< Return to Video

אלגברה לינארית: וקטורים עצמיים ומרחבים עצמיים של מטריצה 3X3

  • 0:01 - 0:03
    בשיעור הקודם ניסינו למצוא את הערכים העצמיים
  • 0:03 - 0:06
    של המטריצה 3X3 הזו, A.
  • 0:06 - 0:08
    ואמרנו, שערך עצמי הוא כל ערך
  • 0:08 - 0:11
    למדה, שמקיים את משוואה זו, אם v
  • 0:11 - 0:13
    אינו וקטור האפס.
  • 0:13 - 0:17
    וזה בעצם אומר, כל ערך, למדה, שמקיים
  • 0:17 - 0:20
    את משוואה זו עבור וקטור v שאינו שווה לוקטור האפס.
  • 0:20 - 0:23
    לאחר מכן פשוט עשינו מעט, ניתן לקרוא לזה
  • 0:23 - 0:25
    "אלגברה וקטורית" פה כדי למצוא את מה שמופיע פה.
  • 0:25 - 0:27
    אתם יכולים לראות את השיעור הקודם אם תרצו.
  • 0:27 - 0:30
    ואז קבענו שהדרך היחידה שזה
  • 0:30 - 0:34
    הולך לתת פתרון שהוא לא אפס תהיה אם למטריצה הזו יש
  • 0:34 - 0:36
    בסיס גרעין לא טריוויאלי (קרנל עם לפחות וקטור אחד).
  • 0:36 - 0:40
    ורק למטריצות בלתי-הפיכות יש
  • 0:40 - 0:41
    בסיס גרעין לא-טריוויאלי.
  • 0:41 - 0:45
    או שניתן לומר, רק למטריצות שהדטרמיננט שלהן שווה לאפס יש
  • 0:45 - 0:47
    בסיס גרעין לא-טריוויאלי.
  • 0:47 - 0:50
    אז עושים את זה, מקבלים את הפולינום האופייני,
  • 0:50 - 0:51
    ופתרנו אותו.
  • 0:51 - 0:55
    עכשיו קיבלנו את הערכים העצמיים שבהם הלמדה שווה ל-3
  • 0:55 - 0:58
    ול 3-
  • 0:58 - 1:01
    אז עכשיו, בואו נעשה משהו, לדעתי, יותר מעניין
  • 1:01 - 1:04
    וזה, למצוא את הוקטורים העצמיים או
  • 1:04 - 1:06
    את המרחבים העצמיים
  • 1:06 - 1:09
    אנחנו יכולים לחזור אל המשוואה הזו, לכל ערך עצמי
  • 1:09 - 1:10
    זה בהכרח מתקיים.
  • 1:10 - 1:12
    זה בהכרח מתקיים אבל יהיה קל יותר לעבוד עם זה.
  • 1:12 - 1:18
    וכשזה נאמר, המטריצה הזו כאן, כפול הוקטור העצמי חייב להיות
  • 1:18 - 1:21
    שווה לאפס עבור כל ערך עצמי נתון.
  • 1:21 - 1:24
    המטריצה הזו שכרגע העתקתי
  • 1:24 - 1:25
    והדבקתי מלמעלה
  • 1:25 - 1:27
    סימנתי אותה לפי חוק סארוס אז אתם יכולים,
  • 1:27 - 1:29
    פשוט להתעלם מהסימונים, זו פשוט אותה מטריצה
  • 1:29 - 1:30
    עבור כל למדה.
  • 1:30 - 1:33
    למדה כפול מטריצת הזהות פחות מטריצה A
  • 1:33 - 1:34
    נותן לנו את זה
  • 1:34 - 1:38
    אז בואו ניקח את המטריצה הזו עבור כל אחת מערכי הלמדה שקיבלנו ואז
  • 1:38 - 1:42
    נפתור עבור הוקטורים או המרחבים העצמיים.
  • 1:42 - 1:47
    תחילה, ניקח את המקרה בו למדה שווה ל-3
  • 1:47 - 1:52
    אם למדה שווה ל-3, המטריצה שווה ללמדה ועוד 1
  • 1:52 - 1:59
    שזה שווה ל-4. למדה מינוס 2 שווה 1. למדה מינוס 2 שווה 1.
  • 1:59 - 2:03
    בעוד שכל שאר הערכים נשארים אותם ערכים, מינוס 2
  • 2:03 - 2:08
    מינוס 2, מינוס 2, 1, מינוס 2 ו-1.
  • 2:08 - 2:12
    ואז ניתן לומר שכל זה כפול הוקטור, v, או הוקטור העצמי
  • 2:12 - 2:15
    שווה לאפס
  • 2:15 - 2:19
    או שניתן לומר שהמרחב העצמי עבור הערך העצמי
  • 2:19 - 2:22
    3, הוא הגרעין של המטריצה הזו.
  • 2:22 - 2:23
    וזו לא המטריצה הזו.
  • 2:23 - 2:26
    זה שווה ללמדה כפול מטריצה הזהות פחות המטריצה A
  • 2:26 - 2:29
    אז הגרעין של המטריצה הזו הוא המרחב העצמי.
  • 2:29 - 2:33
    כל הערכים שמקיימים את זה מרכיבים
  • 2:33 - 2:37
    את הוקטורים העצמיים של המרחב העצמי עבור למדה שווה ל-3.
  • 2:37 - 2:37
    בואו פשוט נפתור עבור זה.
  • 2:37 - 2:40
    אז הגרעין של זה. אפשר פשוט להציג
  • 2:40 - 2:43
    את זה בצורה מדורגת. הגרעין של מה שיש לנו פה
  • 2:43 - 2:45
    זה אותו הגרעין של הצורה
  • 2:45 - 2:46
    המדורגת שלו
  • 2:46 - 2:48
    אז בואו נגיע לצורה מדורגת.
  • 2:48 - 2:52
    הדבר הראשון שאני רוצה לעשות, תנו לי רק
  • 2:52 - 2:54
    לעשות את זה פה למטה.
  • 2:54 - 2:59
    אני אשמור את השורה הראשונה כמו שהיא בינתיים.
  • 2:59 - 3:02
    4 מינוס 2, מינוס 2
  • 3:02 - 3:07
    עכשיו נחליף את השורה הראשונה בשורה השניה כפול 2
  • 3:07 - 3:08
    ועוד השורה הראשונה.
  • 3:08 - 3:13
    זה יוצא מינוס 2 כפול 2 פלוס 1 שווה אפס.
  • 3:13 - 3:16
    1 כפול 2 ועוד מינוס 2 שווה אפס.
  • 3:16 - 3:19
    1 כפול 2 ועוד מינוס 2 שווה אפס.
  • 3:19 - 3:21
    השורה הזו זהה לשורה הזו.
  • 3:21 - 3:22
    אני עומד לעשות את אותו הדבר
  • 3:22 - 3:25
    מינוס 2 כפול 2 ועוד 4 שווה אפס.
  • 3:25 - 3:28
    1 כפול 2 ועוד 2 שווה אפס.
  • 3:28 - 3:32
    1 כפול 2 ועוד מינוס 2 שווה אפס.
  • 3:32 - 3:34
    ניתן לראות שהפתרונות של משוואה זו זהים
  • 3:34 - 3:35
    לפתרונות של משוואה זו.
  • 3:35 - 3:37
    אני אכתוב את זה כך
  • 3:37 - 3:38
    במקום פשוט לרשום את הוקטור V
  • 3:38 - 3:41
    אני ארשום אותו כך
  • 3:41 - 3:48
    אז, V1, V2, V3, שווים לוקטור האפס.
  • 3:48 - 3:48
    0,0.
  • 3:48 - 3:50
    נכתוב את זה בצורה מעט שונה.
  • 3:50 - 3:53
    ולכן, שתי השורות האלו, או, שתי המשוואות האלו
  • 3:53 - 3:54
    לא נותנות לנו מידע נוסף.
  • 3:54 - 3:58
    השורה היחידה היא העליונה, שאומרת ש-4 כפול V1
  • 3:58 - 4:05
    מינוס 2 כפול V2...למען האמת זה לא היה
  • 4:05 - 4:07
    דירוג מושלם של המטריצה אבל זה קרוב מספיק.
  • 4:07 - 4:10
    קל מאד עבורנו לעבוד בצורה הזו. 4 כפול V1 פחות 2
  • 4:10 - 4:18
    כפול V2 פחות 2 כפול V3 שווה לאפס.
  • 4:18 - 4:20
    נחלק ב-4
  • 4:20 - 4:23
    יכולתי לחלק פה ב-4, שהיה עושה את אותו הדבר
  • 4:23 - 4:24
    דילגתי על שלב.
  • 4:24 - 4:30
    אבל אם תחלקו ב-4 תקבלו V1 פחות חצי V2 פחות חצי V3
  • 4:30 - 4:32
    כל זה שווה לאפס.
  • 4:32 - 4:36
    או, V1 שווה לחצי V2 ועוד חצי V3.
  • 4:36 - 4:39
    פשוט הוספתי את שני אלה לשני צדדי המשוואה.
  • 4:39 - 4:46
    ניתן גם לומר, בואו נגיד שV2 שווה ל...
  • 4:46 - 4:50
    נשים פה מספר אקראי a
  • 4:50 - 4:56
    ו-V3 יהיה שווה לb אז נוכל לומר שV1
  • 4:56 - 5:00
    שווה לחצי a ועוד חצי b.
  • 5:00 - 5:07
    ניתן לומר שהמרחב העצמי כאשר למדה שווה ל-3
  • 5:07 - 5:15
    הוא הקבוצה של כל הוקטורים, V1,V2,V3, השווים ל-a
  • 5:15 - 5:18
    כפול.... V2 זה a, נכון?
  • 5:18 - 5:21
    אז V2 שווה לa כפול 1
  • 5:21 - 5:23
    וV3 לא תלוי ב-a
  • 5:23 - 5:26
    אז זה 0 כפול a
  • 5:26 - 5:31
    ועוד b כפול....V2 זה רק a.
  • 5:31 - 5:32
    ל-V2 אין תלות ב-b.
  • 5:32 - 5:34
    אז הוא שווה לאפס
  • 5:34 - 5:39
    וV3 שווה לאחד כפול אפס ועוד b כפול אחד.
  • 5:39 - 5:44
    וזה אומר ש V1 שווה לחצי ועוד חצי b.
  • 5:48 - 5:53
    עבור כל a ו-b, כך ש-a ו-b
  • 5:53 - 5:55
    מספרים ממשיים
  • 5:55 - 5:57
    רק כדי להיות קצת יותר רשמי.
  • 5:57 - 6:02
    אז....כל וקטור שמקיים את זה
  • 6:02 - 6:03
    הוא וקטור עצמי.
  • 6:03 - 6:05
    והם הוקטורים העצמיים שמייצגים את הערכים העצמיים.
  • 6:05 - 6:07
    למדה שווה ל-3.
  • 6:07 - 6:10
    אז אם מיישמים את טרנספורציית המטריצה לכל אחד
  • 6:10 - 6:14
    מהוקטורים האלו, פשוט מגדילים אותם פי 3.
  • 6:14 - 6:17
    בואו פשוט נכתוב אז בצורה אחרת.
  • 6:17 - 6:20
    המרחב העצמי עבור למדה שווה ל-3, שווה
  • 6:20 - 6:24
    לקבוצה הפורשת. כל הקומבינציות הלינאריות של
  • 6:24 - 6:25
    האחד הזה והאחד הזה.
  • 6:25 - 6:29
    אז, חצי, אחד, אפס.
  • 6:29 - 6:36
    וחצי, אפס, אחד.
  • 6:36 - 6:40
    וזה רק אחד מהמרחבים העצמיים.
  • 6:40 - 6:41
    המרחב הזה נכון
  • 6:41 - 6:42
    רק כאשר למדה שווה ל-3.
  • 6:42 - 6:43
    בואו נעשה אותו הדבר כאשר למדה
  • 6:43 - 6:45
    שווה ל 3-
  • 6:45 - 6:47
    אז אם למדה שווה ל 3-. נעשה את זה פה...
  • 6:47 - 6:50
    אני חושב שיש מספיק מקום....למדה שווה למינוס 3.
  • 6:50 - 6:58
    המטריצה הזו הופכת...אני אחשב את האלכסון....מינוס 3 ועוד 1
  • 6:58 - 6:59
    זה מינוס 2
  • 6:59 - 7:03
    מינוס 3 פחות 2 שווה מינוס 5
  • 7:03 - 7:06
    מינוס 3 פחות 2 שווה מינוס 5
  • 7:06 - 7:08
    וכל השאר נשארים ללא שינוי
  • 7:08 - 7:12
    מינוס 2, מינוס 2, 1.
  • 7:12 - 7:15
    מינוס 2, מינוס 2 ו-1.
Title:
אלגברה לינארית: וקטורים עצמיים ומרחבים עצמיים של מטריצה 3X3
Description:

Eigenvectors and eigenspaces for a 3x3 matrix
more » « less
Video Language:
English
Duration:
15:34

Hebrew subtitles

Incomplete

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.