0:00:00.000,0:00:00.620


0:00:00.620,0:00:03.410
ในวิดีโออันล่าสุด เราพร้อมแล้วที่จะหาค่าลักษณะเฉพาะ

0:00:03.410,0:00:05.830
ของเมทริกซ์ A ขนาด 3X3

0:00:05.830,0:00:08.280
และเราบอกว่า ลองดูค่าลักษณะเฉพาะ

0:00:08.280,0:00:11.410
แลมด้า ซึ่งเป็นคำตอบของสมการนี้ ถ้า v

0:00:11.410,0:00:13.280
ไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์

0:00:13.280,0:00:17.300
นี่หมายถึงว่า ค่าแลมด้าใดๆที่เป็นคำตอบ

0:00:17.300,0:00:20.390
ของสมการของ v ซึ่งไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์

0:00:20.390,0:00:22.760
ซึ่งเราใช้เรื่อง พีชคณิตของเวกเตอร์

0:00:22.760,0:00:25.370
พีชคณิตของเวกเตอร์ นิดหน่อย เพื่อจะได้ผลลัพธ์นั้น

0:00:25.370,0:00:26.890
ลองไปทบทวนดูได้ถ้าหากมีเวลา

0:00:26.890,0:00:29.700
เอาล่ะ เราพร้อมแล้ว ทางเดียวที่สมการนี้

0:00:29.700,0:00:33.710
ทางเดียวที่สมการนี้จะมีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์ ก็คือเมื่อเมทริกซ์มี

0:00:33.710,0:00:36.320
ปริภูมิสู่ศูนย์แบบไม่ชัดแจ้ง (non-trivial null space)

0:00:36.320,0:00:39.790
และเพราะว่า เมทริกซ์ที่สามารถผกผันได้เท่านั้นที่จะมี[br]ปริภูมิสู่ศูนย์แบบไม่ชัดแจ้ง (non-trivial null space)

0:00:39.790,0:00:40.970
ปริภูมิสู่ศูนย์แบบไม่ชัดแจ้ง (non-trivial null space)

0:00:40.970,0:00:45.020
หรือว่า เมทริกซ์ซึ่งมีดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์เท่านั้นจะมี

0:00:45.020,0:00:46.770
ปริภูมิสู่ศูนย์แบบไม่ชัดแจ้ง (non-trivial null space)

0:00:46.770,0:00:49.510
ดังนั้นเมื่อเราทำมัน เราก็จะได้พหุนามลักษณะเฉพาะ

0:00:49.510,0:00:50.680
แล้วเราก็จะแก้มันได้

0:00:50.680,0:00:55.000
เราก็จะได้ค่าลักษณะเฉพาะซึ่ง[br]แลมด้าเท่ากับ 3 และ

0:00:55.000,0:00:58.370
แลมด้าเท่ากับ -3

0:00:58.370,0:01:01.050
เอาล่ะ เรามาลองทำอะไรที่ผมว่าน่าสนใจกว่าเมื่อครู่นี้หน่อย

0:01:01.050,0:01:03.840
มันคือการหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและ

0:01:03.840,0:01:05.530
ปริภูมิลักษณะเฉพาะ

0:01:05.530,0:01:08.800
เรากลับไปที่สมการเดิม, สำหรับค่าลักษณะเฉพาะใดๆ

0:01:08.800,0:01:09.570
สมการนี้ต้องเป็นจริง

0:01:09.570,0:01:12.300
สมการนี้ต้องเป็นจริง ซึ่งนี่ง่ายกว่ามาก

0:01:12.300,0:01:18.140
เมทริกซ์อันนี้คูณกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจะต้องเท่ากับศูนย์

0:01:18.140,0:01:21.100
ต้องเท่ากับศูนย์ สำหรับค่าใดๆก็ตามของค่าลักษณะเฉพาะ

0:01:21.100,0:01:23.720
ส่วนเมทริกซ์อันนี้ ผมคัดลอก

0:01:23.720,0:01:24.740
มาจากข้างบน

0:01:24.740,0:01:27.120
ผมเขียนกฎของซารุสลงไปด้วย แต่อย่าเพิ่งไปสนใจเส้นพวกนี้

0:01:27.120,0:01:28.870
อย่าเพิ่งไปสนใจเส้นพวกนี้ ตรงนี้คือเมทริกซ์

0:01:28.870,0:01:30.430
สำหรับค่าใดๆของแลมด้า

0:01:30.430,0:01:32.810
แลมด้าคูณกับเมทริกซ์เอกลักษณ์ ลบด้วยเมทริกซ์ A

0:01:32.810,0:01:34.330
ก็จะมีหน้าตาเป็นอย่างนี้

0:01:34.330,0:01:37.600
เราเอาเมทริกซ์อันนี้สำหรับค่าใดๆของแลมด้า แล้วก็

0:01:37.600,0:01:42.190
แก้สมการหา เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ หรือ ปริภูมิลักษณะเฉพาะของเรา

0:01:42.190,0:01:47.390
เรามาลองในกรณีที่แลมด้ามีค่าเท่ากับ 3 กันก่อน

0:01:47.390,0:01:52.290
ถ้าแลมด้าเท่ากับ 3 เมทริกซ์อันนี้ก็จะกลายเป็น แลมด้า บวก 1

0:01:52.290,0:01:58.900
เท่ากับ 4, แลมด้าลบ 2 เท่ากับ 1, แลมด้าลบ 2 เท่ากับ 1

0:01:58.900,0:02:02.590
ที่เหลือก็เหมือนเดิม คือ -2

0:02:02.590,0:02:08.380
-2, -2, 1, -2 และ 1

0:02:08.380,0:02:12.390
เอาอันนี้คูณกับเวกเตอร์ v หรือ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ v เท่ากับ 0

0:02:12.390,0:02:15.010
เท่ากับ 0

0:02:15.010,0:02:19.070
หรือเราอาจจะพูดว่า ปริภูมิของค่าลักษณะเฉพาะเท่ากับ 3

0:02:19.070,0:02:21.990
คือปริภูมิสู่ศูนย์ของเมทริกซ์นี้

0:02:21.990,0:02:23.230
ซึ่งไม่ใช่เมทริกซ์อันนี้

0:02:23.230,0:02:25.690
มันคือ แลมด้าคูณกับเมทริกซ์เอกลักษณ์ลบเมทริกซ์ A

0:02:25.690,0:02:29.060
ดังนั้น ปริภูมิสู่ศูนย์ของเมทริกซ์นี้คือ ปริภูมิลักษณะเฉพาะ

0:02:29.060,0:02:32.510
ดังนั้น ค่าใดๆก็ตามที่สอดคล้องกับสมการนี้

0:02:32.510,0:02:36.540
สร้าง เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของปริภูมิลักษณะเฉพาะของแลมด้าเท่ากับ 3

0:02:36.540,0:02:37.400
เอาล่ะ มาแก้สมการนี้กัน

0:02:37.400,0:02:39.940
ปริภูมิสู่ศูนย์ของอันนี้ เราอาจจะทำให้มันอยู่ใน

0:02:39.940,0:02:42.750
ลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว (reduced row echelon form) ปริภูมิสู่ศูนย์ของอันนี้ก็คือ

0:02:42.750,0:02:44.580
อันเดียวกันกับปริภูมิสู่ศูนย์ของเมทริกซ์นี้ใน

0:02:44.580,0:02:45.560
ลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว

0:02:45.560,0:02:48.310
เอาล่ะมาทำให้มันอยู่ในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถวกันเถอะ

0:02:48.310,0:02:51.650
อย่างแรกที่ผมจะทำคือ --

0:02:51.650,0:02:54.070
ย้ายมาเขียนข้างล่างก่อน

0:02:54.070,0:02:58.940
ผมจะเก็บแถวแรกไว้อย่างเดิมก่อน

0:02:58.940,0:03:02.200
4, -2, -2

0:03:02.200,0:03:07.250
และให้ผมแทนที่แถวที่สองด้วย แถวที่สองคูณด้วย 2

0:03:07.250,0:03:08.150
บวกกับแถวแรก

0:03:08.150,0:03:12.970
-2 คูณ 2 บวก 1 เท่ากับ 0

0:03:12.970,0:03:16.270
1 คูณ 2 บวก -2 เท่ากับ 0

0:03:16.270,0:03:19.190
1 คูณ 2 บวก -2 เท่ากับ 0

0:03:19.190,0:03:20.900
เพราะว่าแถวนี้ก็เหมือนกับแถวนี้

0:03:20.900,0:03:22.180
ผมก็จะทำอย่างเดียวกัน

0:03:22.180,0:03:25.360
-2 คูณ 2 บวก 4 เท่ากับ 0

0:03:25.360,0:03:27.860
1 คูณ 2 บวก -2 เท่ากับ 0

0:03:27.860,0:03:31.570
และ 1 คูณ 2 บวก -2 เท่ากับ 0

0:03:31.570,0:03:33.840
คำตอบของสมการนี้ก็เป็นคำตอบของสมการ

0:03:33.840,0:03:35.270
นี้เช่นเดียวกัน

0:03:35.270,0:03:37.250
ให้ผมเขียนอย่างนี้แล้วกัน

0:03:37.250,0:03:38.470
แทนที่จะเขียนด้วยเวกเตอร์ v

0:03:38.470,0:03:40.700
เราเขียนออกมาเลยแบบนี้

0:03:40.700,0:03:47.570
v1, v2, v3 ก็จะเท่ากับเวกเตอร์ 0

0:03:47.570,0:03:48.300
0, 0, 0

0:03:48.300,0:03:50.180
เราแค่เขียนให้แตกต่างออกไปนิดนึง

0:03:50.180,0:03:53.010
เห็นมั้ยว่าสองแถวนี้ หรือสองสมการนี้ไม่ได้บอกอะไรเราเลย

0:03:53.010,0:03:53.700
ไม่ได้บอกอะไรเราเลย

0:03:53.700,0:03:58.490
มีแต่แถวนี้เท่านั้นที่บอกเราว่า

0:03:58.490,0:04:04.560
4 คูณ v1 ลบ 2 คูณ v2 -- จริงๆอันนี้ยังไม่ได้อยู่ใน

0:04:04.560,0:04:06.820
ลักษณะขั้นบันไดลดรูปโดยสมบูรณ์ แต่ก็ใกล้เคียง

0:04:06.820,0:04:10.050
แล้วก็ง่ายกว่าที่จะคำนวณ -- 4 คูณ v1 ลบ 2 คูณ v2

0:04:10.050,0:04:17.920
4 คูณ v1 ลบ 2 คูณ v2 ลบ 2 คูณ v3 เท่ากับ 0

0:04:17.920,0:04:20.050
เราหารมันด้วย 4

0:04:20.050,0:04:22.830
ผมอาจจะหารด้วย 4 ตั้งแต่ตรงนี้ ซึ่งอาจจะข้ามขั้น

0:04:22.830,0:04:23.970
ไปหน่อย

0:04:23.970,0:04:30.210
แต่ถ้าเราหารด้วย 4 เราก็จะได้ v1 ลบ 1/2 v2 ลบ 1/2 v3

0:04:30.210,0:04:31.620
เท่ากับ 0

0:04:31.620,0:04:36.490
หรือ v1 เท่ากับ 1/2 v2 บวก 1/2 v3

0:04:36.490,0:04:39.400
เราบวกพวกนี้เข้าไปในทั้งสองข้างของสมการ

0:04:39.400,0:04:45.770
หรือเราอาจจะบอกว่า ให้ v2 เท่ากับ เอ่อ...

0:04:45.770,0:04:50.180
ผมจะสมมติมันขึ้นมาเป็น a ละกัน

0:04:50.180,0:04:55.830
แล้วก็ให้ v3 เท่ากับ b จากนั้นเราก็จะบอกได้ว่า v1 ก็จะเท่ากับ

0:04:55.830,0:05:00.200
1/2 a บวก 1/2 b

0:05:00.200,0:05:07.020
เราก็บอกได้เลยว่า ปริภูมิลักษณะเฉพาะสำหรับแลมด้าเท่ากับ 3 คือ

0:05:07.020,0:05:14.900
เซตของเวกเตอร์ทั้งหมด v1, v2, v3 ซึ่งเท่ากับ

0:05:14.900,0:05:18.350
a คูณด้วย .. v2 คือ a ใช่มั้ย?

0:05:18.350,0:05:21.200
v2 คือ a คูณ 1

0:05:21.200,0:05:22.810
v3 ไม่มี a อยู่

0:05:22.810,0:05:26.020
ก็จะเป็นการคูณด้วย 0

0:05:26.020,0:05:30.950
บวกกับ b คูณ... v2 คือ a

0:05:30.950,0:05:32.490
v2 ไม่มี b อยู่ข้างใน

0:05:32.490,0:05:33.640
ก็เป็นศูนย์ตรงนี้

0:05:33.640,0:05:39.290
v3 เท่ากับ 1 คูณ... เอ่อ 0 คูณ a บวก 1 คูณ b

0:05:39.290,0:05:43.745
จากนั้น v1 เท่ากับ 1/2 a บวก 1/2 b

0:05:43.745,0:05:48.260


0:05:48.260,0:05:52.800
สำหรับค่า a และ b ใดๆ ซึ่ง a และ b เป็นสมาชิก

0:05:52.800,0:05:54.600
ของจำนวนจริง

0:05:54.600,0:05:56.660
ตรงนี้เราแค่ทำให้รัดกุมอีกหน่อย

0:05:56.660,0:06:02.180


0:06:02.180,0:06:03.320


0:06:03.320,0:06:05.260


0:06:05.260,0:06:07.190


0:06:07.190,0:06:10.200


0:06:10.200,0:06:14.450


0:06:14.450,0:06:16.800


0:06:16.800,0:06:20.220


0:06:20.220,0:06:23.950


0:06:23.950,0:06:25.290


0:06:25.290,0:06:28.710


0:06:28.710,0:06:36.430


0:06:36.430,0:06:39.640


0:06:39.640,0:06:40.750


0:06:40.750,0:06:41.640


0:06:41.640,0:06:43.290


0:06:43.290,0:06:45.060


0:06:45.060,0:06:47.420


0:06:47.420,0:06:50.410


0:06:50.410,0:06:57.850


0:06:57.850,0:06:59.300


0:06:59.300,0:07:02.950


0:07:02.950,0:07:05.960


0:07:05.960,0:07:08.160


0:07:08.160,0:07:11.520


0:07:11.520,0:07:15.110


0:07:15.110,0:07:20.210


0:07:20.210,0:07:24.390


0:07:24.390,0:07:25.050


0:07:25.050,0:07:27.140


0:07:27.140,0:07:29.550


0:07:29.550,0:07:34.116


0:07:34.116,0:07:37.315


0:07:37.315,0:07:40.040


0:07:40.040,0:07:42.210


0:07:42.210,0:07:45.670


0:07:45.670,0:07:48.190


0:07:48.190,0:07:51.510


0:07:51.510,0:07:52.360


0:07:52.360,0:07:54.620


0:07:54.620,0:07:56.800


0:07:56.800,0:08:01.010


0:08:01.010,0:08:03.170


0:08:03.170,0:08:04.830


0:08:04.830,0:08:07.000


0:08:07.000,0:08:10.230


0:08:10.230,0:08:14.190


0:08:14.190,0:08:16.470


0:08:16.470,0:08:22.170


0:08:22.170,0:08:22.960


0:08:22.960,0:08:27.350


0:08:27.350,0:08:28.720


0:08:28.720,0:08:32.179


0:08:32.179,0:08:36.450


0:08:36.450,0:08:43.669


0:08:43.669,0:08:44.770


0:08:44.770,0:08:46.060


0:08:46.060,0:08:47.330


0:08:47.330,0:08:49.840


0:08:49.840,0:08:54.110


0:08:54.110,0:08:55.150


0:08:55.150,0:08:58.390


0:08:58.390,0:09:03.210


0:09:03.210,0:09:04.330


0:09:04.330,0:09:06.090


0:09:06.090,0:09:13.770


0:09:13.770,0:09:15.570


0:09:15.570,0:09:18.770


0:09:18.770,0:09:23.480


0:09:23.480,0:09:26.590


0:09:26.590,0:09:27.870


0:09:27.870,0:09:28.660


0:09:28.660,0:09:31.270


0:09:31.270,0:09:32.540


0:09:32.540,0:09:35.410


0:09:35.410,0:09:39.530


0:09:39.530,0:09:42.970


0:09:42.970,0:09:45.330


0:09:45.330,0:09:48.680


0:09:48.680,0:09:49.470


0:09:49.470,0:09:57.250


0:09:57.250,0:09:59.440


0:09:59.440,0:10:03.760


0:10:03.760,0:10:07.770


0:10:07.770,0:10:10.910


0:10:10.910,0:10:13.480


0:10:13.480,0:10:15.650


0:10:15.650,0:10:18.180


0:10:18.180,0:10:26.010


0:10:26.010,0:10:26.930


0:10:26.930,0:10:29.530


0:10:29.530,0:10:33.110


0:10:33.110,0:10:35.620


0:10:35.620,0:10:36.800


0:10:36.800,0:10:41.430


0:10:41.430,0:10:44.830


0:10:44.830,0:10:47.200


0:10:47.200,0:10:51.620


0:10:51.620,0:11:00.100


0:11:00.100,0:11:04.310


0:11:04.310,0:11:08.530


0:11:08.530,0:11:15.700


0:11:15.700,0:11:18.150


0:11:18.150,0:11:22.660


0:11:22.660,0:11:25.340


0:11:25.340,0:11:28.150


0:11:28.150,0:11:34.060


0:11:34.060,0:11:37.990


0:11:37.990,0:11:45.240


0:11:45.240,0:11:50.110


0:11:50.110,0:11:56.930


0:11:56.930,0:12:07.820


0:12:07.820,0:12:09.790


0:12:09.790,0:12:12.400


0:12:12.400,0:12:13.320


0:12:13.320,0:12:17.530


0:12:17.530,0:12:20.390


0:12:20.390,0:12:25.030


0:12:25.030,0:12:31.380


0:12:31.380,0:12:36.200


0:12:36.200,0:12:45.020


0:12:45.020,0:12:46.540


0:12:46.540,0:12:47.620


0:12:47.620,0:12:50.510


0:12:50.510,0:12:52.280


0:12:52.280,0:12:54.510


0:12:54.510,0:12:59.790


0:12:59.790,0:13:00.750


0:13:00.750,0:13:01.580


0:13:01.580,0:13:03.750


0:13:03.750,0:13:04.160


0:13:04.160,0:13:06.230


0:13:06.230,0:13:09.200


0:13:09.200,0:13:09.790


0:13:09.790,0:13:12.990


0:13:12.990,0:13:13.770


0:13:13.770,0:13:16.070


0:13:16.070,0:13:18.920


0:13:18.920,0:13:21.210


0:13:21.210,0:13:24.030


0:13:24.030,0:13:26.030


0:13:26.030,0:13:27.930


0:13:27.930,0:13:31.940


0:13:31.940,0:13:37.600


0:13:37.600,0:13:40.370


0:13:40.370,0:13:43.040


0:13:43.040,0:13:44.040


0:13:44.040,0:13:46.440


0:13:46.440,0:13:47.850


0:13:47.850,0:13:50.260


0:13:50.260,0:13:52.460


0:13:52.460,0:13:53.710


0:13:53.710,0:13:55.870


0:13:55.870,0:13:57.150


0:13:57.150,0:13:59.440


0:13:59.440,0:14:04.920


0:14:04.920,0:14:06.600


0:14:06.600,0:14:08.830


0:14:08.830,0:14:12.300


0:14:12.300,0:14:15.700


0:14:15.700,0:14:18.960


0:14:18.960,0:14:20.800


0:14:20.800,0:14:24.320


0:14:24.320,0:14:25.980


0:14:25.980,0:14:29.440


0:14:29.440,0:14:33.420


0:14:33.420,0:14:34.460


0:14:34.460,0:14:36.220


0:14:36.220,0:14:36.900


0:14:36.900,0:14:38.890


0:14:38.890,0:14:41.390


0:14:41.390,0:14:42.740


0:14:42.740,0:14:47.950


0:14:47.950,0:14:50.520


0:14:50.520,0:14:51.640


0:14:51.640,0:14:53.500


0:14:53.500,0:14:55.710


0:14:55.710,0:14:57.320


0:14:57.320,0:14:59.230


0:14:59.230,0:15:01.720


0:15:01.720,0:15:03.340


0:15:03.340,0:15:05.510


0:15:05.510,0:15:06.360


0:15:06.360,0:15:11.190


0:15:11.190,0:15:14.420


0:15:14.420,0:15:18.290


0:15:18.290,0:15:20.760


0:15:20.760,0:15:22.260


0:15:22.260,0:15:26.590


0:15:26.590,0:15:31.170


0:15:31.170,0:15:33.270