだけど, 1 × 24 は 24,

2 × 11 は… 間違えた。2 × 12 は

24.

このようにして、積が24になる数の組を得られる。

このうち、足すと11になる2数は

何だろう？

ただし、2数ともマイナス記号を

付けるとしよう。

ここでは 3 と 8 が正解っぽいね。

3 × 8 = 24 で,

3 + 8 = 11 だ。

でも、これは正しくないよね。何故なら、

ここの 11 にマイナスが付いているから。

それじゃあ、 -3 と -8 ならどうだろう。

-3 × -8 = +24 ,

-3 + -8 = -11 ,

よって、 -3 と -8 が正しい。

だからこれを因数分解すると、x^2 -11x +24 =

(x-3)(x-8) になる。

似た問題をもう1つやってみよう。

少し思案しないと解けない問題だ。

x^2 +5x +14 を考えよう。

これはさっきと違う状況だ。

2数の積が負だよね。a × b が

-14 になる。

積が負なんだ。

ここから、片方が正で、もう片方が負である事が

分かる。

そして a と b の和が 5 になる。

それじゃあ 14 の因数を挙げて、

そのうち2数の片方を正、もう片方を負にした時、

和が 5 になるような、（マイナス符号を除いた場合は差になるけど、）

そんな組み合わせは何だろう？

順番に試してみよう。 1 と 14 では、

1 と 14だと、 -1 + 14 = 13 で

1 + -14 = -13 だ。

全ての組み合わせを書き下すことにしよう。

そうすれば理解しやすいだろうから。

-1 + 14 = 13 だ。

それから 1 + -14 = -13 だ。

和が 5 でないから、

これは違うね。

それじゃあ 2 と 7 はどうだろう？

-2 が... おっと、色を変えよう。

-2 + 7 なら、5 になる。

見つけた！

これで合ってるね！

2 + -7 も試してみると、

-5 になるから合わない。

でも -2 + 7 なら、つじつまが合う。

-2 × 7 = -14 となるから

必要な数字が出揃った。

答えは (x-2)(x+7) と分かる。

簡潔になったね。

-2 × 7 = -14 で、

-2 + 7 = +5 だ。

_

上達のために、もう数問

解いてみよう。

x^2 -x -56 を考えよう。

ここで ある2数を考える。積が -56 で、

ここで ある2数を考える。積が -56 で、

差が -1 となる数だ。「差」というのは、片方が正で

もう片方が負だからだよね。

差が -1 になるんだ。

ここで私の頭に適切な数字が浮かぶ。

君も思い浮かんだかは分からないけど、

九九の表で出てきた数字だ。

56 = 8 × 7.

もちろん、他の数も考えられる。

28 × 2 とか

色々あるけど、

8 と 7 が近い数字だから、

有力な候補という感じがする。

さて、2数は 近い数字で、

片方が正、もう片方が

負だ。

ここで和が負であることから、

2数のうち大きい方が負のはずだ。

だから -8 × 7 をとると

-56 になり、

-8 + 7 なら

-1 で、この係数にピッタリ一致する。

よってこれを因数分解すると、(x-8)

(x+7) になる。

コツが必要だから、これは代数学の中でもかなり難しい-

概念だと感じる人が多いだろう。

まず この項の係数を挙げて、

和が x項の係数になるには

どちらが正で、どちらが負なのかを

試す必要がある。

でも多く練習するほど、熟練して

自然に出来るようになるだろう。

さて、もう少し先に進もう。

ここに -x^2, 今まで沢山やってきたのは

全て x^2 の係数が

+1 だった。

けど、今回は マイナス x^2

-5x +24 だ。

どうすれば良いだろう？

恐らく最も簡単な方法は、

-1 をくくり出す事だろう。すると

前と似た問題になる。

= -1 × (x^2

+5x -24) となる

よね。

-1 をくくり出しただけさ。

括弧の中の全ての項に -1 を掛けると、左と等しくなるのを

確認できる。

あるいは、両辺を -1 で割っても

右辺と左辺が

等しいことを確認できる。

さっきと同じお遊びさ。

ある2数を探す。その積は

-24 だ。

だから 片方が正で、もう片方が負だ。

_

一方で和は 5 になる。

では 24 の因数 1 × 24 を考えよう。

-1 と 24 では、和が +23 になる。

正負を入れ替えても -23 となり、

正しくない。

2 と 12 はどうだろう？

片方は負でなければならない

から、

2 を負にしてみる。すると和は 10 だ。

12 の方を負にすると、和は -10 だ。

これも正しくない。

3 と 8 では？

3 を負にすると、和は 5 だ。

これは正しい！

-3 と 8 を選ぶと、つじつまが合う。

何故なら -3 + 8 = 5 で、

-3 × 8 = -24 だからだ。

よって結果は、

(最初の -1 を忘れずに書こう。)

-1 × (x-3) (x+8) となる。

もしその気なら、

(x-3) に -1 を掛けて

(3-x) にもできる。

もちろんしなくても良い。

_

もう一問だけやってみよう。

練習を積むほど良いと思うんだ。

よし、 -x^2

+18x -72 を考えよう。

繰り返しになるけど、 -1 でくくろうと思う。

よって = -1 (x^2

-18x +72) になる。

次に2つの数さえ分かれば良い。

2数の積が 72 だから

2数の符号は同じだ。

これなら簡単な気がする。そう思うのは僕だけかもしれないけど。

掛けると 72 になって、

足すと -18 になる数は？

同じ符号で、和が負ということは、

2数とも負だ。

_

72 の因数を元に探そう。

君の頭に 「8 × 9」が浮かんだとして、

-8 -9 [ あるいは -8 + -9 ] では

上手くいかない。

17 になってしまう。

これは惜しい。

画面に書いておこう。

-9 + -8 = -17.

惜しいけど残念。

他には何が考えられるだろう？

6 と 12 では？

けっこう良い気がする。

-6 + -12 では

-18 になる。

コツをつかまない間は、

他の多くの因数を試すハメになるだろう。

結果は -1 × ... (これを忘れたくはないものだね)

(x-6)(x-12) となる。

_