0:00:00.000,0:00:00.360
_

0:00:00.360,0:00:03.870
このビデオでは、quadraticと呼ばれるー

0:00:03.870,0:00:06.590
2次多項式の因数分解の例を

0:00:06.590,0:00:08.870
たくさん示すよ。

0:00:08.870,0:00:12.650
呼び方は quadratic polynominal とか、単に

0:00:12.650,0:00:15.850
quadratic とか、quadratic expression とかあるけど、

0:00:15.850,0:00:18.300
どれも 2次多項式のことをいう。

0:00:18.300,0:00:22.440
つまり、変数の2乗がある

0:00:22.440,0:00:23.080
ということだ。

0:00:23.080,0:00:26.460
ここで扱う変数は、全て x としよう。

0:00:26.460,0:00:30.740
ここに x の多項式があるとする。

0:00:30.740,0:00:35.280
x2乗 + 10x + 9 だ。

0:00:35.280,0:00:39.870
これを 2項の式の積となるように因数分解したい。

0:00:39.870,0:00:41.520
どうすればいいかな？

0:00:41.520,0:00:44.440
じゃあ、仮に ( x + a ) ( x + b ) になるとしたら

0:00:44.440,0:00:51.690
どうなるかを考えてみよう。

0:00:51.690,0:00:55.050
2式を掛け算するとどうなるかな？

0:00:55.050,0:00:57.090
これは やったことがあるね。

0:00:57.090,0:01:03.170
計算すると x２乗 + bx +

0:01:03.170,0:01:12.690
+ ax + ab になる。

0:01:12.690,0:01:15.800
ここで真ん中の2項は同じ x を係数にもつので、

0:01:15.800,0:01:18.890
足すことができる。

0:01:18.890,0:01:22.102
x2乗 + ( b + a )x {または (a + b)x } + ab

0:01:22.102,0:01:29.700
でも良い。

0:01:29.700,0:01:34.390
だから、一般にこれを

0:01:34.390,0:01:40.765
2項の積 と仮定するなら、

0:01:40.765,0:01:43.250
真ん中にある x の項 (1次の項) の係数は

0:01:43.250,0:01:49.040
a と b の和になるよね。

0:01:49.040,0:01:51.360
そして、定数項は

0:01:51.360,0:01:52.520
a と b の積になる。

0:01:52.520,0:01:57.290
いいかな。こことここが対応していて、

0:01:57.290,0:01:58.790
こっちとこっちも対応しているんだ。

0:01:58.790,0:02:02.600
もちろん 2次の項は同じだね。

0:02:02.600,0:02:05.590
さて、何とかして左の式を右のような形にできるかな？

0:02:05.590,0:02:14.060
a + b = 10 となり、しかも a × b = 9 となる

0:02:14.060,0:02:22.070
a と b を探せば良いね。

0:02:22.070,0:02:23.850
少し考えてみよう。

0:02:23.850,0:02:25.470
9 の因数を求めて、

0:02:25.470,0:02:27.770
そのうち和が 10 の2数を選べば良い。

0:02:27.770,0:02:29.170
ただし、ここには整数しか出てこないと仮定しよう。

0:02:29.170,0:02:32.350
因数分解の、特に基礎では、

0:02:32.350,0:02:33.950
たいてい整数しか

0:02:33.950,0:02:35.580
扱わないんだ。

0:02:35.580,0:02:37.080
さて、9 の因数は何だろう？

0:02:37.080,0:02:40.730
1, 3, 9 だ。

0:02:40.730,0:02:45.000
a, b は 3と3 かもしれないし、 1と9 かもしれない。

0:02:45.000,0:02:48.630
3と3 を選べば、和は 3+3 になり、

0:02:48.630,0:02:49.840
10にならない。

0:02:49.840,0:02:53.760
でも 1と9 を選ぶと、 1×9 = 9 になり、

0:02:53.760,0:02:56.670
1+9 = 10 になる。

0:02:56.670,0:02:57.570
これなら つじつまが合う。

0:02:57.570,0:03:04.190
だから a=1, b=9 という組み合わせを選べば良い。

0:03:04.190,0:03:08.920
だから、因数分解の結果は (x+1)

0:03:08.920,0:03:12.970
(x+9) になるんだ。

0:03:12.970,0:03:15.850
ここで、直前の数個のビデオで学んだスキルを使うと、

0:03:15.850,0:03:18.970
この2つを掛けることができる。すると元通り

0:03:18.970,0:03:22.880
x^2 + 10x + 9 　になるね。

0:03:22.880,0:03:25.150
つまり、この式のように

0:03:25.150,0:03:28.070
2次式の最高次の項の係数が1の時、言い換えれば

0:03:28.070,0:03:31.650
xの2乗項の係数が 1 の時、君がすべき事は

0:03:31.650,0:03:34.530
和が この項の係数となり、なおかつ

0:03:34.530,0:03:37.720
_

0:03:37.720,0:03:39.870
積が 9 (定数項の数) となる 2つの数を

0:03:39.870,0:03:41.660
探せば良いんだ。

0:03:41.660,0:03:43.510
もちろん、そのためには標準系である必要がある。

0:03:43.510,0:03:46.000
もし標準系でなくても、標準形に直してしまえば

0:03:46.000,0:03:48.500
簡単だ。「よしよし、1次の項が何であっても、

0:03:48.500,0:03:51.530
aとbの和になれば良いんだ。

0:03:51.530,0:03:52.300
それから

0:03:52.300,0:03:55.890
定数項が何であっても、aとbの積になれば良いんだ。」とだけ

0:03:55.890,0:03:56.370
考えれば良い。

0:03:56.370,0:03:58.150
他の例をいくつか考えてみよう。

0:03:58.150,0:04:00.510
多くの例を考えたほうが、理解が進む

0:04:00.510,0:04:02.630
だろうからね。

0:04:02.630,0:04:08.700
ここに x^2 + 10x + …

0:04:08.700,0:04:11.100
10x だと上と同じになっちゃうな。 x^2,

0:04:11.100,0:04:15.366
+ 15x + 50 にしよう。

0:04:15.366,0:04:17.470
これを因数分解したい。

0:04:17.470,0:04:20.339
これもさっきと同じさ。

0:04:20.339,0:04:22.600
x^2 の項があって、それから

0:04:22.600,0:04:25.130
1次の項がある。

0:04:25.130,0:04:27.960
ここは 2数の和 になれば良い。

0:04:27.960,0:04:30.620
そしてこっちの定数項は、

0:04:30.620,0:04:32.870
2数の積 になれば良い。

0:04:32.870,0:04:35.640
つまり、次のような2つの数を探すんだ。

0:04:35.640,0:04:39.220
掛けると 50 になって、足すと 15 になる2数を探そう。

0:04:39.220,0:04:41.910
ちょっとコツが必要だけど、

0:04:41.910,0:04:44.530
練習するほど

0:04:44.530,0:04:45.730
自然に出来るようになるよ。

0:04:45.730,0:04:47.330
a と b は何になるだろう？

0:04:47.330,0:04:48.975
まず 50 の因数を考えよう。

0:04:48.975,0:04:52.230
1 × 50 とか、

0:04:52.230,0:04:55.072
2 × 25 、それから

0:04:55.072,0:04:57.520
4 は、50にならないな。

0:04:57.520,0:05:02.450
5 × 10,

0:05:02.450,0:05:03.580
これで全部かな。

0:05:03.580,0:05:05.920
この中で 和が15 になる数の組を

0:05:05.920,0:05:07.310
探そう。

0:05:07.310,0:05:12.630
1 + 50 は 15 ではないね。

0:05:12.630,0:05:16.160
2 + 25 も 15 ではない。しかし、

0:05:16.160,0:05:19.260
5 + 10 は 15 だ。

0:05:19.260,0:05:24.280
つまり こっちは 5+10 で、こっちは 5×10 だったんだ。

0:05:24.280,0:05:28.760
だからこれを因数分解すると、

0:05:28.760,0:05:32.630
(x+5)(x+10) になる。

0:05:32.630,0:05:33.840
これらを掛けてみよう。

0:05:33.840,0:05:36.710
掛けた結果が、元の x^2 + 15x + 10 になるのを

0:05:36.710,0:05:39.660
確認することをオススメするよ。

0:05:39.660,0:05:43.320
やってみよう。 x×x は x^2,

0:05:43.320,0:05:45.800
x × 10 は +10x,

0:05:45.800,0:05:48.600
5 × x は +5x,

0:05:48.600,0:05:51.620
5 × 10 は +50.

0:05:51.620,0:05:55.220
5 × 10 が 50 になって、

0:05:55.220,0:06:00.890
5x + 10x は合わせると 15x になるから、

0:06:00.890,0:06:06.560
元通り x^2 + 15x + 50 になった。

0:06:06.560,0:06:09.440
他の問題にも取り組んでみよう。今度は

0:06:09.440,0:06:11.040
負の数が出てくるよ。

0:06:11.040,0:06:18.890
x^2 -11x +24 を考えよう。

0:06:18.890,0:06:21.610
解き方は全く同じさ。

0:06:21.610,0:06:24.580
次を満たす 2つの数を探せば良い。

0:06:24.580,0:06:26.570
まず和が -11 になる。

0:06:26.570,0:06:30.150
a + b = -11 だ。

0:06:30.150,0:06:37.900
それから、 a × b = 24 になる。

0:06:37.900,0:06:41.290
ここで頭を働かせよう。

0:06:41.290,0:06:43.960
2つの数を掛けると、

0:06:43.960,0:06:45.080
正の数である

0:06:45.080,0:06:46.960
24 が得られる。

0:06:46.960,0:06:50.260
ここから、2つの数は どちらとも正か、どちらとも

0:06:50.260,0:06:51.380
負である事が分かる。

0:06:51.380,0:06:55.050
積が正になるなら、そうとしか考えられない。

0:06:55.050,0:06:58.290
次に、和は負の数だ。

0:06:58.290,0:07:00.720
もし2数とも正なら、和が負数になる「はずがない」。

0:07:00.720,0:07:03.280
だから、和が負である事と、

0:07:03.280,0:07:05.750
積が正である事から、

0:07:05.750,0:07:10.420
a と b はどちらとも負である事が分かる。

0:07:10.420,0:07:13.200
a と b は負になるんだ。

0:07:13.200,0:07:15.730
「片方が負で、もう片方が正」と仮定すると、

0:07:15.730,0:07:18.710
積が負になって矛盾する。

0:07:18.710,0:07:22.687
それから、「両方とも正」と仮定すると、

0:07:22.687,0:07:24.520
和が正になって矛盾する。

0:07:24.520,0:07:27.500
a も b も負であることが分かったので、

0:07:27.500,0:07:28.990
次は数字を考えよう。

0:07:28.990,0:07:31.260
まずは 24 の因数を挙げよう。

0:07:31.260,0:07:33.140
負の引数を考えれば良い。

0:07:33.140,0:07:44.670
ええと, 1 × 24 , 2 × 11 , 3 ×

0:07:44.670,0:07:48.070
8 , それから 4 × 6.

0:07:48.070,0:07:51.220
このうち、掛けて 24 になるのは、

0:07:51.220,0:07:54.380
明らかだけど, 1 × 24 は 24,

0:07:54.380,0:07:58.910
2 × 11 は… 間違えた。2 × 12 は

0:07:58.910,0:07:59.790
24.

0:07:59.790,0:08:03.090
このようにして、積が24になる数の組を得られる。

0:08:03.090,0:08:07.470
このうち、足すと11になる2数は

0:08:07.470,0:08:08.790
何だろう？

0:08:08.790,0:08:09.880
ただし、2数ともマイナス記号を

0:08:09.880,0:08:11.450
付けるとしよう。

0:08:11.450,0:08:15.470
ここでは 3 と 8 が正解っぽいね。

0:08:15.470,0:08:19.150
3 × 8 = 24 で,

0:08:19.150,0:08:22.810
3 + 8 = 11 だ。

0:08:22.810,0:08:24.680
でも、これは正しくないよね。何故なら、

0:08:24.680,0:08:26.510
ここの 11 にマイナスが付いているから。

0:08:26.510,0:08:29.690
それじゃあ、 -3 と -8 ならどうだろう。

0:08:29.690,0:08:37.789
-3 × -8 = +24 ,

0:08:37.789,0:08:43.580
-3 + -8 = -11 ,

0:08:43.580,0:08:46.600
よって、 -3 と -8 が正しい。

0:08:46.600,0:08:53.840
だからこれを因数分解すると、x^2 -11x +24 =

0:08:53.840,0:09:02.940
(x-3)(x-8) になる。

0:09:02.940,0:09:06.270
似た問題をもう1つやってみよう。

0:09:06.270,0:09:08.330
少し思案しないと解けない問題だ。

0:09:08.330,0:09:19.810
x^2 +5x +14 を考えよう。

0:09:19.810,0:09:21.770
これはさっきと違う状況だ。

0:09:21.770,0:09:26.460
2数の積が負だよね。a × b が

0:09:26.460,0:09:28.190
-14 になる。

0:09:28.190,0:09:29.920
積が負なんだ。

0:09:29.920,0:09:32.930
ここから、片方が正で、もう片方が負である事が

0:09:32.930,0:09:33.910
分かる。

0:09:33.910,0:09:39.200
そして a と b の和が 5 になる。

0:09:39.200,0:09:41.360
それじゃあ 14 の因数を挙げて、

0:09:41.360,0:09:44.300
そのうち2数の片方を正、もう片方を負にした時、

0:09:44.300,0:09:46.560
和が 5 になるような、（マイナス符号を除いた場合は差になるけど、）

0:09:46.560,0:09:49.780
そんな組み合わせは何だろう？

0:09:49.780,0:09:53.450
順番に試してみよう。 1 と 14 では、

0:09:53.450,0:10:01.820
1 と 14だと、 -1 + 14 = 13 で

0:10:01.820,0:10:04.260
1 + -14 = -13 だ。

0:10:04.260,0:10:07.430
全ての組み合わせを書き下すことにしよう。

0:10:07.430,0:10:09.440
そうすれば理解しやすいだろうから。

0:10:09.440,0:10:16.490
-1 + 14 = 13 だ。

0:10:16.490,0:10:20.460
それから 1 + -14 = -13 だ。

0:10:20.460,0:10:21.380
和が 5 でないから、

0:10:21.380,0:10:22.950
これは違うね。

0:10:22.950,0:10:24.860
それじゃあ 2 と 7 はどうだろう？

0:10:24.860,0:10:29.600
-2 が... おっと、色を変えよう。

0:10:29.600,0:10:35.290
-2 + 7 なら、5 になる。

0:10:35.290,0:10:35.750
見つけた！

0:10:35.750,0:10:36.670
これで合ってるね！

0:10:36.670,0:10:39.440
2 + -7 も試してみると、

0:10:39.440,0:10:41.070
-5 になるから合わない。

0:10:41.070,0:10:42.960
でも -2 + 7 なら、つじつまが合う。

0:10:42.960,0:10:46.590
-2 × 7 = -14 となるから

0:10:46.590,0:10:47.600
必要な数字が出揃った。

0:10:47.600,0:10:53.210
答えは (x-2)(x+7) と分かる。

0:10:53.210,0:10:54.330
簡潔になったね。

0:10:54.330,0:10:56.950
-2 × 7 = -14 で、

0:10:56.950,0:11:00.880
-2 + 7 = +5 だ。

0:11:00.880,0:11:03.760
_

0:11:03.760,0:11:07.680
上達のために、もう数問

0:11:07.680,0:11:09.520
解いてみよう。

0:11:09.520,0:11:16.360
x^2 -x -56 を考えよう。

0:11:16.360,0:11:19.570
ここで ある2数を考える。積が -56 で、

0:11:19.570,0:11:21.620
ここで ある2数を考える。積が -56 で、

0:11:21.620,0:11:24.430
差が -1 となる数だ。「差」というのは、片方が正で

0:11:24.430,0:11:26.280
もう片方が負だからだよね。

0:11:26.280,0:11:28.350
差が -1 になるんだ。

0:11:28.350,0:11:30.130
ここで私の頭に適切な数字が浮かぶ。

0:11:30.130,0:11:31.900
君も思い浮かんだかは分からないけど、

0:11:31.900,0:11:33.740
九九の表で出てきた数字だ。

0:11:33.740,0:11:36.480
56 = 8 × 7.

0:11:36.480,0:11:37.480
もちろん、他の数も考えられる。

0:11:37.480,0:11:39.950
28 × 2 とか

0:11:39.950,0:11:41.140
色々あるけど、

0:11:41.140,0:11:44.300
8 と 7 が近い数字だから、

0:11:44.300,0:11:45.470
有力な候補という感じがする。

0:11:45.470,0:11:47.730
さて、2数は 近い数字で、

0:11:47.730,0:11:50.430
片方が正、もう片方が

0:11:50.430,0:11:51.810
負だ。

0:11:51.810,0:11:55.250
ここで和が負であることから、

0:11:55.250,0:11:58.460
2数のうち大きい方が負のはずだ。

0:11:58.460,0:12:01.350
だから -8 × 7 をとると

0:12:01.350,0:12:03.320
-56 になり、

0:12:03.320,0:12:08.470
-8 + 7 なら

0:12:08.470,0:12:12.100
-1 で、この係数にピッタリ一致する。

0:12:12.100,0:12:16.490
よってこれを因数分解すると、(x-8)

0:12:16.490,0:12:18.690
(x+7) になる。

0:12:18.690,0:12:21.695
コツが必要だから、これは代数学の中でもかなり難しい-

0:12:21.695,0:12:23.920
概念だと感じる人が多いだろう。

0:12:23.920,0:12:26.710
まず この項の係数を挙げて、

0:12:26.710,0:12:29.710
和が x項の係数になるには

0:12:29.710,0:12:31.900
どちらが正で、どちらが負なのかを

0:12:31.900,0:12:33.590
試す必要がある。

0:12:33.590,0:12:35.860
でも多く練習するほど、熟練して

0:12:35.860,0:12:39.280
自然に出来るようになるだろう。

0:12:39.280,0:12:42.350
さて、もう少し先に進もう。

0:12:42.350,0:12:46.140
ここに -x^2, 今まで沢山やってきたのは

0:12:46.140,0:12:49.040
全て x^2 の係数が

0:12:49.040,0:12:50.690
+1 だった。

0:12:50.690,0:12:55.590
けど、今回は マイナス x^2

0:12:55.590,0:12:59.440
-5x +24 だ。

0:12:59.440,0:13:00.910
どうすれば良いだろう？

0:13:00.910,0:13:03.420
恐らく最も簡単な方法は、

0:13:03.420,0:13:05.670
-1 をくくり出す事だろう。すると

0:13:05.670,0:13:07.260
前と似た問題になる。

0:13:07.260,0:13:11.660
= -1 × (x^2

0:13:11.660,0:13:15.990
+5x -24) となる

0:13:15.990,0:13:16.300
よね。

0:13:16.300,0:13:18.080
-1 をくくり出しただけさ。

0:13:18.080,0:13:20.180
括弧の中の全ての項に -1 を掛けると、左と等しくなるのを

0:13:20.180,0:13:21.690
確認できる。

0:13:21.690,0:13:23.555
あるいは、両辺を -1 で割っても

0:13:23.555,0:13:25.000
右辺と左辺が

0:13:25.000,0:13:26.760
等しいことを確認できる。

0:13:26.760,0:13:29.360
さっきと同じお遊びさ。

0:13:29.360,0:13:33.510
ある2数を探す。その積は

0:13:33.510,0:13:34.690
-24 だ。

0:13:34.690,0:13:37.125
だから 片方が正で、もう片方が負だ。

0:13:37.125,0:13:41.550
_

0:13:41.550,0:13:43.770
一方で和は 5 になる。

0:13:43.770,0:13:48.850
では 24 の因数 1 × 24 を考えよう。

0:13:48.850,0:13:55.750
-1 と 24 では、和が +23 になる。

0:13:55.750,0:13:57.540
正負を入れ替えても -23 となり、

0:13:57.540,0:13:58.500
正しくない。

0:13:58.500,0:14:01.210
2 と 12 はどうだろう？

0:14:01.210,0:14:04.530
片方は負でなければならない

0:14:04.530,0:14:05.040
から、

0:14:05.040,0:14:07.570
2 を負にしてみる。すると和は 10 だ。

0:14:07.570,0:14:09.750
12 の方を負にすると、和は -10 だ。

0:14:09.750,0:14:11.300
これも正しくない。

0:14:11.300,0:14:13.290
3 と 8 では？

0:14:13.290,0:14:16.850
3 を負にすると、和は 5 だ。

0:14:16.850,0:14:17.910
これは正しい！

0:14:17.910,0:14:24.620
-3 と 8 を選ぶと、つじつまが合う。

0:14:24.620,0:14:26.630
何故なら -3 + 8 = 5 で、

0:14:26.630,0:14:29.510
-3 × 8 = -24 だからだ。

0:14:29.510,0:14:31.640
よって結果は、

0:14:31.640,0:14:35.230
(最初の -1 を忘れずに書こう。)

0:14:35.230,0:14:42.990
-1 × (x-3) (x+8) となる。

0:14:42.990,0:14:44.800
もしその気なら、

0:14:44.800,0:14:46.450
(x-3) に -1 を掛けて

0:14:46.450,0:14:47.560
(3-x) にもできる。

0:14:47.560,0:14:48.810
もちろんしなくても良い。

0:14:48.810,0:14:51.810
_

0:14:51.810,0:14:53.220
もう一問だけやってみよう。

0:14:53.220,0:14:56.060
練習を積むほど良いと思うんだ。

0:14:56.060,0:15:01.630
よし、 -x^2

0:15:01.630,0:15:06.690
+18x -72 を考えよう。

0:15:06.690,0:15:09.320
繰り返しになるけど、 -1 でくくろうと思う。

0:15:09.320,0:15:13.040
よって = -1 (x^2

0:15:13.040,0:15:16.910
-18x +72) になる。

0:15:16.910,0:15:19.650
次に2つの数さえ分かれば良い。

0:15:19.650,0:15:22.330
2数の積が 72 だから

0:15:22.330,0:15:24.480
2数の符号は同じだ。

0:15:24.480,0:15:26.930
これなら簡単な気がする。そう思うのは僕だけかもしれないけど。

0:15:26.930,0:15:29.260
掛けると 72 になって、

0:15:29.260,0:15:32.040
足すと -18 になる数は？

0:15:32.040,0:15:34.410
同じ符号で、和が負ということは、

0:15:34.410,0:15:36.470
2数とも負だ。

0:15:36.470,0:15:41.470
_

0:15:41.470,0:15:43.790
72 の因数を元に探そう。

0:15:43.790,0:15:48.510
君の頭に 「8 × 9」が浮かんだとして、

0:15:48.510,0:15:53.270
-8 -9 [ あるいは -8 + -9 ] では

0:15:53.270,0:15:55.210
上手くいかない。

0:15:55.210,0:15:58.060
17 になってしまう。

0:15:58.060,0:15:58.860
これは惜しい。

0:15:58.860,0:15:59.560
画面に書いておこう。

0:15:59.560,0:16:04.400
-9 + -8 = -17.

0:16:04.400,0:16:06.140
惜しいけど残念。

0:16:06.140,0:16:06.990
他には何が考えられるだろう？

0:16:06.990,0:16:08.005
6 と 12 では？

0:16:08.005,0:16:09.705
けっこう良い気がする。

0:16:09.705,0:16:13.710
-6 + -12 では

0:16:13.710,0:16:15.360
-18 になる。

0:16:15.360,0:16:16.590
コツをつかまない間は、

0:16:16.590,0:16:18.810
他の多くの因数を試すハメになるだろう。

0:16:18.810,0:16:22.360
結果は -1 × ... (これを忘れたくはないものだね)

0:16:22.360,0:16:29.440
(x-6)(x-12) となる。

0:16:29.440,0:16:29.866
_