< Return to Video

Linear Algebra: Eigenvectors and Eigenspaces for a 3x3 matrix

  • 0:00 - 0:01
  • 0:01 - 0:03
    ในวิดีโออันล่าสุด เราพร้อมแล้วที่จะหาค่าลักษณะเฉพาะ
  • 0:03 - 0:06
    ของเมทริกซ์ A ขนาด 3X3
  • 0:06 - 0:08
    และเราบอกว่า ลองดูค่าลักษณะเฉพาะ
  • 0:08 - 0:11
    แลมด้า ซึ่งเป็นคำตอบของสมการนี้ ถ้า v
  • 0:11 - 0:13
    ไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์
  • 0:13 - 0:17
    นี่หมายถึงว่า ค่าแลมด้าใดๆที่เป็นคำตอบ
  • 0:17 - 0:20
    ของสมการของ v ซึ่งไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์
  • 0:20 - 0:23
    ซึ่งเราใช้เรื่อง พีชคณิตของเวกเตอร์
  • 0:23 - 0:25
    พีชคณิตของเวกเตอร์ นิดหน่อย เพื่อจะได้ผลลัพธ์นั้น
  • 0:25 - 0:27
    ลองไปทบทวนดูได้ถ้าหากมีเวลา
  • 0:27 - 0:30
    เอาล่ะ เราพร้อมแล้ว ทางเดียวที่สมการนี้
  • 0:30 - 0:34
    ทางเดียวที่สมการนี้จะมีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์ ก็คือเมื่อเมทริกซ์มี
  • 0:34 - 0:36
    ปริภูมิสู่ศูนย์แบบไม่ชัดแจ้ง (non-trivial null space)
  • 0:36 - 0:40
    และเพราะว่า เมทริกซ์ที่สามารถผกผันได้เท่านั้นที่จะมี
    ปริภูมิสู่ศูนย์แบบไม่ชัดแจ้ง (non-trivial null space)
  • 0:40 - 0:41
    ปริภูมิสู่ศูนย์แบบไม่ชัดแจ้ง (non-trivial null space)
  • 0:41 - 0:45
    หรือว่า เมทริกซ์ซึ่งมีดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์เท่านั้นจะมี
  • 0:45 - 0:47
    ปริภูมิสู่ศูนย์แบบไม่ชัดแจ้ง (non-trivial null space)
  • 0:47 - 0:50
    ดังนั้นเมื่อเราทำมัน เราก็จะได้พหุนามลักษณะเฉพาะ
  • 0:50 - 0:51
    แล้วเราก็จะแก้มันได้
  • 0:51 - 0:55
    เราก็จะได้ค่าลักษณะเฉพาะซึ่ง
    แลมด้าเท่ากับ 3 และ
  • 0:55 - 0:58
    แลมด้าเท่ากับ -3
  • 0:58 - 1:01
    เอาล่ะ เรามาลองทำอะไรที่ผมว่าน่าสนใจกว่าเมื่อครู่นี้หน่อย
  • 1:01 - 1:04
    มันคือการหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและ
  • 1:04 - 1:06
    ปริภูมิลักษณะเฉพาะ
  • 1:06 - 1:09
    เรากลับไปที่สมการเดิม, สำหรับค่าลักษณะเฉพาะใดๆ
  • 1:09 - 1:10
    สมการนี้ต้องเป็นจริง
  • 1:10 - 1:12
    สมการนี้ต้องเป็นจริง ซึ่งนี่ง่ายกว่ามาก
  • 1:12 - 1:18
    เมทริกซ์อันนี้คูณกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจะต้องเท่ากับศูนย์
  • 1:18 - 1:21
    ต้องเท่ากับศูนย์ สำหรับค่าใดๆก็ตามของค่าลักษณะเฉพาะ
  • 1:21 - 1:24
    ส่วนเมทริกซ์อันนี้ ผมคัดลอก
  • 1:24 - 1:25
    มาจากข้างบน
  • 1:25 - 1:27
    ผมเขียนกฎของซารุสลงไปด้วย แต่อย่าเพิ่งไปสนใจเส้นพวกนี้
  • 1:27 - 1:29
    อย่าเพิ่งไปสนใจเส้นพวกนี้ ตรงนี้คือเมทริกซ์
  • 1:29 - 1:30
    สำหรับค่าใดๆของแลมด้า
  • 1:30 - 1:33
    แลมด้าคูณกับเมทริกซ์เอกลักษณ์ ลบด้วยเมทริกซ์ A
  • 1:33 - 1:34
    ก็จะมีหน้าตาเป็นอย่างนี้
  • 1:34 - 1:38
    เราเอาเมทริกซ์อันนี้สำหรับค่าใดๆของแลมด้า แล้วก็
  • 1:38 - 1:42
    แก้สมการหา เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ หรือ ปริภูมิลักษณะเฉพาะของเรา
  • 1:42 - 1:47
    เรามาลองในกรณีที่แลมด้ามีค่าเท่ากับ 3 กันก่อน
  • 1:47 - 1:52
    ถ้าแลมด้าเท่ากับ 3 เมทริกซ์อันนี้ก็จะกลายเป็น แลมด้า บวก 1
  • 1:52 - 1:59
    เท่ากับ 4, แลมด้าลบ 2 เท่ากับ 1, แลมด้าลบ 2 เท่ากับ 1
  • 1:59 - 2:03
    ที่เหลือก็เหมือนเดิม คือ -2
  • 2:03 - 2:08
    -2, -2, 1, -2 และ 1
  • 2:08 - 2:12
    เอาอันนี้คูณกับเวกเตอร์ v หรือ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ v เท่ากับ 0
  • 2:12 - 2:15
    เท่ากับ 0
  • 2:15 - 2:19
    หรือเราอาจจะพูดว่า ปริภูมิของค่าลักษณะเฉพาะเท่ากับ 3
  • 2:19 - 2:22
    คือปริภูมิสู่ศูนย์ของเมทริกซ์นี้
  • 2:22 - 2:23
    ซึ่งไม่ใช่เมทริกซ์อันนี้
  • 2:23 - 2:26
    มันคือ แลมด้าคูณกับเมทริกซ์เอกลักษณ์ลบเมทริกซ์ A
  • 2:26 - 2:29
    ดังนั้น ปริภูมิสู่ศูนย์ของเมทริกซ์นี้คือ ปริภูมิลักษณะเฉพาะ
  • 2:29 - 2:33
    ดังนั้น ค่าใดๆก็ตามที่สอดคล้องกับสมการนี้
  • 2:33 - 2:37
    สร้าง เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของปริภูมิลักษณะเฉพาะของแลมด้าเท่ากับ 3
  • 2:37 - 2:37
    เอาล่ะ มาแก้สมการนี้กัน
  • 2:37 - 2:40
    ปริภูมิสู่ศูนย์ของอันนี้ เราอาจจะทำให้มันอยู่ใน
  • 2:40 - 2:43
    ลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว (reduced row echelon form) ปริภูมิสู่ศูนย์ของอันนี้ก็คือ
  • 2:43 - 2:45
    อันเดียวกันกับปริภูมิสู่ศูนย์ของเมทริกซ์นี้ใน
  • 2:45 - 2:46
    ลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว
  • 2:46 - 2:48
    เอาล่ะมาทำให้มันอยู่ในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถวกันเถอะ
  • 2:48 - 2:52
    อย่างแรกที่ผมจะทำคือ --
  • 2:52 - 2:54
    ย้ายมาเขียนข้างล่างก่อน
  • 2:54 - 2:59
    ผมจะเก็บแถวแรกไว้อย่างเดิมก่อน
  • 2:59 - 3:02
    4, -2, -2
  • 3:02 - 3:07
    และให้ผมแทนที่แถวที่สองด้วย แถวที่สองคูณด้วย 2
  • 3:07 - 3:08
    บวกกับแถวแรก
  • 3:08 - 3:13
    -2 คูณ 2 บวก 1 เท่ากับ 0
  • 3:13 - 3:16
    1 คูณ 2 บวก -2 เท่ากับ 0
  • 3:16 - 3:19
    1 คูณ 2 บวก -2 เท่ากับ 0
  • 3:19 - 3:21
    เพราะว่าแถวนี้ก็เหมือนกับแถวนี้
  • 3:21 - 3:22
    ผมก็จะทำอย่างเดียวกัน
  • 3:22 - 3:25
    -2 คูณ 2 บวก 4 เท่ากับ 0
  • 3:25 - 3:28
    1 คูณ 2 บวก -2 เท่ากับ 0
  • 3:28 - 3:32
    และ 1 คูณ 2 บวก -2 เท่ากับ 0
  • 3:32 - 3:34
    คำตอบของสมการนี้ก็เป็นคำตอบของสมการ
  • 3:34 - 3:35
    นี้เช่นเดียวกัน
  • 3:35 - 3:37
    ให้ผมเขียนอย่างนี้แล้วกัน
  • 3:37 - 3:38
    แทนที่จะเขียนด้วยเวกเตอร์ v
  • 3:38 - 3:41
    เราเขียนออกมาเลยแบบนี้
  • 3:41 - 3:48
    v1, v2, v3 ก็จะเท่ากับเวกเตอร์ 0
  • 3:48 - 3:48
    0, 0, 0
  • 3:48 - 3:50
    เราแค่เขียนให้แตกต่างออกไปนิดนึง
  • 3:50 - 3:53
    เห็นมั้ยว่าสองแถวนี้ หรือสองสมการนี้ไม่ได้บอกอะไรเราเลย
  • 3:53 - 3:54
    ไม่ได้บอกอะไรเราเลย
  • 3:54 - 3:58
    มีแต่แถวนี้เท่านั้นที่บอกเราว่า
  • 3:58 - 4:05
    4 คูณ v1 ลบ 2 คูณ v2 -- จริงๆอันนี้ยังไม่ได้อยู่ใน
  • 4:05 - 4:07
    ลักษณะขั้นบันไดลดรูปโดยสมบูรณ์ แต่ก็ใกล้เคียง
  • 4:07 - 4:10
    แล้วก็ง่ายกว่าที่จะคำนวณ -- 4 คูณ v1 ลบ 2 คูณ v2
  • 4:10 - 4:18
    4 คูณ v1 ลบ 2 คูณ v2 ลบ 2 คูณ v3 เท่ากับ 0
  • 4:18 - 4:20
    เราหารมันด้วย 4
  • 4:20 - 4:23
    ผมอาจจะหารด้วย 4 ตั้งแต่ตรงนี้ ซึ่งอาจจะข้ามขั้น
  • 4:23 - 4:24
    ไปหน่อย
  • 4:24 - 4:30
    แต่ถ้าเราหารด้วย 4 เราก็จะได้ v1 ลบ 1/2 v2 ลบ 1/2 v3
  • 4:30 - 4:32
    เท่ากับ 0
  • 4:32 - 4:36
    หรือ v1 เท่ากับ 1/2 v2 บวก 1/2 v3
  • 4:36 - 4:39
    เราบวกพวกนี้เข้าไปในทั้งสองข้างของสมการ
  • 4:39 - 4:46
    หรือเราอาจจะบอกว่า ให้ v2 เท่ากับ เอ่อ...
  • 4:46 - 4:50
    ผมจะสมมติมันขึ้นมาเป็น a ละกัน
  • 4:50 - 4:56
    แล้วก็ให้ v3 เท่ากับ b จากนั้นเราก็จะบอกได้ว่า v1 ก็จะเท่ากับ
  • 4:56 - 5:00
    1/2 a บวก 1/2 b
  • 5:00 - 5:07
    เราก็บอกได้เลยว่า ปริภูมิลักษณะเฉพาะสำหรับแลมด้าเท่ากับ 3 คือ
  • 5:07 - 5:15
    เซตของเวกเตอร์ทั้งหมด v1, v2, v3 ซึ่งเท่ากับ
  • 5:15 - 5:18
    a คูณด้วย .. v2 คือ a ใช่มั้ย?
  • 5:18 - 5:21
    v2 คือ a คูณ 1
  • 5:21 - 5:23
    v3 ไม่มี a อยู่
  • 5:23 - 5:26
    ก็จะเป็นการคูณด้วย 0
  • 5:26 - 5:31
    บวกกับ b คูณ... v2 คือ a
  • 5:31 - 5:32
    v2 ไม่มี b อยู่ข้างใน
  • 5:32 - 5:34
    ก็เป็นศูนย์ตรงนี้
  • 5:34 - 5:39
    v3 เท่ากับ 1 คูณ... เอ่อ 0 คูณ a บวก 1 คูณ b
  • 5:39 - 5:44
    จากนั้น v1 เท่ากับ 1/2 a บวก 1/2 b
  • 5:44 - 5:48
  • 5:48 - 5:53
    สำหรับค่า a และ b ใดๆ ซึ่ง a และ b เป็นสมาชิก
  • 5:53 - 5:55
    ของจำนวนจริง
  • 5:55 - 5:57
    ตรงนี้เราแค่ทำให้รัดกุมอีกหน่อย
  • 5:57 - 6:02
  • 6:02 - 6:03
  • 6:03 - 6:05
  • 6:05 - 6:07
  • 6:07 - 6:10
  • 6:10 - 6:14
  • 6:14 - 6:17
  • 6:17 - 6:20
  • 6:20 - 6:24
  • 6:24 - 6:25
  • 6:25 - 6:29
  • 6:29 - 6:36
  • 6:36 - 6:40
  • 6:40 - 6:41
  • 6:41 - 6:42
  • 6:42 - 6:43
  • 6:43 - 6:45
  • 6:45 - 6:47
  • 6:47 - 6:50
  • 6:50 - 6:58
  • 6:58 - 6:59
  • 6:59 - 7:03
  • 7:03 - 7:06
  • 7:06 - 7:08
  • 7:08 - 7:12
  • 7:12 - 7:15
  • 7:15 - 7:20
  • 7:20 - 7:24
  • 7:24 - 7:25
  • 7:25 - 7:27
  • 7:27 - 7:30
  • 7:30 - 7:34
  • 7:34 - 7:37
  • 7:37 - 7:40
  • 7:40 - 7:42
  • 7:42 - 7:46
  • 7:46 - 7:48
  • 7:48 - 7:52
  • 7:52 - 7:52
  • 7:52 - 7:55
  • 7:55 - 7:57
  • 7:57 - 8:01
  • 8:01 - 8:03
  • 8:03 - 8:05
  • 8:05 - 8:07
  • 8:07 - 8:10
  • 8:10 - 8:14
  • 8:14 - 8:16
  • 8:16 - 8:22
  • 8:22 - 8:23
  • 8:23 - 8:27
  • 8:27 - 8:29
  • 8:29 - 8:32
  • 8:32 - 8:36
  • 8:36 - 8:44
  • 8:44 - 8:45
  • 8:45 - 8:46
  • 8:46 - 8:47
  • 8:47 - 8:50
  • 8:50 - 8:54
  • 8:54 - 8:55
  • 8:55 - 8:58
  • 8:58 - 9:03
  • 9:03 - 9:04
  • 9:04 - 9:06
  • 9:06 - 9:14
  • 9:14 - 9:16
  • 9:16 - 9:19
  • 9:19 - 9:23
  • 9:23 - 9:27
  • 9:27 - 9:28
  • 9:28 - 9:29
  • 9:29 - 9:31
  • 9:31 - 9:33
  • 9:33 - 9:35
  • 9:35 - 9:40
  • 9:40 - 9:43
  • 9:43 - 9:45
  • 9:45 - 9:49
  • 9:49 - 9:49
  • 9:49 - 9:57
  • 9:57 - 9:59
  • 9:59 - 10:04
  • 10:04 - 10:08
  • 10:08 - 10:11
  • 10:11 - 10:13
  • 10:13 - 10:16
  • 10:16 - 10:18
  • 10:18 - 10:26
  • 10:26 - 10:27
  • 10:27 - 10:30
  • 10:30 - 10:33
  • 10:33 - 10:36
  • 10:36 - 10:37
  • 10:37 - 10:41
  • 10:41 - 10:45
  • 10:45 - 10:47
  • 10:47 - 10:52
  • 10:52 - 11:00
  • 11:00 - 11:04
  • 11:04 - 11:09
  • 11:09 - 11:16
  • 11:16 - 11:18
  • 11:18 - 11:23
  • 11:23 - 11:25
  • 11:25 - 11:28
  • 11:28 - 11:34
  • 11:34 - 11:38
  • 11:38 - 11:45
  • 11:45 - 11:50
  • 11:50 - 11:57
  • 11:57 - 12:08
  • 12:08 - 12:10
  • 12:10 - 12:12
  • 12:12 - 12:13
  • 12:13 - 12:18
  • 12:18 - 12:20
  • 12:20 - 12:25
  • 12:25 - 12:31
  • 12:31 - 12:36
  • 12:36 - 12:45
  • 12:45 - 12:47
  • 12:47 - 12:48
  • 12:48 - 12:51
  • 12:51 - 12:52
  • 12:52 - 12:55
  • 12:55 - 13:00
  • 13:00 - 13:01
  • 13:01 - 13:02
  • 13:02 - 13:04
  • 13:04 - 13:04
  • 13:04 - 13:06
  • 13:06 - 13:09
  • 13:09 - 13:10
  • 13:10 - 13:13
  • 13:13 - 13:14
  • 13:14 - 13:16
  • 13:16 - 13:19
  • 13:19 - 13:21
  • 13:21 - 13:24
  • 13:24 - 13:26
  • 13:26 - 13:28
  • 13:28 - 13:32
  • 13:32 - 13:38
  • 13:38 - 13:40
  • 13:40 - 13:43
  • 13:43 - 13:44
  • 13:44 - 13:46
  • 13:46 - 13:48
  • 13:48 - 13:50
  • 13:50 - 13:52
  • 13:52 - 13:54
  • 13:54 - 13:56
  • 13:56 - 13:57
  • 13:57 - 13:59
  • 13:59 - 14:05
  • 14:05 - 14:07
  • 14:07 - 14:09
  • 14:09 - 14:12
  • 14:12 - 14:16
  • 14:16 - 14:19
  • 14:19 - 14:21
  • 14:21 - 14:24
  • 14:24 - 14:26
  • 14:26 - 14:29
  • 14:29 - 14:33
  • 14:33 - 14:34
  • 14:34 - 14:36
  • 14:36 - 14:37
  • 14:37 - 14:39
  • 14:39 - 14:41
  • 14:41 - 14:43
  • 14:43 - 14:48
  • 14:48 - 14:51
  • 14:51 - 14:52
  • 14:52 - 14:54
  • 14:54 - 14:56
  • 14:56 - 14:57
  • 14:57 - 14:59
  • 14:59 - 15:02
  • 15:02 - 15:03
  • 15:03 - 15:06
  • 15:06 - 15:06
  • 15:06 - 15:11
  • 15:11 - 15:14
  • 15:14 - 15:18
  • 15:18 - 15:21
  • 15:21 - 15:22
  • 15:22 - 15:27
  • 15:27 - 15:31
  • 15:31 - 15:33
Title:
Linear Algebra: Eigenvectors and Eigenspaces for a 3x3 matrix
Description:
more » « less
Video Language:
English
Duration:
15:34

Thai subtitles

Incomplete

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.