ในวิดีโออันล่าสุด เราพร้อมแล้วที่จะหาค่าลักษณะเฉพาะ ของเมทริกซ์ A ขนาด 3X3 และเราบอกว่า ลองดูค่าลักษณะเฉพาะ แลมด้า ซึ่งเป็นคำตอบของสมการนี้ ถ้า v ไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์ นี่หมายถึงว่า ค่าแลมด้าใดๆที่เป็นคำตอบ ของสมการของ v ซึ่งไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์ ซึ่งเราใช้เรื่อง พีชคณิตของเวกเตอร์ พีชคณิตของเวกเตอร์ นิดหน่อย เพื่อจะได้ผลลัพธ์นั้น ลองไปทบทวนดูได้ถ้าหากมีเวลา เอาล่ะ เราพร้อมแล้ว ทางเดียวที่สมการนี้ ทางเดียวที่สมการนี้จะมีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์ ก็คือเมื่อเมทริกซ์มี ปริภูมิสู่ศูนย์แบบไม่ชัดแจ้ง (non-trivial null space) และเพราะว่า เมทริกซ์ที่สามารถผกผันได้เท่านั้นที่จะมี ปริภูมิสู่ศูนย์แบบไม่ชัดแจ้ง (non-trivial null space) ปริภูมิสู่ศูนย์แบบไม่ชัดแจ้ง (non-trivial null space) หรือว่า เมทริกซ์ซึ่งมีดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์เท่านั้นจะมี ปริภูมิสู่ศูนย์แบบไม่ชัดแจ้ง (non-trivial null space) ดังนั้นเมื่อเราทำมัน เราก็จะได้พหุนามลักษณะเฉพาะ แล้วเราก็จะแก้มันได้ เราก็จะได้ค่าลักษณะเฉพาะซึ่ง แลมด้าเท่ากับ 3 และ แลมด้าเท่ากับ -3 เอาล่ะ เรามาลองทำอะไรที่ผมว่าน่าสนใจกว่าเมื่อครู่นี้หน่อย มันคือการหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและ ปริภูมิลักษณะเฉพาะ เรากลับไปที่สมการเดิม, สำหรับค่าลักษณะเฉพาะใดๆ สมการนี้ต้องเป็นจริง สมการนี้ต้องเป็นจริง ซึ่งนี่ง่ายกว่ามาก เมทริกซ์อันนี้คูณกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจะต้องเท่ากับศูนย์ ต้องเท่ากับศูนย์ สำหรับค่าใดๆก็ตามของค่าลักษณะเฉพาะ ส่วนเมทริกซ์อันนี้ ผมคัดลอก มาจากข้างบน ผมเขียนกฎของซารุสลงไปด้วย แต่อย่าเพิ่งไปสนใจเส้นพวกนี้ อย่าเพิ่งไปสนใจเส้นพวกนี้ ตรงนี้คือเมทริกซ์ สำหรับค่าใดๆของแลมด้า แลมด้าคูณกับเมทริกซ์เอกลักษณ์ ลบด้วยเมทริกซ์ A ก็จะมีหน้าตาเป็นอย่างนี้ เราเอาเมทริกซ์อันนี้สำหรับค่าใดๆของแลมด้า แล้วก็ แก้สมการหา เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ หรือ ปริภูมิลักษณะเฉพาะของเรา เรามาลองในกรณีที่แลมด้ามีค่าเท่ากับ 3 กันก่อน ถ้าแลมด้าเท่ากับ 3 เมทริกซ์อันนี้ก็จะกลายเป็น แลมด้า บวก 1 เท่ากับ 4, แลมด้าลบ 2 เท่ากับ 1, แลมด้าลบ 2 เท่ากับ 1 ที่เหลือก็เหมือนเดิม คือ -2 -2, -2, 1, -2 และ 1 เอาอันนี้คูณกับเวกเตอร์ v หรือ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ v เท่ากับ 0 เท่ากับ 0 หรือเราอาจจะพูดว่า ปริภูมิของค่าลักษณะเฉพาะเท่ากับ 3 คือปริภูมิสู่ศูนย์ของเมทริกซ์นี้ ซึ่งไม่ใช่เมทริกซ์อันนี้ มันคือ แลมด้าคูณกับเมทริกซ์เอกลักษณ์ลบเมทริกซ์ A ดังนั้น ปริภูมิสู่ศูนย์ของเมทริกซ์นี้คือ ปริภูมิลักษณะเฉพาะ ดังนั้น ค่าใดๆก็ตามที่สอดคล้องกับสมการนี้ สร้าง เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของปริภูมิลักษณะเฉพาะของแลมด้าเท่ากับ 3 เอาล่ะ มาแก้สมการนี้กัน ปริภูมิสู่ศูนย์ของอันนี้ เราอาจจะทำให้มันอยู่ใน ลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว (reduced row echelon form) ปริภูมิสู่ศูนย์ของอันนี้ก็คือ อันเดียวกันกับปริภูมิสู่ศูนย์ของเมทริกซ์นี้ใน ลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว เอาล่ะมาทำให้มันอยู่ในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถวกันเถอะ อย่างแรกที่ผมจะทำคือ -- ย้ายมาเขียนข้างล่างก่อน ผมจะเก็บแถวแรกไว้อย่างเดิมก่อน 4, -2, -2 และให้ผมแทนที่แถวที่สองด้วย แถวที่สองคูณด้วย 2 บวกกับแถวแรก -2 คูณ 2 บวก 1 เท่ากับ 0 1 คูณ 2 บวก -2 เท่ากับ 0 1 คูณ 2 บวก -2 เท่ากับ 0 เพราะว่าแถวนี้ก็เหมือนกับแถวนี้ ผมก็จะทำอย่างเดียวกัน -2 คูณ 2 บวก 4 เท่ากับ 0 1 คูณ 2 บวก -2 เท่ากับ 0 และ 1 คูณ 2 บวก -2 เท่ากับ 0 คำตอบของสมการนี้ก็เป็นคำตอบของสมการ นี้เช่นเดียวกัน ให้ผมเขียนอย่างนี้แล้วกัน แทนที่จะเขียนด้วยเวกเตอร์ v เราเขียนออกมาเลยแบบนี้ v1, v2, v3 ก็จะเท่ากับเวกเตอร์ 0 0, 0, 0 เราแค่เขียนให้แตกต่างออกไปนิดนึง เห็นมั้ยว่าสองแถวนี้ หรือสองสมการนี้ไม่ได้บอกอะไรเราเลย ไม่ได้บอกอะไรเราเลย มีแต่แถวนี้เท่านั้นที่บอกเราว่า 4 คูณ v1 ลบ 2 คูณ v2 -- จริงๆอันนี้ยังไม่ได้อยู่ใน ลักษณะขั้นบันไดลดรูปโดยสมบูรณ์ แต่ก็ใกล้เคียง แล้วก็ง่ายกว่าที่จะคำนวณ -- 4 คูณ v1 ลบ 2 คูณ v2 4 คูณ v1 ลบ 2 คูณ v2 ลบ 2 คูณ v3 เท่ากับ 0 เราหารมันด้วย 4 ผมอาจจะหารด้วย 4 ตั้งแต่ตรงนี้ ซึ่งอาจจะข้ามขั้น ไปหน่อย แต่ถ้าเราหารด้วย 4 เราก็จะได้ v1 ลบ 1/2 v2 ลบ 1/2 v3 เท่ากับ 0 หรือ v1 เท่ากับ 1/2 v2 บวก 1/2 v3 เราบวกพวกนี้เข้าไปในทั้งสองข้างของสมการ หรือเราอาจจะบอกว่า ให้ v2 เท่ากับ เอ่อ... ผมจะสมมติมันขึ้นมาเป็น a ละกัน แล้วก็ให้ v3 เท่ากับ b จากนั้นเราก็จะบอกได้ว่า v1 ก็จะเท่ากับ 1/2 a บวก 1/2 b เราก็บอกได้เลยว่า ปริภูมิลักษณะเฉพาะสำหรับแลมด้าเท่ากับ 3 คือ เซตของเวกเตอร์ทั้งหมด v1, v2, v3 ซึ่งเท่ากับ a คูณด้วย .. v2 คือ a ใช่มั้ย? v2 คือ a คูณ 1 v3 ไม่มี a อยู่ ก็จะเป็นการคูณด้วย 0 บวกกับ b คูณ... v2 คือ a v2 ไม่มี b อยู่ข้างใน ก็เป็นศูนย์ตรงนี้ v3 เท่ากับ 1 คูณ... เอ่อ 0 คูณ a บวก 1 คูณ b จากนั้น v1 เท่ากับ 1/2 a บวก 1/2 b สำหรับค่า a และ b ใดๆ ซึ่ง a และ b เป็นสมาชิก ของจำนวนจริง ตรงนี้เราแค่ทำให้รัดกุมอีกหน่อย